建模练习题 作答 董团部
延安职业技术学院
第二届大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C
我们的参赛报名号为：yapt201101
所属系部（请填写完整的全名）：化工化学系
参赛队员(打印并签名)：1.董团部，所在班级：10级应用化工技术专业
2.赵康，所在班级：10级应用化工技术专业
3.娄丹莹，所在班级：10级煤化工技术专业
指导教师(2名)：
日期：2011年8月29日
论文：
物资的调运问题
摘要
该题主要研究了一个物资调运的最优化问题。在此过程中先根据各个企业的分布情况将路线图分为3大块，再根据三角形定理（两边之和大于第三边：+）对路线图做出初步分析，再用筛选法做出具体的分析，由于在运输a?
c
b
路线中有两种不同等级的公路（高级公路、普通公路）；从而就有了两种不同的用运费，分别将1、2、3号企业各自所对应的1、2、3……8、储备库一、储备库二、号仓库不同等级路线图中的每段距离，输入EXCEL电子表格中并对其数据进行求和，计算出每条路线的总长度，再利用模型三求出所需费用的相关数据并统计法分析；通过表1、表2、表3中的数据对比得出：
从一号企业调运物资的最优仓库是：5号、储备库一；
从二号企业调运物资的最优仓库是：1号、2号、7号；
从三号企业调运物资的最优仓库是：3号、4号、6号、8号、储备库二；
关键词：三角形定理、筛选、最优化、路线、费用
一问题重述
已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库及国家级储备库共10个，其中大小物资仓库有8个，具体分布情况如下图所示。经核算该物资的运输成本有两种：
(1)高等级公路2元/公里?百件；
(2)普通公路1.2元/公里?百件。
假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运，那么各个仓库应从哪个企业调运才是最合理的呢？！
二问题分析
对于这一问题其目的是为了更方便、快捷的实现各个仓库和企业之间的物资调运及贮存，这一问题的要求是从复杂的运输路线图中找出调运或贮存物资时的最优路线，所需的最少费用，总的来说对于解决运输这一问题，找出最优路线，相继也就能计算出最少费用。
解决的思路：
1.将所给出的路线图作出分析可以得到物资调运和物资贮存的初步路线；
2.将所给出的路线图根据三个企业的大致分布区域可将原图分成三大块；
3.将分好的三大块路线图作出进一步的分析，整理得出一号企业、二号企业、三号企业分别到最近仓库的路线图；
4.通过以上三步即可求出最优路线并计算出最少费用。
三符号说明
m—表示货车在调运物资所走单一路线的运费（1、2、3、…、i）（单位∕元）M—表示货车在调运物资所走混合路线的运费(1、2、3、…、i)（单位∕元）n—表示货车在调运物资时所载物资件数（单位∕百件）
L—表示货车在调运物资时所走的路程(1、2、3、…i)（单位∕m）
—表示货车在调运物资时所走两种路程的单价(1、2、3、…、i)（单位∕元/公里?百件）
a、b、c—分别表示三角形的三边
四模型假设
1.假设在调运物资的路途中货车不出现故障、司机都能正常工作；
2.假设在调运物资的路途中不会出现交通堵塞、路面断裂而影响车辆的行驶；
3.假设当每辆货车到企业去调运物资时，企业都有物资可供调运；
4.假设在以花费最少、以时间最短为前提所求出的路线就是最短路线；
5.假设在该调运过程一定的速度行驶，不考虑其他干扰因素。
五模型建立
模型一：运用三角形定理（在三角形中任意两边之和大于第三边）找出三个企
业分别各个仓库的调运路线如图所示：
c
b a
?+
模型二：在EXACL 中建立电子表格
企业
仓库路程(L)
行驶单价（α）
费用(m、M)
1号
1
102号
1
10
3号
1
10
模型三：因为，在物资调运路线图中有两种公路，而且两种公路的物资运送的
单价也不相同，所以，在计算调运物资的费用时可能用到下面两类公式中的任意一类。
公式①：该公式表示在调运物资时货车只走两种路线中的一种路线
1
111α
??=L n m 2
222
α
??=L n m
3
333
α
??=L n m
i
i i i
L n m
α
??=公式②：该公式表示在调运物资时货车所走的路线是两种混合路线
()
1
11111α
α?+??=M l L n ()
2
1
2222α
α?+??=M l L n ()
3
13333α
α?+??=M l L n
()
i i i i i l L n 1
αα?+??=M 六模型求解
在通过路程、不同单价数据代入模型三的公式中，计算出费用数据作对比，并进行筛选如表1所示
在表1中红颜色表示混合路线、黄颜色表示单一路线。对路程和费用做出整理规划如表2所示：
从一号企业调运物资的最优仓库是：5号、储备库一
从二号企业调运物资的最优仓库是：1号、2号、7号
从三号企业调运物资的最优仓库是：3号、4号、6号、8号、储备库二
七模型的评价与推广
在解决物资运输这一问题上所用到的模型有三个，分别是三角形定理、EXACL 中的程序运算、高等数学的模型化，该模型的优点是：在利用三角形定理时还运用了筛选法对路线的做出进一步选择，在建立该模型时考虑到用作图法来完成仓库与企业之间的路线图较为复杂，而且做出来的网状图不能给人一目了然的感觉，从而选择用表格的形式将不同的等级的公路路线图的分段距离记录其中，再用SUM函数以及模型三中的公式，计算出相应的数据，以表格的形式呈现出来这样就既清晰又简单；该模型的缺点是：在原图中找调运物资路线时，使用最为普通的方法“观察法”这种方法对于简单的路线图作分析还可以，但是，对于较复杂一点的路线来说，在分析时就会出现对路线遗漏或者重复，而且计算量也是相当大的。
对于这一模型的推广，只要是解决运输路线及运输费用的问题，该模型都可以使用并且所得结果的准确率在99％以上，这一模型中的模型二还可以应用于数据统计学，以及金融管理学等；对于模型三应用较为广泛，是将简单数字化的问题，给赋予一些特殊的符号，并转化成公式做出推广能解决同一类问题如：
i
i i i
L n m
α
??=。
()
i
i i i i l L n 1α
α?+??=M 八参考文献
1.《计算机基础教材与实际应用教材》2004年出版
2.在计算过程中《初中数学教材》知识2003年出版
3.在建立模型过程中用《高等数学教材》
20010年出版
运筹学建模例题和判断题
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(1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 4.. 考虑微分方程 (0.2)0.0001(0.4)0.00001dx x xy dt dy y xy dt εε?=--????=-++?? （1）在像平面上解此微分方程组。（2）计算0ε=时的周期平均值。（3）计算0.1ε=时，y 的周期平均值占总量的周期平均值的比例增加了多少？ 5考虑种群增长模型 '()(1/1000),(0)200x t kx x x =-= （1）求种群量增长最快的时刻。（2）根据下表数据估计参数k 值。 6. 布均匀，若环保部门及时发现并从某时刻起切断污染源，并更新湖水（此处更新指用新鲜水替换污染水），设湖水更新速率是 3 (m r s 单位：）。 （1） 试建立湖中污染物浓度随时间下降的数学模型？ 求出污染物浓度降为控制前的5%所需要的时间。 7. 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35岁起保,每月交费400元,60岁开始领取养老金,每月养老金标准为３６００元，请估算该保险费月利率为多少（保留到小数点后５位）？ 8. 某校共有学生40000人，平时均在学生食堂就餐。该校共有,,A B C 3 个学生食堂。经过近一年的统计观测发现：A 食堂分别有10%，25%的学生经常去B ，C 食堂就餐，B 食堂经常分别有15%，25%的同学去
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31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程
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数学建模 练习题1
2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。
二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重
从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重
通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为
优化建模练习题解答
例1 (任务分配问题)某车间有屮、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900,三种工件的数量分别为400、600和500,且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，乂使加工费用最低？ 解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为在乙车床上加工工件1、2、3 的数量分别为七，召,心。建立以下线性规划模型： nin z = 13斗 + 9x2 + 10x3 + llx4 + 12x5 + 8x6 x{ + x4 = 400 x2 + x5 = 600 + x6 = 500 0.4Xj +1」兀+x3 <800 0.5X4+l.2x s + 1.3X6 < 900 兀n0J = 12 …,6 例2某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98眾计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%, II-时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各儿名？解：设需要一级和二级检验员的人数分别为州宀人,则应付检验员的工资为: 8x4xx t +8X3XX2 =32召 + 24 x2 因检验员错检而造成的损失为： (8x25x2% XX] +8x15 x5%xx2)x2 = 8x)+12x2 故LI标函数为： nin z = (32X] +24x?) + (8X] +12吃)=40“ +36x2 约束条件为： 8x25xx t +8xl5xx2 > 1800 8x25xx, <1800 8X15XX2 S1800 %! >0,x2 > 0 线性规划模型: min z = 40X] + 36x2
运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛 1、引言 一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划(线性规划和非线性规划)，网络优化(含网络计划技术)，排队模型，动态规划等，请看下表 注：从年起，全国大学生数学建模竞赛开始设置专供大专院校学生做的题。 下而重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式 nin f(x) (ornnx f(x)) /l, (x) = 0, i = 1,2,…丿 s.t.<0, ) = 12…，加 lb 解：题意即要确立从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设X”表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费?则运输模型为： min f = 2x H +X|2 +3^13 + 2x 2| + 2x 22 + 4x 23 ■ x H +x [2 +X13 S 50 x 21 + x 22 + x 23 < 30 X 11+X 2I =40' s 』：X [2+X 22 =15需求量约束 + AS j =25 列no 仃= 1,2；丿? = 123丿运输量非负约束 一般地，对于有m 个发点和门个收点的运输模型为 n 工? 5q(7 = h2,3,??m) m /=i Xq nO(j = 12??〃;J = 12??n) 其中q 为i 号发点的运出量，bj 为j 号收点的需求咼，5为从i 号发点到j 号收点的单位运 价。 m n n 特别当工％ =工耳时，存货必须全部运走.故上述约朿条件中的工耳可改为等式: r-1 j-1 n 工七=￡（，= 1,2,...w ） 3选址问题 某地区有m 座煤矿，尸矿每年产量为q 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 。吨, 每年运行的固左费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为ho 元。现规划新建一个发电厂, m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有门个备选的厂址。若在尸备 选厂址建电厂，每年运行的固左费用为％元，每吨原煤从严矿运送到严备选厂址的运费为 5元（口j=1,2 -n ）o 每吨原煤从厂矿运送到原有电厂的运费为细（i=1,2,...m ）。 试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处？ [2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？ 才能使每年的总费用（电厂运行的固左费用与原煤运费之和）为最小？ 运岀量受存量约束 min m n f = H C u X U 数学建模中常见的十大 模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 1. 某公司生产的产品A ，B ，C 和D 都要经过下列工序：刨、立铣、钻孔和装配。已知每 又知四种产品对利润贡献及本月最少销售需要单位如下： 问该公司该如何安排生产使利润收入为最大（只需建立模型） 解：设生产四种产品分别x 1,x 2,x 3,x 4单位 则应满足的目标函数为：max z=2 x 1+3 x 2+ x 3+ x 4 满足的约束条件为： 12341234 123412341234 0.50.51800228000.50.530003236000 100600500400x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??+++≤??+++≤? +++≤?? ≥??≥? ≥??≥? 2.某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机和2架小型客机，现要安排从一机场到4城市的航行计划，有关数据如表1-5，要求每天到D 城有2个航次（往返），到A,B,C 城市各4个航次（往返），每架飞机每天只能完成一个航次，且飞行时间最多为18小时，求利润最大的航班计划。 建模 设大型客机飞往A 城的架次为x 1A ，中型客机飞往A 城的架次为x 2A ，小型客机飞往A 城的架次为x 3A ，其余依此类推。 资源限制 派出的大型客机架次不能超过10架，表示为 111110A B C D x x x x +++≤ 同理 222333152 A B C A B C x x x x x x ++≤++≤ 班次约束 飞往各城的班次要满足 1231231231234 442 A A A B B B C C C D D D x x x x x x x x x x x x ++=++=++=++= 非负性约束 0ij x ≥ 且为整数；（i=1,2,3;j=A,B,C,D ） 目标函数为 111222333max 100002000200020002000200020002000A B C A B C A B C z x x x x x x x x x =++++++++1D －8000x + 3. CRISP 公司制造四种类型的小型飞机：AR1型（具有一个座位的飞机）、AR2型（具有两个座位的飞机）、AR4型（具有四个座位的飞机）以及AR6型（具有六个座位的飞机）。AR1和AR2一般由私人飞行员购买，而AR4和AR6一般由公司购买，以便加强公司的飞行编队。为了提高安全性，联邦航空局（）对小型飞机的制造做出了许多规定。一般的联邦航空局制造规章和检测是基于一个月进度表进行的，因此小型飞机的制造是以月为单位进行的。表1说明了CRISP 公司的有关飞机制造的重要信息。 CRISP 公司下个月可以得到的生产经理的总数是60人。该公司的飞机制造设施可以同时在任何给定的时间生产多达9架飞机。因此，下一个月可以得到的制造天数是270天（9*30，每月按30天计算）。Jonathan Kuring 是该公司飞机制造管理的主任，他想要确定下个月的生产计划安排，以便使盈利贡献最大化。 解：设1x 表示下个月生产AR1型飞机的数目，2x 表示AR2型，3x 表示AR4型，4x 表示 数学建模-运筹学模型(一) 运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z 211m in ) ,,2,1(0, ,,22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 n j j j x C Z 1 min ),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z 2211m ax 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名 参赛队员(打印并签名) ：1 2 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：2015年7 月27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000 C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1) （一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2) 例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？ 解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。建立以下线性规划模型： 6543218121110913m in x x x x x x z +++++= ???? ???????=≥≤++≤++=+=+=+6 ,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600 400 ..6543216352 41 i x x x x x x x x x x x x x t s i 例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的 检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为： 因检验员错检而造成的损失为： 故目标函数为： 约束条件为： 线性规划模型： 212124323848x x x x +=??+??2 1211282)%5158%2258(x x x x +=????+???2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=???????≥≥≤??≤??≥??+??0,0180015818002581800 158258212121x x x x x x 2 13640m in x x z += 《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示 一、填空题： 1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式： 10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.12212010 11≈=（万元） 应该填写：12.2783万元． 2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式： 10 )05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910 =（万元） 应该填写：32.5779 3．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析． 4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 解： 由商品的均衡价格公式： 8035 2536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80. 5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 解：根据经济订购批量公式： 19110 01.020022*≈??==R c c T s b 209701.011020022*≈??== s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T 二、分析判断题 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决． 解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益． 第 5 次课 2学时 本次课教学重点： 建立数学模型 本次课教学难点： 建立数学模型 本次课教学内容： 第四章线性规划在工商管理中的应用 第一节人力资源分配的问题 例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 班次时间所需人数 1 6：00 ——10：00 60 2 10：00 ——14：00 70 3 14：00 ——18：00 60 4 18：00 ——22：00 50 5 22：00 ——2：00 20 6 2：00 ——6：00 30 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? 解：设x i( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0 例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 1. 某公司生产的产品A,B,C 与D 都要经过下列工序:刨、立铣、钻孔与装配。已知每单位 解:设生产四种产品分别x 1,x 2,x 3,x 4单位 则应满足的目标函数为:max z=2 x 1+3 x 2+ x 3+ x 4 满足的约束条件为: 12341234 123412341234 0.50.51800228000.50.530003236000 100600500400x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≤??+++≤??+++≤? +++≤?? ≥??≥? ≥??≥? 2、某航空公司拥有10架大型客机、15架中型客机与2架小型客机,现要安排从一机场到4城市的航行计划,有关数据如表1-5,要求每天到D 城有2个航次(往返),到A,B,C 城市各4个航次(往返),每架飞机每天只能完成一个航次,且飞行时间最多为18小时,求利润最大的航班计划。 表1-5 建模 设大型客机飞往A 城的架次为x 1A ,中型客机飞往A 城的架次为x 2A ,小型客机飞往A 城的架次为x 3A ,其余依此类推。 资源限制 派出的大型客机架次不能超过10架,表示为 111110A B C D x x x x +++≤ 同理 222333152 A B C A B C x x x x x x ++≤++≤ 班次约束 飞往各城的班次要满足 1231231231234 442 A A A B B B C C C D D D x x x x x x x x x x x x ++=++=++=++= 非负性约束 0ij x ≥ 且为整数;(i=1,2,3;j=A,B,C,D) 目标函数为 111222333max 100002000200020002000200020002000A B C A B C A B C z x x x x x x x x x =++++++++1D －8000x + 3、 CRISP 公司制造四种类型的小型飞机:AR1型(具有一个座位的飞机)、AR2型(具有两个座位的飞机)、AR4型(具有四个座位的飞机)以及AR6型(具有六个座位的飞机)。AR1与AR2一般由私人飞行员购买,而AR4与AR6一般由公司购买,以便加强公司的飞行编队。为了提高安全性,联邦航空局(F 、A 、A)对小型飞机的制造做出了许多规定。一般的联邦航空局制造规章与检测就是基于一个月进度表进行的,因此小型飞机的制造就是以月为单位进行的。表1 说明了CRISP 公司的有关飞机制造的重要信息。 CRISP 公司下个月可以得到的生产经理的总数就是60人。该公司的飞机制造设施可以同时在任何给定的时间生产多达9架飞机。因此,下一个月可以得到的制造天数就是270天(9*30,每月按30天计算)。Jonathan Kuring 就是该公司飞机制造管理的主任,她想要确定下个月的生产计划安排,以便使盈利贡献最大化。 解:设1x 表示下个月生产AR1型飞机的数目,2x 表示AR2型,3x 表示AR4型,4x 表示AR6 型(1分)数学建模中常见的十大模型
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