《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解

《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解

第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN

F

5.21

=，kN

F

0.12

=，试求危险截面

上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角

点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压性能相同，故只计算最大拉应力：

式中，z

W ，y

W 由14号工字钢，查型钢表得到3102cm W z

=，3

1.16cm W y

=。故

MPa Pa m

m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363

63363max

=?=???+?????=--σ

[习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面

间的夹角为

030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量

GPa

E 10=；梁的尺寸为m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核

)

/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓）

)

/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←）

)

(464.34732.18

1

8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面

)

(2418

1

8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面

)

(51200016012061

61322mm bh W z =??== )(3840001201606

1

61322mm hb W y =??==

最大拉应力出现在左下角点上：

y

y z z W M W M max

max max +=

σ

MPa mm

mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33

636max

=??+??=σ

因为 MPa

974.11max

=σ

，MPa 12][=σ，即：]

[max

σσ

<

所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压

断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核

=

m

w m 0267.0150/4][0202.0==<=。即符合刚

度条件，亦即刚度安全。

[习题8-3] 悬臂梁受集中力F 作用如图所示。已知横截面的直径mm D 120=，mm d 30=，材料的许用应力MPa 160][=σ。试求中性轴的位置，并按照强度条件求梁的许可荷载[F]。

解：

F

F F y 866.030cos 0== （正y 方向↓）

F

q F z 5.030sin 0== （负z 方向←）

)

(732.12866.0m N F F l F M y zmaz ?=?== 出现在固定端截

面，上侧受拉

)

(25.0m N F F l F M z ymaz ?=?== 出现在固定端

截面，外侧受拉

)34(64]41641[2641442244d D d d d D I z -=?+?-=

π

πππ

4

448822419)3034120(64

14.3mm =?-=

)2(64

64126414444d D d D I y -=?-=

π

ππ 4

44

10094119)302120

(6414.3mm =?-= 9816577.18822419

10094119

732.1tan max max =?=?=

F F I I M M z y y z θ

'001363223.639816577.1arctan ===θ，即：中性轴是过大

圆的圆心，与y 轴的正向成'

1363的一条直线（分

布在二、四象限）。

F

F F M M M y z 23222

max 2

max max =+=+= （沿F 作用

线方向）

)(14704060

88224192/3mm D I W z z ===

MPa mm

mm N F W M z 1601470401023

3max max ≤??==σ

kN

N F 763.1111763=≤

kN

F 763.11][=

[习题8-4] 图示一楼梯木料梁的长度m l 4=，截面为m m 1.02.0?的矩形，受均布荷载作用，m kN q /2=。试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力与最大压应力。

解：以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴的正向。过Ａ点，倾斜向下方向为y 轴的正向。

)/(12

1

230sin 0m kN q q x =?

== （负x 方向：↙） )/(32

3

230cos 0m kN q q y =?

== （正y 方向：↘）

A 、

B 支座的反力为：kN

X

A

4=，kN

R Y

B A

32==

ＡＢ杆的轴力：4)4()(-=--=x x q x N x

ＡＢ杆的弯矩：222

3322132

)(x x x q x x M y -=-

=

x 0 1 2 3 4 N -4 -3 -2 -1 0 M

2.598

3.464

2.598

AB 杆的轴力图与弯矩图如图所示。

轴力图

-5

-4-3-2-100

1

2

3

4

x(m)

N(kN)

弯矩图

00.511.522.533.54

0123

4

x(m)M(kNm)

23222.01.0)4(2.01.06

1)866.0464.3()()()(m kN

x m m kN x x A x N W x M x z t ?--

???-=-=σ

)

4(50)866.0464.3(15002

x x x ---=

x

x x 50200129951962

+--=

200

524612992

-+-=x x

（)kPa

令052462598)(=+-=x dx x d t

σ，得：当m x 019.2=时，拉应力取最大值：

MPa

kPa t 097.5)(5.5096200019.25246019.212992max ≈=-?+?-=σ

23222.01.0)4(2.01.06

1)866.0464.3()()()(m kN

x m m kN x x A x N W x M x z c ?--

???--=--=σ

)

4(50)866.0464.3(15002x x x ----=

x

x x 50200129951962+-+-=

200

514612992

--=x x

令051462598)(=-=x dx x d t

σ，得：当m x 981.1=时，压应

力取最大值：

MPa

kPa c 297.5)(5.5296200981.15146981.112992max -≈-=-?-?=σ

[习题8-5] 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为 m 。试求当荷载 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。

解：18号工字钢

， ，AB

杆系弯压组合变形。

A

F W M BC c 0

max

30cos

-

-=中

σ

=∑A M ：02

30sin 0

=?

-?l

F l F

BC ，kN

F

BC

25=

)(25.162

6.25.025230sin 0m kN l F M BC ?=??=?

=中

MPa Pa m

N

m m N c 9.9410)07.783.87(106.3023

10251085.11025.166243343

max -=?+-=??

?-???-=-σ

[习题8-6] 砖砌烟囱高m h 30=，底截面m m -的外径m d 31

=，内径m d 22

=，自重kN P 20001

=，受m kN q /1=的风力作用。试求：

（1）烟囱底截面上的最大压应力； （2）若烟囱的基础埋深m h 40

=，基础及填土自重按kN P 10001

=计算，土壤的许用压应力MPa 3.0][=σ，圆形基础的直径D 应为多大？

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大压应力：

=

=

土壤上的最大压应力

：

即

即

解得：

m

[习题8-7] 螺旋夹紧器立臂的横截面为b a ?和矩形，如图所示。已知该夹紧器工作时承受的夹紧力kN F 16=，材料的许用应力MPa 160][=σ，立臂厚mm a 20=，偏心距mm e 140=。试求立臂宽度b 。

解：立柱是拉弯构件。最大拉应力为： )61(6

122max

b

e b a F ab Fe ab F t +=+=

σ

)140

61(20160002

b b ?+=

)

8401(8002b b +=

正应力强度条件：

][max

σσ≤t

160

)840

1(8002≤+b b

420052=--b b

解得：mm b 356.67=

[习题8-8] 试求图示杆内的最大正应力。力F 与杆的轴线平行。

解：（1）求T 形截面的形心位置 形心在y 轴上，

4

84

282

22

2=+?+?-=a a a a a a y C

（2）把力F 先向y 轴平移，产生一个Fa a F M y

22-=?-=；

然后，再把F 向z 轴平移，又产生一个Fa a F M

z

22-=?-=。

故，T 形截面的杆件是拉伸与双向弯

曲的组合变形构件。

（3）判断最大拉应力与最大压应力出现的位置

由y

M 、z

M 的方向（正负号）可知，A 点处拉应力最大，B 点处压应力最大。

（4）计算最大拉应力

4

22322332]4)2()4(12

1

[]8)2(4121[a a a a a a a a a I z =?+??+?+??=

z

A

z y A y A t I y M I z M A F ++==σσ

max

2

2442

572.02641513222112212a F

a F a a aF a a aF a

F ≈=?+?+

=

（5）计算最大压应力

z

A

z y B y B c I y M I z M A F -

-==σσmax

2

2442

258

.0661********.0212a F

a F a a aF a a aF a

F -≈-=?-?-

=

故杆内的最大正应力是：

2

max 572

.0a F

A t ==σσ。

[习题8-9] 有一高为m 2.1、厚为m 3.0的混凝土墙，浇筑于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求：

（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（高混凝土的密度为

3

3/1045.2m kg ?）；

（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h 为多大？

解：（1）求墙底处的最大拉应力和最大压应力

沿墙长方向取m 1作为计算单元，

则墙的重力为：

)

(6436.88.945.2)2.113.0(kN G =????= （↓）

作用在墙底处的水压力为： )/(76.1112.18.91m kN h q =??=??=γ 墙底处的弯矩：

)

(8224.22.13

1

)2.176.1121(m kN M ?=????=

混凝土墙为压弯构件，墙底的应力为：

MPa kPa m m

kN m kN W M A G z c 217.0972.2163.016

1

8224.213.06436.8322max -=-=???-?-=--

=σ（右）

MPa kPa m m kN m

kN W M A G z t 159.0348.1593.016

18224.213.06436.8322

max ==???+?-=+-

=σ（左）

（2）求混凝土中没有拉应力时的水深h

作用在墙底处的水压力为： )/(8.918.91m kN h h h q =??=??=γ 墙底处的弯矩：

)

(3

9.431

)8.921(3

m kN h h h h M ?=????=

09.108812.283.016

139.413.06436.83323

2

max =+-=???+?-=+-=h m m

kN h m

kN

W M A G z t σ

09.108812.283=+-h

)

(642.0m h =

故当m h 642.0=时，混凝土中不出现拉应力。

[习题8-10] 受拉构件形式状如图，已知截面尺寸为mm mm 540?，承受轴向拉力kN F 12=。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的MPa 100][=σ时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。

解：在切口处，杆件发生拉弯组合变形。 偏心距x x e 5.0)5.020(20=--=。把F 向剩余截面的形心平移后，产生的力矩：

)

(65.012mm kN x x Fe M z ?=?==

最大拉应力出现在切口的上缘，即剩余截面的下缘：

GPa mm x mm

xkN mm x kN W M A F z z t 1.0][)40(56

1

6)40(512322max =≤-???+-=+=

σσ

5

.0)40(36)40(122

≤-+-x x

x 2

)40(5.036)40(12x x x -≤+-

72)40(24)40(2≥----x x x ，化简后，取：

6401282=+-x x

解得mm x 25.5= （最大值）

切口截面中性轴以下区域的应力：

)

(0626054.00690647.0)25.540(512

125.56)

25.540(5122GPa y y I y M A F z z +=-???+-=+=

σ )(605.62065.69)(0626054.00690647.0MPa y GPa y +=+=

]

375.17,0[∈y

切口截面中性轴以上区域的应力：

2)25.540(512

1

25.56)25.540(512-???--=-=

y I y M A F z z σ )(605.62065.69)(0626054.00690647.0MPa y GPa y -=-=

]

375.17,0[∈y

切口截正应力的变化情况如下图所示：

y 0 17.37499 17.37501 34.75 sigma 1156.827 69.065 69.065 -1018.7

切口截面应力变化图

0510

1520253035-1200

-800

-400

400

800

1200

正应力(MPa)截面高度(m)

[习题8-11] 一圆截面杆受偏心力作用，偏心距

mm

e 20=，杆的直径为mm 70，许用应力][σ为MPa 120。

试求杆的许可偏心拉力值。

解：杆为拉弯组合变形构件。最大拉应力为：

][3243

2max σππσ≤+=+=

d F

e d F W M A F z t ][32432max σππσ≤+=+=

d

Fe d F W M A F z t

)

(481.1408695.1404807014.320327014.34/120324][3

3222

32kN N mm mm mm mm N d M d F ≈=??+?=+≤ππσ 即：)

(481.140max

kN F

=。

[习题8-12] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高m 4，已知墙背承受的土压力kN F 137=，并且与铅垂线成夹角0

7.45=α，浆砌石的密度为3

3

/10

35.2m kg ?，其他尺

寸如图所示。试取m 1长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB 上A 点和B 点处的正应力。又砌体的许用压应力][c

σ为

MPa

5.3，许用拉应力为MPa 14.0，试

作强度校核。

解：沿墙长方向取m 1作为计算单元。分块计算砌 体的重量：

kN

m kN m P 272.55/8.935.2)416.0(331=????= kN

m kN m P 696.73/8.935.2)146.12

1

(332=?????=

竖向力分量为： 0

2

1

7.45cos F P P F v

++=

)

(651.2247.45cos 137696.73272.550kN =++=

各力对AB 截面形心之矩为：

AB 之中点离A 点为：m 1.1，1

P 的偏心距为)(8.03.01.11

m e =-=

2P 的偏心距为)(0333.01.1)3

6

.16.0(2

m e

=-+

=

y

F 的偏心距为)

(729.01.1)2.68cos 12.2(03

m e

=-?-=

x

F 的力臂为)

(15.05.14

m e

=-=

4

32211e P e P e P e P M x y +--=

1

7.45sin 137729.07.45cos 1370333.0696.738.0272.5500?+?-?-?=

)(061.70m kN ?= 砌体墙为压弯构件

MPa

kPa m m kN m kN W M

A F z v A 189.0966.1882.216

1061.7012.2651.224322

-=-=???-?-=--

=σ

MPa kPa m m kN m

kN W M A F z v B 0153.0262.152.216

1061.7012.2651.224322

-=-=???+?-=+-

=σ

因为 ]

[||c A

σσ

<，]

[||c B

σσ

<，所以砌体强度足够。

[习题8-13] 试确定图示十字形截面的截面核心边界。

解：

惯性矩与惯性半径的计算（习题8-13)

b h

竖矩形 0.2 0.6 0.0036 平矩形

0.6 0.2 0.0004 ∑

0.004 0.0167

平矩形 0.2 0.6 0.0036 竖矩形

0.6 0.2 0.0004 ∑

0.004

0.0167

[习题8-14] 试确定图示各截面的截面核心边界。

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13)

Z I y

I 2

y

i 2

z i