高等数学中几个常见不等式及其应用
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题目：高等数学中几个常见不等式及其应用
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高等数学中几个常见不等式及其应用摘要：在高等数学中，不等式的证实和应用是我们学习高等数学知识常见难题之一。本文将的介绍这些不等式，并讨论它们的证明、变形及应用。
关键词：均值不等式；柯西不等式；施瓦茨不等式；H
..
lder不等式；Minkowski不等式
A few common inequality in the application of higher mathematics
Abstract: In higher mathematics, the proof of inequality and application is one of the common problems we study higher mathematics knowledge. This article will introduce these inequalities, and the proofs are discussed, deformation and applications.
Key words: Average inequality; Cauchy inequality; Holder inequality; Minkowski inequality
目录
0 引言（绪论） (4)
1.1 平均值不等式 (4)
1.2 平均值不等式应用 (5)
1.3 平均值不等式的推广 (5)
2 柯西不等式 (6)
2.1 柯西不等式定理及证明 (6)
3 施瓦茨等式 (8)
3.1施瓦茨不等式定理 (8)
3.2 施瓦茨不等式应用 (9)
4 H
..
οlder不等式 (10)
4.1 H
..
οlder不等式定理形式及证明 (10)
4.2 H
..
οlder不等式的应用 (11)
5 Minkowski不等式 (12)
5.1 Minkowski不等式定理及证明 (12)
6 结束语 (13)
参考文献 (13)
致谢 (14)
0引言
不等式是高等数学知识研究的基本工具之一，具有非常重要的地位。同时，不等式本身非常抽象，逻辑性很高，证明方法多种多样，应用变化万千。本文将主要介绍柯西不等式、施瓦茨不等式和平均值不等式的定义，定理，及应用。
1.1 平均值不等式
1 基本概念
定理1 对任意n 个实数()n i a i ,,2,10 =≥恒有
n
a a a a a a n
n n +++≤
2121 （1）
（即几何平均值≤算术平均值）,其中当且仅当n a a a === 21时成立。 证 i 首先有
22221
2
212
2121a a a a a a a a +≤??
?
??--??? ??+= （2） （相等当且仅当21a a =） 类似的，任意的N k ∈,重复上面方法k 次
k
k k
k k
k
a a a a a a a a a a a a 222222122432122211+++≤
≤+++≤- （等号当且仅当k a a a 221=== 时成立）。
ii 记n n
a a a nA n
a a a A +++=+++= 2121,则.假设不等式对1+n 也成
立，则
1
21211
1+≥+++++=++=
n n n A a a a n A a a a n A nA A 故 A a a a A n n 211≥+,
n n a a a A 21≥，
()n
n a a a A 121 ≥
因此不等式对任意n 成立，等号当且仅当n a a a === 21时成立。
1.2 均值不等式的应用
下面通过例题说明均值不等式的应用 例1 设正值函数()x f 在[]1,0上连续，试证：
()()?≤?10
ln 1
dx x f e dx x f .
证：由已知条件得()()x f x f ln ,在[]1,0上可积。将闭区间[]1,0分成n 等分，利用积分定义得，
()∑?
=∞→??? ??=n i n n i f n dx x f 1
1
1lim ，
()n
n
i n n
i n n i f n i f n dx x f 1
111
ln lim ln 1lim
ln ???
?
????? ??=??? ??=∏∑?
=∞→=∞→， 得 ()n
n
i n n i f dx
x f n i f e e n
n
i n 1
1ln lim ln lim 1
1
1
???
?
????? ??=∏
=?∏=∞→???
? ?
?
??? ??=∞→. 再由定理1，得
∑∏==??
? ??≤???
?
????? ??n i n
n
i n i f n n i f 11
1
1， 故
()()dx x f e
dx x f ?≤?10
ln 1
. 1.3 均值不等式的推广
定义1 设0≥i a ()n i ,,2,1 =，记
()r
n
i r i r a n a M 111??
?
??≡∑= ()0>r ，
称()a M r 为n a a a ,,21的r 次幂平均.它与算术平均的关系为
()()a A n
a a a a M n
≡++=
211，
()()()
r
r
r a
A a M 1=
定义 2 （加权平均）,0>i p , ()n i ,,2,1 =,
记()r
n
i i n
i r i
i r p a p p a M 11
1,????
?
?
??≡∑∑==， ()()
n
n i i i
p p p p n p p p n
i p i a a a a p a G +++==∑???
?
??≡=∏ 212
111
211
1,.
()p a M r ,和()p a G ,分别称为n a a a ,,,21 的（r 次幂）算数平均。
定理2 设n a a a ,,,21 不全相等，则有()()p a M p a G ,,1<，即：
n n p n p p a p a p a a a n +<112121 ()∑=>1,0i i p p .
亦即：
()
n
n
n p p p p n
p p p p p a p a p a
a a
n
n +++<
++21111
21
2121
只有n a a a ,,,21 全相等时“<”才成为“=”.
2 柯西不等式
2.1 柯西不等式定理及证明
定理3 设a i ,b i 为任意数()n i ,,2,1 =则
∑∑∑===?≤??
? ??n i n
i i i n i i i b a b a 1122
2
1， （3）
等号当且仅当i i b a 与成比例时成立。（3）式称为柯西不等式。 证法Ⅰ（判别式法）
()
??
? ??+??? ??+??? ??=+≤∑∑∑∑====n i i n i i i n i i n
i i i b x b a x a b x a 1212121
2
20. 关于x 的二次三项式保持非负，042<-=?ac b 故判别式
01212
2
1≤?-??
? ??∑∑∑===n
i i n i i n i i i b a b a .
证法Ⅱ（配方法）因
(),0211,2
11
11221112
2122
11212≥-=-=?-?=??? ??-?∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============n
j i i
j j i n i n j j j i i n i n j j i n
j j j n i i i n j j i i n i i i n
i i n i i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 故（1）式获证.当且仅当i j j i b a b a =()n j i ,...,2,1,=时成立，上式可以等于0。
证法Ⅲ（利用二次型）
()
,202
1212121
2
y b xy b a x a y b x a n i i n i i i n i i n
i i i ??
? ??+??? ??+??? ??=+≤∑∑∑∑==== 即关于y x ,的二次型非负定，因此
,01
21
112≥∑∑∑∑====n
i i
n i i
i n
i i
i n
i i
b
b
a b
a a
此即式（1）.
注 用方法Ⅲ，可以将结果进行推广.因
()
,01,111,12
2211j k m
j k n i ij ik n i m
j k j
k ij ik n
i m im i i x x a a x x a a x a x a x a ∑∑∑∑∑=====??
?
??==+++≤
此式右边为m x x x ,,,21 的二次的型，此式表明该二次的型非负定，因此系数行列式
.0121
21
1
12
1
22
112
111211
2
1
1≥=??
?
??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========n i im
n
i i im
n
i i im
n
i im i n i i n
i i i n
i im
i n
i i i n
i i n i ij ik a
a a
a a
a a
a
a a
a
a a a
a
a a Det
（4）
等号当且仅当()()()nm m m n n a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,212221212111 线性相关【即：存在不全为零的常数m x x ,1使得02211=+++m im i i x a x a x a ()n i ,,2,1 =】成
立.
3 施瓦茨不等式
柯西不等式的积分形式被称为施瓦兹不等式，它可以通过积分的定义，得到柯西不等式直接推动，因此柯西不等式的证明可以模拟类似的证法。 3.1 施瓦茨不等式
定理4 若()x f 、()x g 在[]b a ,上可积，则
()()()().22
2
???≤??
? ??b
a b a b a dx x g dx x f dx x g x f （5）
若()x f 、()x g 在[]b a ,连续，当且仅当存在常数,,βα使得()()x g x f βα≡时成立，等号相等(βα,不同时为零). 证法I 将[]b a ,n 等分，令(),a b n
i
a x i -+
=应用柯西不等式， ()()()()∑∑∑===?≤??
?
??n i i n i i n i i i x g n x f
n x g x f n 1
2
12
2
1111，
令∞→n 取极限，即得式（1） 证法II
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]
()()()()[],
021********
22222
2222
2
2
≥-=-+=-+=??? ??-?????????????b a
b a b
a
b a b a b a b a b a
b a b a b a b
a b
a dx y f x g y g x f dy dx
y g y f x g x f x g y f y g x f dy dy
y g y f dx x g x f dx x g dy y f dy y g dx x f dx x g x f dx x g dx x f
这就证明了式（5）.因此，如果()x f 、()x g 连续，当且仅当存在常数βα,不同时为零，使得()()x g x f βα≡时成立.
类似可以推广到一般情况.若函数()()x g x f i i , ()m i ,,2,1 =在[]b a ,上可积，则
()().0≥??
? ???b
a j i dx x f x f Det 如果()x f i 在[]
b a ,连续的，当且仅当()x f i ()m i ,,2,1 =线性相关，等式时成立
的。（即存在不全为零的常数m ααα,,,21 使得()()()02211≡+++x f x f x f m m ααα 时成立。）
3.2施瓦茨不等式的应用
应用施瓦茨不等式，可证明一些不等式，但使用时应注意一些技巧，下面介绍一些例题，说明施瓦茨不等式的应用。
例1
已知(),0≥x f 在[]b a ,连续，(),1=?b
a
dx x f k 任意实数，证：
()().1sin cos 2
2
≤??
? ??+??? ????b
a b a kxdx x f kxdx x f （6） 证 (1)式左端第一项应用施瓦茨不等式
()()
()(
)
()()().
cos cos cos cos 222
2
?????=?≤??
?
??
?=??? ??b
a b
a
b
a
b
a kxdx x f kxdx x f dx x f dx kx x f x f kxdx x f （7）
同理
()().sin sin 22
??≤??
? ??b
a
b a kxdx x f kxdx x f （8） 式（7）+（8）即得式(9).
例2
假设函数()x f 在闭区间[]b a ,()b a <上有连续n 阶()()x f n ，并且
()().1,,1,0,0-==n k a f k 求证：
()()()
()()
()()2
1
22
2
1
221?
?
????-??? ??≤??? ????--b
a m k m k m b
a k dx x f a
b dx x f ， （9）
这里，n m k ≤<≤0.
分析 i 先设法证明1=n ()1,0==m k 此时，我们只要证明的结论是： 假若()x ?在[]b a ,上有连续导数，(),0=a ?则必有
()()()()()2
12'2
12
1
221??????-??
? ??≤??? ????b
a b
a dx x f a
b dx x ?. (10) 为把?与'?联系起来，用公式
()()?=x
a
dx x x '??.
应用施瓦茨公式
()()
()()()
()()????-=?≤??
? ??=x a x a x a x a dt t a x dt t dt dt t x 2'2'22
'2
1????. (11) 两边同时积分
()()()()()()()()()()()()????????-≤
--??? ??-=
??
? ??-=??? ??-≤==b
a
b
a b
x a x x
a b
a x
a
b
a x
a b
a dt
t a b dx x a x dt t a x a x d t dx dt t a x dx x 2
'2
2'22
'222'2'22
212121??????.
两边同时开方，变得（10）式。
ii 回到一般情况，令()()()x f x k =?，重复利用上述证明方法，即可证（9）式。
4 H ..
οlder 不等式
4.1 H ..οlder 不等式基本形式及证明
定理5 设()n i b a i i ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα 则：
β
α
β
α??
?
????? ??≤∑∑∑===n i i n i i n
i i
i b a b a 111
. 证： 令∑∑====
n
i i
n i i b
B a A 11
, 那么
∑∑==--??
? ????? ??=n
i i i n i i
i B b A a b a B A 11
β
αβ
α
βα ()1lg lg lg
lg lg
=+++≤++=+βαβ
αβαβαβαβαB a
A a
B a A a B
a A a i i i i i i
（利用Jensen 不等式）
B a A a B b A a i i i i βαβ
α+≤??
?
????? ??
1111=+=+≤??
?
????? ??∑∑∑===βαβαβ
αn i i n
i n i i i i b B a A B b A a 即
β
α
β
αβα??
? ????? ??=≤∑∑∑===n
i i n
i i n i i i b a B A b a 111, 得证。
Holder 不等式还有另一种表示形式，令
i q
i i i i p i i i b y y b a x x a q
p q p =====+==
,,,111,1,1βαβα及q
n
i q i p
n
i p i n
i i n
i i n i i i n i i i y x b a b a y x 11111111??
? ?????? ??≤??? ?????? ??≤=∴∑∑∑∑∑∑======β
α
βα 则：
2
1122
1
121??
? ????? ??≤∑∑∑===n
i i n i i n i i i y x y x 4.2 H ..
οlder 不等式的应用
例3 设,2,0,,??
? ??∈∈+
πx R q p 求函数
()x q x p x f cos sin +=的最小值。 解：取
.11
1,5,45=+==β
αβα于是，由
Holder 不等式有
()
()
()
()
()
5
1
225
4
5
25
25
45
25
25
4
5
454cos sin cos sin cos cos sin sin x
x x q x
p
x x q
x x p
q p +??? ??+≤+
=
+
(),cos sin 4
55
454
???
? ?
?+≥+=q p x q
x p x f
()。的最小值是时，等号成立。所以，，当且仅当4
5
545452
22
tan cos sin cos sin ???
? ??+???
? ??==q p x f q p x x x x
q x p
5 Minkowski 不等式
5.1 Minkowski 不等式基本形式及证明
定理6 设()n k m b a k k k ≤≤1, 均为实数，
1>p 则
()p
n
k p k p
n
k p k p
n
k p k p
p
n
k k k k a b a m b a 11111111
???
??++??? ??+??? ??≤???
?????
+++∑∑∑∑==== 特别地，当时及22==n p ，
2
2222221212
121n n n i i n i i b a b a b a b a ++++++≤??
? ??+??? ??∑∑==
证： 由Holder 不等式可知：
1
111
1
1
1
)
()()(k n
i k i k
n
i k i n
i i i ∑∑∑===≤βαβα
由上述不等式可得：
≤
+++=+∑∑∑=-=-=n
i k i i i n
i k i i i n i k
i i 1
11
1
1
)()
()(βαββααβα
++∑∑=-=1
111
)1(11
])([)(k n
i k k i i k
n
i k i βαα1
111
)1(11
]
)([)(k n
i k k i i k
n
i k i ∑∑=-=+βαβ
所以其中,)1(,11
1,
111
k k k k k k =-=+> 1
11
11
1
1
1
])(][)()[()(k n
i k i i k n
i k i
k n
i k i
n
i k
i i ∑∑∑∑====++≤+βαβαβα
即：
k n
i k i
k n
i k i
k
n
i k i i 11
11
11
)
()(])([∑∑∑===+≤+βαβα
上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．
6 结束语
以上介绍了几类常见的不等式。由上述实例可以看出，柯西不等式和施瓦茨不等式在高等数学知识的应用非常广泛，还有均值不等式的定理及推广，应用到许多高等数学证明题中，可以做到深入浅出，使问题的解决更加简单。也突显了不等式证明方法灵活多样。但在数学的学习中，应具体问题具体分析，对待不同的问题，思维要灵活，思路要清晰，找出问题的关键所在，把握问题本质，快速而准确地应用这几个常见的不等式取解决高等数学中的证明问题。
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