全国卷全国卷导数合集(试题).pdf
（一）
导数的极最值问题
1.(XXXX 新课标Ⅱ）设函数2()mx f x e x mx =+?．
(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)?∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
(Ⅱ)若对于任意1x ，2x [1,1]∈?，都有12|()()|f x f x ?1e ?≤，求m 的取值范围．
2.（XXXX 新课标Ⅰ）设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a ?=+?≠，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线斜率为0．
（Ⅰ）求b ；
（Ⅱ）若存在01,x ≥使得()01
a f x a <
?，求a 的取值范围．
3.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数，曲线()y f x =在点处切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．
2()()4x f x e ax b x x =+??(0,(0))f 44y x =+,a b ()f x ()f x
4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数． （Ⅰ）求的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．
5.（XXXX 新课标2）已知函数()ln (1)f x x a x =+?．
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当()f x 有最大值，且最大值大于22a ?时，求a 的取值范围．
（二）
导数的恒成立问题
1.(XXXX 全国卷Ⅲ)已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++?．
(1)若0a =，证明：当10x ?<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； 2()x
f x x e ?=()f x l l x
(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．
2. （XXXX 新课标）设函数()2x f x e ax =??．
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '?++>，求k 的最大值．
3.（XXXX 新课标）已知函数ln ()1a x b f x x x =
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +?=．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1x f x x >
?．
4. （XXXX 新课标）设函数2()(1)x f x x e ax =??．
（Ⅰ）若12
a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．
5. （XXXX 新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =?．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当0x ≥时，()1f x ax +≤，求a 的取值范围．
6. （XXXX 年全国II 卷）已知函数.
(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)若当时，，求的取值范围.
（三）
导数的零点问题
1.(XXXX 全国卷Ⅱ)已知函数2()e =?x f x ax ．
(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x
()(1)ln (1)f x x x a x =+??4a =()y f x =()1,(1)f ()1,x ∈+∞()0f x ＞a
(2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a
2.（XXXX 新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x ae
a e x =+??． (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．
3.(XXXX 年全国Ⅰ) 已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =?+?有两个零点． （I ）求a 的取值范围；
（II ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<．
4.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数32()32f x x x ax =?++，曲线()y f x =在点（0，2）处的
切线与x 轴交点的横坐标为－2．
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =?只有一个交点
5. （XXXX 全国卷Ⅱ）已知函数321()(1)3
=
?++f x x a x x ． (1)若3=a ，求()f x 的单调区间；
(2)证明：()f x 只有一个零点．
6. （XXXX 新课标1）设函数()2e ln x f x a x =?．
（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数；
（Ⅱ）证明：当0a >时()22ln
f x a a a
+≥．
（四）
导数的不等式问题
1.（XXXX 新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =??．
(1)若()0f x ≥，求a 的值；
(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，21
11(1)(1)(1)222
n m ++???+<，求m 的最小值．
2.(XXXX 年全国Ⅲ) 设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+?+，其中0α>， 记|()|f x 的最大值为A ．
（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．
3.（XXXX 全国卷Ⅰ）已知函数()ln 1=??x f x ae x ．
(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；
(2)证明：当1e
a ≥时，()0≥f x ．
4.（XXXX 全国卷Ⅲ）已知函数21()e
x ax x f x +?=． (1)求曲线()y f x =在点(0,1)?处的切线方程；
(2)证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．
5.（XXXX 新课标Ⅲ）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当0a <时，证明3()24f x a
?
?≤．
6.（XXXX 年全国III 卷）设函数()ln 1f x x x =?+． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x
?<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +?>．
（五）
导数的隐零点问题
1.（XXXX 新课标Ⅱ）已知函数2()ln f x ax ax x x =??，且()0f x ≥．
(1)求a ；
(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x ??<<．
2.(XXXX 年全国Ⅱ)
(I)讨论函数2()e 2
x x f x x ?=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x ?++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax a g x x x
??> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．
（六）
导数的双变量问题
1.(XXXX 全国卷Ⅰ)已知函数1()ln f x x a x x =
?+． (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212
()()2?