不等关系与不等式
一.知识点总结: 1.不等关系与不等式
比差法:a>b ?a-b>0, a
基本性质有: 运算性质有:
(1)a>b ?bb,c>d ?a+c>b+d. 5)a>b>0?a n >b n
(2)a>b,b>c ?a>c (传递性) 2) a>b,c
(3)a>b ?a+c>b+c 3) a>b>0,c>d>0?ac>bd.
(4)c>0时,a>b ?ac>bc 4)a>b>0,0 b c a > c<0时,a>b ?ac 6)a>b>0?n n b a > 3.均值不等式 a,b ∈R +, 2 a b +≥当且仅当a=b 时成立等号) 教材讲了利用它证明不等式和求最值,突出了求最值.可以把此不等式扩充为 2 2a b ab a b +≥≥≥ +(当且仅当a=b 时成立等号).注意“凑”成可用定理的形式. 例题 1).已知,a b R +∈,则下列各数2,,2a b ab a b a b ++是 . 2.)已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11 ()()x y x y ++的最小值为 . 3).已知a,b ∈R ,且满足a+3b=1,则ab 的最大值为___________. 4.一元二次不等式 1)可以把“三个二次”结合起来,突出二次函数的作用. 对于二次项系数为负的情况可以类似研究,如果只是解不等式,可以首先把二次项系数调整为正. 2)解一元二次不等式20(0) ++>≥的思维过程: ax bx c 第一步, 第二步, 第三步, 3)含参问题,要会分类讨论。. 4)高次不等式:对可以分解为几个一次式之积形式的高次不等式应该会用穿线法解答,毕竟教材中有所体现. 5)简单分式不等式、简单的指对不等式(P99 A 3,6;P103 4 ) 5.恒成立问题 1)常用以下结论:k ≥f(x)恒成立?k ≥f(x)max, ;k ≤f(x)恒成立?k ≤f(x) .(P.103 3) min 2)注意它和存在性问题的区别: 存在x使k ≥f(x)成立?k ≥f(x)min ;存在x使k ≤f(x)成立?k ≤f(x)max. 二.参考例题: 1.不等式ax2+ bx + c>0 的解集为(-1 2 ,2),对于系数a、b、c,有如下结论: ①a>0 ②b>0 ③ c>0 ④a + b + c>0 ⑤a – b + c>0,其中正确的结论的序号是_____________. 2.已知两个正变量x,y满足x+y=4,使不等式14 m x y +≥恒成立的实数m的取值范围 是 . 3.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1)≥0的解集为 . 4.方程x2+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2,求实数k的取值范围. 5.解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0 6.解关于x的不等式:a x x a R () () - - >∈ 1 2 1. 7.若不等式 22 820 01 x x mx mx -+<--对一切x 恒成立,求实数m 的范围.(P80 A 6;P99 4) 8.设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|α 9.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围. 课后练习 1.解下列不等式: (1)260x x --<;(2)23100x x -++<;(3)(1)(2) 0(2)(1) x x x x x +-≥+-. 2.已知2{|320}A x x x =-+≤,2{|(1)0}B x x a x a =-++≤, (1)若A B ?≠ ,求a 的取值范围; (2)若B A ?,求a 的取值范围. 3.已知2()2(2)4f x x a x =+-+, (1)如果对一切x R ∈,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围; (2)如果对[3,1]x ∈-,()0f x >恒成立,求实数a 的取值范围 4.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<,则不等式20cx bx a ++<的解集为 . 5.若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立,则a 的取值范围. 6.若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根,则a 的取值范围. 7.关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数,则m 的取值范围. 8.不等式2(1)(2) 0(4) x x x x +-≥+的解集为. 1.若x>0,求f(x)= x x 312 +的最小值 2.若x>0,求f(x)=x x 312 +的最大值 3.已知45 41 24-+-=x x y 的最大值 4.a ,b ∈R ,且a+b=3,则2a +2b 的最小值为 ( ) A .8 B .6 C . D . 5.x>0,y>0,3x+y=12,则xy 的最大值是__________, 11 x y +的最小值是____________. 6.函数y= 4 52 2++x x 的最小值为_______________ 训练题 (1) 已知,a b +∈R ,如果1ab =,那么a b +的最小值为_______;若1a b +=,那么ab 的最 大值为_______. (2) 已知,a b +∈R ,如果1ab =,那么2 2 a b +的最小值为_______;如果2 2 1a b +=,那么ab 的最大值为_______. (3) 已知,a b +∈R ,如果1a b +=,那么2 2 a b +的最小值为_______;如果2 2 1a b +=,那 么a b +的最大值为_______. (4) 若,x y +∈R ,且12=+y x ,则 y x 1 1+的最小值为___________. (5) 已知,x y +∈R ,且 19 1x y +=,则x y +的最小值为___________. (6) 已知54x < ,则函数44145 y x x =-+-的最大值为___________. (7) 函数y =的最大值为_____________________. (8) 已知2 2 0,0,44a b a b >>+= ,则___________. (9) 已知01x <<时,则22222log log 5 ()log x x f x x ++=的最大值为___________. (10) 若0x >,则函数2 1 x y x x = ++的最大值最大值为___________. 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 基本不等式知识点归纳 1.基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件:.0,0>>b a (2)等号成立的条件:当且仅当b a =时取等号. [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义? 提示:①当b a =时,ab b a ≥+2取等号,即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时, ab b a ≥+2取等号,即.2 b a ab b a =?=+ 2.几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3.算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +,几何平均数为a b ,基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时,y x +有最小值是.2p (简记:积定和最小). (2)如果和y x +是定值,p ,那么当且仅当y x =时,xy 有最大值是.4 2 p (简记:和定积最大). [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时,等号取不到时,如何处理? 提示:当等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.例如,x x y 1 +=在2≥x 时的最小值,利用单调性,易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1.已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A .18 B .36 C .81 D .243 解析:选A 因为m >0,n >0,所以m +n ≥2mn =281=18. 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: 高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小) 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a >(对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式: ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】: a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ; a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ; a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式: ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥; ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式: 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式:a b a b a b -±+≤≤ (左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.) 放缩不等式: ①00a b a m >>>>,,则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】: b b m a a m +<+(0,0a b m >>>,糖水的浓度问题). 【拓展】:,则,,000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈, b d a c <,则b b d d a a c c +<<+; ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>,211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则 不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; 3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标 期末复习之不等式知识点 2 3 1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x2–(a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0; 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有: 1、讨论a与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题: 例1.已知关于x的不等式 在(–2,0)上恒成立,求实数a的取值范围. ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2.关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立,求a 的取值范围. 4 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 (1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3),a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a =b 时取“=”号). 总结:已知y x ,都是正数,则有 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)如果和y x +是定值s ,那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正,则要加负号,若不定,则要凑定值,若不等,则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z += 高中数学不等式专题教师版 一、高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、不等式知识要点 1.不等式的基本概念 (1)不等(等)号的定义:. - = < ? a< ? = > - ? > - b a 0b a ; ; b a a b b a b (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a ? >(对称性) a< b b (2)c ? > a> >,(传递性) a c b b (3)c + ? >(加法单调性) a+ > c a b b (4)d > + ? a+ >,(同向不等式相加) > c b a b c d (5)d - ? >,(异向不等式相减) a- < > c b a b d c (6)bc >0 , . > ac c b a> ? (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0 ,0||,2 ≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等 . ,3 a b c a b c R +++∈(4)若、、则 a=b=c 时取等号) 0,2b a ab a b >+≥(5)若则(当仅当 a=b 时取等号) (7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么 2 112a b a b ++(当仅当a=b 时取 等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数): 特别地,22 2()22 a b a b ab ++≤≤ (当a = b 时,22 2()22 a b a b ab ++==) ?幂平均不等式:2212 22 21)...(1 ...n n a a a n a a a +++≥+++ 注:例如:22222()()()ac bd a b c d +≤++. 向量不等式: 【注意】:同向或有; 反向或有; 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式: 同号或有; 异号或有. 绝对值不等式: 双向不等式: (左边当时取得等号,右边当时取得等号.) 放缩不等式: ①,则. 【说明】:(,糖水的浓度问题). 【拓展】:. ②,,则; ③,; ④,. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞; 单调递减区间:(0, ,[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式 1、和积不等式:(当且仅当时取到“”). 【变形】:①(当a = b 时,) 【注意】: , 2、均值不等式: 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ); 若0x <,则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) *.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 3、含立方的几个重要不等式(a 、b 、c 为正数): (,); *不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时, ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数,b a b a -≥22 八种变式: ①222b a ab +≤ ; ②2 )2(b a ab +≤; ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+;⑤若b>0,则b a b a -≥22;⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11;⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥ +; ⑧ 若0≠ab ,则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 (积定和最小) ①,若积,则当时和有最小值; (和定积最大) ②,若和,则当是积有最大值. 【推广】:已知,则有. (1)若积是定值,则当最大时,最大;当最小时,最小. (2)若和是定值,则当最大时,最小;当最小时,最大. ③已知,若,则有则的最小值为: ④已知,若则和的最小值为: ①. ② 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”: ⑴凑系数(乘、除变量系数).例1.当 时,求函的数最大值. ⑵凑项(加、减常数项):例2.已知 ,求函数的最大值. ⑶调整分子:例3.求函数的值域; ⑷变用公式:基本不等式有几个常用变形,,不易想到,应重视; 例4.求函数的最大值; ⑸连用公式:例5.已知,求的最小值;高中数学不等式知识点总结
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