上海市市北中学高三数学期中考试试题

上海市市北中学高三数学期中考试试题

（考试时刻：120分钟 满分：150分）

姓名___________班级_________学号_________得分__________

一．填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直截了当

填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.

1．已知集合{}11M =-，，11242

x N x x +??=<<∈????

Z ，，则M

N =_____________.

2．设31

sin (),tan(),522

πααππβ=

<<-=则tan(2)αβ-的值等于______________. 3．同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3

π

=x 对称的一个函数是___________.

4．已知函数)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的 定义域是],[ππ-，且它们在],0[π∈x 上的图象如图所示，

则不等式

0)

()

(

π

=

∠B ，当△ABC 的面积等于3时，=C tan .

6．f (x )是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若??

???

<≤<≤-=)

0(,sin )02(,cos )(ππx x x x x f ，则

)4

15(π

-

f 的值等于___________ 7．函数1)1(lo

g +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

n mx y +=的图象上，其中0mn >，则

12

m n

+的最小值为 ． 8.已知二次函数13)(2

-+-=p x x x f ，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，则实数p 的取值范畴是_____________.

9．定义在,2ππ??

?

??

上的函数

()sin f x x x =-，给出下列性质：①()f x 是增函数； ②()f x 是减函数；③()f x 有最大值； ④()f x 有最小值。其中正确的命题是__________.

10．已知函数???≥<-+-=)1(

)1(27)12()(x a x a x a x f x 在（－∞，+∞）上单调递减，则实

数a 的取值范畴是________________.

11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物开释过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时刻t （小时）成正比；药物开释完毕后，y 与t 的函数关

系式为116t a

y -??

= ?

??

（a 为常数），如右图所示。依照图中提

供的信息，回答下列问题：若当空气中每立方米的含药量降

低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物开释开始，至少需要通过 小时后，学生才能回到教室．

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，

不选、选错一律得零分．

12． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的……………………………………………………..（ ）

A ．充要条件

B ． 必要而不充分的条件

C ．充分而不必要的条件

D ．既不充分也不必要的条件

13．在三角形ABC 中，若,sin cos 2sin B A C =则此三角形必是………………（ ）

A ．等腰三角形

B ．正三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

14．函数()111≥+-=

x x y 的反函数是…………………………………………（ ）

Ａ. ()1222

<+-=x x x y Ｂ. ()122

≥-=x x x y Ｃ. ()122

<-=x x x y D. ()1222

≥+-=x x x y

15．给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-，

下列函数中，关于定义域中任意y x ,，不满足其中任何一个等式的是……………（ ）

A ．()3x

f x =

B ．()sin f x x =

C ．2()log f x x =

D ．()tan f x x =

三．解答题 (本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

16． (本题满分12分)

.

,3)(),(2cos sin 4)(的值求实数的最大值为　若已知m x f R x x x m x f ∈-= 17． (本题满分12分) 已知函数.1)1(log )(),4

9(log )2

1()(2

12

2

1--=-=+x x g x x f x f 满足

（1）求函数)(x f 的表达式； （2）若)()(x g x f >，求x 的取值范畴.

18． (本题满分14分)

在ABC △中，已知内角A π

=3，边BC =．设内角B x =，

周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

19． (本题满分14分) 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米, 按交

通法规限制10050≤≤x (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格

是每升2元, 而汽车每小时耗油)3602(2

x +升, 司机的工资是每小时14元.

(1) 求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2) 当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.

(精确到小数点后两位)

20． (本题满分18分)

设函数mx m x x f --=||)(，其中m 为常数且0

（2）试探求)(x f 存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.

21． (本题满分20分)

给出定义：若11

22

m x m -

<≤+（其中m 为整数）

，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上有函数(){})f x x x x R =-∈（.

（1）求)3.8(),2

1

(),4(--f f f 的值；

（2）关于函数()f x ，现给出如下一些判定：

① 函数()y f x =是偶函数； ② 函数()y f x =是周期函数；

③ 函数()y f x =在区间1122??

- ???

，上单调递增；

④ 函数()y f x =的图像关于直线1

()2

x k k Z =+∈对称；

请你将以上四个判定中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明； （3）若206207x -<≤，试求方程9

()23

f x =

的所有解的和.

市北中学08届高三第一学期期中测试卷（理科）

参考答案与评分标准

1．{}1- ； 2．

247； 3．y=sin(x+6

π

)等； 4．),3()0,3(πππ -； 5．32-； 6．

2

2； 7．8； 8.（1，+∞）； 9．① ③； 10．???

???21,83； 11．0.6

12．Ｃ； 13．A ； 14．D ； 15．B

16．.,3)(),(2cos sin 4)(的值求实数的最大值为　若已知m x f R x x x m x f ∈-=

)2.(............................................................1sin 4sin 22cos sin 4)(:2分解-+=-=x m x x

x m x f

分

则令4.....).........11()

12()(2)(,sin ),

12()(sin 22

2

22≤≤-+-+==+-+=t m m t x f x t m m x

①,41)(,1,0m x f t m +=≤-取最大值处则在时当

.............................................................; (21)

341=???≤-=+m m m 得由7分

②,41)(,1,0m x f t m --=>-取最大值处则在时当

分得由10.........................................................., (21)

0341-=?

??>-=+m m m

综上, (2)

1

±=m 12分

17．已知函数.1)1(log )(),49

(log )21()(2

1221--=-=+

x x g x x f x f 函数满足 （Ⅰ）求函数)(x f 的表达式；

（Ⅱ）若)()(x g x f >，求x 的取值范畴. 解：（Ⅰ）,2

1

,21-==+

m x m x 则令

)

5.(............................................................).........2(log )().

2(log )(].

49

)21[(log )(22

122

1221分即--=--=∴--=∴x x x f m m m f m m f

（Ⅱ）),()(x g x f >

)

12....(..........................................................................................321230)9.....(......................................................................).1(22,02).

1(2log )2(log 22

2

122

1分或分<<∴??

?-<><<∴?????-<-->--∴->--∴x x x x x x x x x x x x 18．在ABC △中，已知内角A π

=3

，边BC =B x =，周长为y ．

（1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π

=>>3，，得20B π

<<3

．…（2分） 应用正弦定理，知

sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A =

==π3，………………………………………..（2分）

2sin 4sin sin BC AB C x A π??

=

=- ?3??

．………………………………………………（2分）

因为y AB BC AC =++，

因此224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<<

??3???

，…………………………（2分）

（2

）因为1

4sin sin 2y x x x ?

?=++ ? ??? …………………………（2分）

5x x ππ

ππ???=+

+<+< ??6666?

??

，………………………（2分）

因此，当x ππ+

=62，即x π

=3

时，y

取得最大值…………………………（2分）

19．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米, 按交通法规限制

100x 50≤≤(单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗

油)360

x 2(2

+升, 司机的工资是每小时14元. (1) 求这次行车总费用y 关于x 的表达式；

(2) 当x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值.

(精确到小数点后两位) 解: (1) 设行车所用时刻为)h (x

130

t =

………………………………………(1分) ]100,50[x ,x

13014)360x 2(2x 130y 2 ∈?++??= ……………………………(6分)

因此, 这次行车总费用y 关于x 的表达式是

]100,50[x ,x 3601302x 18130y ∈?+?=

（或:,x 1813

x 2340y +=]100,50[x

∈ ……………………………………(8分) （2）16.821026x 360

130

2x 18130y ≈≥?+?=,]100,50[x

∈………………(11分) 仅当88.561018x ,x 360

1302x 18130≈=?=?即时,

上述不等式中等号成立…………………………………………………(13分)

答：当x 约为56.88km/h 时, 行车的总费用最低, 最低费用的值约为82.16元.……………………………………………………………………………(14分)

20．设函数f (x )＝|x －m |－mx ，其中m 为常数且m <0。 （1）解关于x 的不等式f (x )<0；

（2）试探求f (x )存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值. 解：（1）由f (x )<0得，|x －m |

m x m -

+>?

……2分

①当m =－1时，21

01

x <-???

>-?x <－12

…………………………………………………4分 ②当－1< m <0时，11m x m

m x m ?

?+?

m 1+m

m 1－m ……………………………………6分

③当m <－1时，11m x m

m x m ?

x

………………………………………………8分

综上所述，当m <－1时，不等式解集为{x |x <

m

1－m } 当m =－1时，不等式解集为{x |x <－1

2}

当－1

m 1+m

1－m }………………………10分

（2）f (x )= (1),(1),m x m x m

m x m x m --≥??-++

∵m <0，∴1－m >0，f (x )在[m ，+∞)上单调递增，要使函数f (x )存在最小值，则f (x )在(－∞，m )上是减函数或常数，∴－(1+m )≤0即m ≥－1，又m <0，∴－1≤m <0。

故f (x )存在最小值的充要条件是－1≤m <0，且f (x )min = f (m )=－m 2. …………………18分

21. 给出定义：若11

22

m x m -

<≤+（其中m 为整数）

，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即 {}x m =. 在此基础上有函数(){})f x x x x R =-∈（.

（1）求)3.8(),2

1(),4(--f f f 的值；

（2）关于函数()f x ，现给出如下一些判定：

① 函数()y f x =是偶函数； ② 函数()y f x =是周期函数；

③ 函数()y f x =在区间1122??

- ???

，上单调递增；

④ 函数()y f x =的图像关于直线1

()2

x k k Z =+∈对称；

请你将以上四个判定中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明； （3）若206207x -<≤，试求方程9

()23

f x =

的所有解的和. 21．解： (1))4(f =0，)21(-f =

2

1

， )3.8(-f =0.3. ………………………6分 （2）正确结论有：①②④. ………………………………………………………………9分 证①：当)2

1,2

1(+-∈m m x ，Z m ∈时，)2

1,2

1(+---∈-m m x ，∴m x =}{，m x -=-}{，

∴|||||}{|)(m x m x x x x f -=+-=---=-)(|}{|x f x x =-=； 当21

+

=m x ，Z m ∈时，2

1

)()(=

-=x f x f ，故函数()y f x =是偶函数. …14分

证②：对任意]21,21

(+-∈m m x ，]2

11,211(1++-+∈+m m x ，∴1}1{+=+m x ，

∴|||11||}1{1|)1(m x m x x x x f -=--+=+-+=+)(|}{|x f x x =-=，

故函数()y f x =是以1为周期的周期函数. ……………………………………14分 证④：∵函数()y f x =是偶函数，即)(x f -=)(x f ，

又函数()y f x =是以1为周期的周期函数，即)1(+x f =)(x f ， ∴)1(+x f =)(x f - ?)2

1(x f +=)2

1(x f - ?)21(x k f ++=)2

1

(x k f -+， 故函数()y f x =的图像关于直线1()2

x k k Z =+

∈对称. …………………14分

（3）∵函数()y f x =是偶函数，即求当207206≤≤x 时，所有解之和.

由判定④知当]207,206[∈x 时有两解，且关于2

1

206+=x 对称，故其和为413. …20分