2019年高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数 第6讲 (2)

一、选择题 1．函数f (x )＝1

（log 2x ）2－1

的定义域为( )

A ．???

?0，12 B ．(2，＋∞) C ．???

?0，1

2∪(2，＋∞) D ．????0，1

2∪[2，＋∞) 解析：选C.要使函数有意义，(log 2x )2－1>0，

即log 2x >1或log 2x <－1，所以x >2或0

2

，

即函数f (x )的定义域为(0，1

2

)∪(2，＋∞)．

2．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1)

解析：选A.由已知得0f (2)．

3．设a ＝log 510，b ＝log 612，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c

解析：选D.因为a ＝log 510＝1＋log 52，b ＝log 612＝1＋log 62，c ＝log 714＝1＋log 72，又0log 62>log 72>0，所以a >b >c ，故选D.

4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )

A ．0

1<1

C ．0

D ．0

1<1

解析：选A.由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a ＞1.函数图象与y 轴的交点坐

标为(0，log a b )，由函数图象可知－1

a

5．若函数f (x )＝log a x (0

A ．24 B.22

C ．14 D.12

解析：选A.因为0

＝log a 2a ，所以1＝3log a 2a ?a ＝(2a )3?8a 2＝1?a ＝2

4

.故选A.

6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x

＋2，则f (1e )＋f (－1

e )的值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．10

解析：选B.因为函数g (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x

是奇函数，所以g (1e )＋g (－1e )＝0，则f (1

e )＋

f (－

1e )＝g (1e )＋2＋g (－1

e

)＋2＝4.故选B. 二、填空题

7．lg 2＋lg 5＋20

＋()51

3

2

×35＝________．

解析：lg 2＋lg 5＋20

＋()513

2

×3

5＝lg 10＋1＋523

×513

＝32＋5＝132

.

答案：132

8．设函数f (x )＝?????41－x

，x ≤1，

1－log 1

4

x ，x >1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．

解析：原不等式等价于?????x ≤1，41－x ≤2或?????x >1，1－log 14

x ≤2，解得1

2≤x ≤1或1

取值集合为??????

x |12≤x ≤4.

答案：????

??

x |12≤x ≤4

9．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．

解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝????log 2x ＋122－14≥－14，

当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2

2

时等号成立，

所以函数f (x )的最小值为－1

4

.

答案：－1

4

10．设函数f (x )＝|log a x |(0

3

，则实数a 的值为________．

解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，

令|log a x |＝1.

得x ＝a 或x ＝1

a ，又1－a －????1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a

＜0， 故1－a ＜1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝2

3.

答案：23

三、解答题

11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；

(2)求f (x )在区间???

?0，3

2上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)， 所以a ＝2. 由?

????1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1，3)， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．

(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；

当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，

故函数f (x )在???

?0，3

2上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；

(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；

(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0成立的解集．

解：(1)要使函数f (x )有意义，则?

????x ＋1＞0，

1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.

故所求函数f (x )的定义域为(－1，1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为(－1，1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．

(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1，1)内是增函数，

所以f (x )＞0?x ＋1

1－x

＞1，解得0＜x ＜1.

所以使f (x )＞0的x 的解集是(0，1)．