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极坐标和参数方程基础知识及重点题型

高中数学回归课本校本教材24

（一）基础知识参数极坐标 1.极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，

则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2.常见的曲线的极坐标方程

（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：

正弦定理

sin sin OP OM

OMP OPM

=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-；

（2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；

（3）圆锥曲线极坐标：1cos ep

e ρθ

-，当1e >时，方程表示双曲线；当1e =时，方程表示抛物线；当01

e <<时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程3

24cos ρθ

=-表示的曲线

是双曲线

3.参数方程：（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22

221x y a b

+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==

（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00

cos sin x x y y t θθ

--==，即00cos sin x x t y y t α

=+??

=+?注：0cos x x t θ-=

，0

sin y y t

θ-=据锐角三角函数定义，T 几何意义是有向线段MP u u u r 的数量00000()00.

t l M M x y M M M M M M t M M t >

其中表示直线上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，；

如：将参数方程2

2sin (sin x y θ

θθ

?=+??=??为参数)化为普通方程为2(23)y x x =-≤≤ 将2sin y θ=代入22sin x θ=+即可，但是20sin 1θ≤≤；

4. 极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2

tan (0)x

y y

x x

ρθ?

=+?

=≠??

，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. （1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.

（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 5. 极坐标的几个注意点：

（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点) 如：已知圆C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ?=?

?=??

（θ

为参数），若P 是圆C 与y 轴正半轴的交点，以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P 的圆C 的切线

的极坐标方程。5cos()26

ρθ-

= 如：已知抛物线2

4y x =，以焦点F 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即2

1cos ρθ

-。

()()2

22420()21

x pt

y px p t y pt y t x t ?==>?

=?=抛物线的参数方程为：为参数．由于，因此参数的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数．

（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足

如：已知椭圆的长轴长为6，焦距1242F F =,过椭圆左焦点F 1作一直线，交椭圆于两点M 、N ，设21(0)F FM ααπ∠=≤<,当α为何值时，MN 与椭圆短轴长相等？56

α=

或

（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为222sin()204

ρρθ-+

-=。

（1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点(,)P x y 是该曲线上任意点，求x y +的取值范围。[222,222]-+ （二）基本计算

1.求点的极坐标：有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；如：点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 2(2,

)3π 提示：2(2,2),3

k k Z π

π+∈都是点M 的极坐标. 2. 求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P (,)ρθ；（3）写出等式；（4）根据,ρθ几何意义用,ρθ表示上述等式，并化简（注意：,x y ρθ≠≠）；（5）验证。如：长为2a 的线段，其端点在Ox 轴和Oy 轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹的极坐标方程（Ox 轴为极轴），再化为直角坐标方程.

解：设点M 的极坐标为(,)ρθ，则OBM AOM θ∠=∠=，且||2sin OA a θ=，||cos 2sin cos sin2OA a a ρθθθθ===，∴点M

的轨迹的极坐标方程为sin 2(0)2a π

ρθθ=<<.由sin2a ρθ=可得322sin cos a ρρθθ=，

∴3

222

()2x y axy +=其直角坐标方程为3222()2(0,0)x y axy x y +=>>. 3.求轨迹方程的常用方法：

⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程

⑶代入法(相关点法或转移法). 如：从极点作圆2cos a ρθ=的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点M 的极坐标

为(,)ρθ,圆2cos a ρθ=上的动点的极坐标为11(,)ρθ由题设可知,112θθρρ=??=?,将其代入圆的方程得:cos ()22a ππρθθ=-≤≤.

⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.

⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.

4.参数和极径的几何意义的运用：ρ表示OM 的长度；T 几何意义是有向线段MP u u u r

的数量；如：已知过点(9,3)P 的直线l 与x 轴正半轴、

y 轴正半轴分别交于A B 两点，则AB 最小值为 8

3提示：设9cos 3sin x t y t α

=+???

=+??倾斜角为α，则12AB t t =-或

AB=12||||t t +，1293,cos t t α=-=-，则93()cos l αα=-+

，29sin 3cos ()cos l αααα-'=-+ 339sin 3cos αα

--=令()0l α'=，333tan (3)α=-

=-所以，tan ,1503

αα=-=o ，min 93()(150)83cos150l l α==-+=o

o 注意：本题可以取倾斜角的补角为α 如过抛物线28y x =的焦点F 作倾斜角为4

的直线，交抛物线于,A B 两点，求线段AB 的长度.解：对此抛物线有1,4e p ==，

所以抛物线的极坐标方程为41cos ρθ=

-，,A B 两点的极坐标分别为4π和54

，||4(1cos 4)4(22)FA π=-=+， ||4(1cos54)4(22)FB π=-=-，

∴||||||16AB FA FB =+=.∴线段AB 的长度为16.

5.参数方程的应用----求最值：如：已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。[51,51]-++.（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥ [21,)--+∞.

如：在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为4cos 23sin x y θ

θ=???=??，4cos 43sin 12

d θθ--=

4545cos 3sin 32cos()3553

θθθ=

--=+- 当cos()13πθ+=，即53πθ=

时，min 45d =，此

时所求点为(2,3)-.

C.选修4 – 4 参数方程与极坐标

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合。若曲线C 1的方程为28sin 15ρρθ=-，

曲线C 2

的方程为,(x y ααα

?=??=??为参数）

。（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若C 2上的点Q 对应的参数为3=4

α，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值。提示：（1）228150x y y +-+=．（2）当34

απ

时，得(2,1)Q -，点Q 到1C

所以PQ

1．

在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B

)的圆的极坐标方程．

解：设(,)P ρθ是所求圆上的任意一点，则cos()4OP OB θπ=-，

故所求的圆的极坐标方程为)4

ρθπ

=-．

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为

23)4

sin(=-π

θρ.

（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；

（2）已知P 为椭圆1916:22=+y x C 上一点（已知曲线C 的参数方程为()4cos 3sin x y ααα=??=?

，为参数，

）求P 到直线l 的距离的最大值.

解：（1）直线l

的极坐标方程sin 4ρθπ?

?-= ??

sin cos θθ-=

即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=；

（2）P 为椭圆22

1169

x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,，

则P 到直线l

的距离d 4cos 5?= 所以当cos()1α?+=时，d

(图)

在极坐标系中，圆C

的方程为)4

ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标

系，直线l 的参数方程为,

12x t y t

=??

=+?（t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系．

解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为21y x =+；

ρθ=+

即2(sin cos )ρθθ=+，

两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=, 圆心C 到直线l

的距离d =

<，所以直线l 和⊙C 相交．已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t

?=-+???=?（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设直线l 与x 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最大值. 解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ= 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===,

所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=

（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3y x =--

令0y =,得2x =,即M 点的坐标为(2,0).

又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径1r =

，则MC =

所以1MN MC r +=≤

(

)()()0

00000 10.1321121sin() 2.(,),(,).4.x A l x y A l d m l P Q m ρρρπρρθρθρθθθθθ-+==

=+=?==? -=?? =? ==?：以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则点的直角坐标为直线的直角坐标方解程为因为到直线的距离，由得直线的方程为设所，则析以①

()()()123123124sin (

34cos (2)4

224(0)2

12(4)2,0(0)2

42()t (a 2010)n Ox C C C C C C M N C C A B O AB MN π

ρθθππ

ρθθθππ

ρθπππ

θαρα=≤≤

=≤≤<≤=≤≤

=≥<<

g 如图，在极坐标系中，已知曲线：:；

:或；:．

求由曲线，，围成的区域的面积；

设，，，射线，与

曲线，分别交于，不同于极点两点．若线段的中点恰好落在直线上变，浙江卷

求式训练α的值．

0220001()sin()221131

()().()881642.sin()244

1si 4n(4

)2P l r Q x y Q ππ

πρθθθρπ

ρθ++--===-=-因为点，在直线上，所以②将①代入②，得，

即．这就是点的轨迹方化为直角坐标方程为因此点的轨迹是以，为圆心，为程．

半径的圆．

()()22222111

122 2.22(2)4422

4246 4.

2()2sin 2cos 2

OSP A B S S S AB G ONG πππππππρρ

ρα?ραα=??-?=-=??--==?+??-=-+∠===+弓形阴影部分由已知，所以，

故所求面积设的中点解为，，，由题意知析：，，

2sin cos sin sin 5

522sin 2cos sin()sin sin 2

sin cos sin()sin 2cos sin 3sin cos 0sin 0tan 3.

ON OG OGN OGN ONG ??αα

πα???ααα?ααααααα=

=?=∠∠+=--+==++-=≠=在中，，

即，所以，化简得，又因为，所以

()()(6cos 3sin )()6,00,3C C G x y A B θθ：由动点在椭圆上运动，可设的坐标为，，点的坐标为，．

依题意可知，，由重心坐标解析公式可知，

()2222

606cos 222cos cos 3

033sin 1sin 1sin 3(2)114

x x y y x y θθθθθθ++?

-==+??=????++??-===+???

-++-=①，由此得，②①②，得即为所求．