04183概率论与数理统计复习资料
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04183概率统计复习资料
．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0.1
．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 )(x F 连续
．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= k n k k n q p C - ．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则
(23)D X Y ++= 20
．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心
极限定理得()1n i i P X a a =??≥????
∑为常数的近似值为
1?-Φ ?
．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为
则(0,1)F ．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2
2221k X X X ++服从（ ）
分布 2
χ
．设两个独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 21)1(=≤+Y X P
．设总体X~N (2,σμ)，2
σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用
统计量 n
s x t /
0μ-=
．A,B 为二事件，则=B A B A
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．设A 、B 表示两个事件，则AB 表示 A 、B 都不发生；
．设随机变量X 的概率密度为?????<≥=-,
0,
0;0,
e )(5
x x c x f x 则常数c 等于 .设随机变量X 的概率密度为其他1
0,,0
)(3≤≤???=x ax x f ，则常数a=
.设21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P . 随机变量F~F(n 1 ，n 2）,则
F
1~ F(n 2，n 1)
． 对任意随机变量X ，若E(X)存在，则E(E(X))等于 E(X)
．设()~0,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~Z X Y =- (0,3)N ．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是
.设C B A ,,为三事件，则=?B C A )( B C A ?)(
．已知)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ，则=)(B A P 。 ．设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则随σ的增大,概率P {}σμ≤-X 保持不变 ．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H 0：μ=μ0，
那么在0.01的显著水平下 可能接受,也可能拒绝
．设()F x 和()f x 分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有 ()0F -∞=
．设X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(EX X P 0.5 ．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
则(1)P X Y +≤=
.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令Y=-2X ，则Y 的概率密度)(y f Y 为
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A ．)2(y f X -
B ．)2
(y f X -
C ．)2
(21
y
f X -
-
D ．
)2
(2
1y f X -
．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且)1(+X E =3，则λ
．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) F x (x)
．设Ａ与Ｂ互为对立事件，且Ｐ(A)>0, Ｐ(B)>0,则下列各式中正确的是( )。
A ．()1P
B A =
B ．1)(=B A P
C ．()1P B A =
D ． ()0.5P AB =
．设随机变量Ｘ～Ｕ(2, 4), 则Ｐ(3 A ．Ｐ(2.25 B ．Ｐ(1.5 C ．Ｐ(3.5 D ．Ｐ(4.5 ．设随机变量X 的概率密度为?? ?<<=其它 , 010, 2)(x x x f ，则)32(<<-X P ．设Ｘ～Ｎ(-1, 2), Y~Ｎ(1, 3), 且Ｘ与Ｙ相互独立，则X+Y~ .设随机变量X ～B （36， 6 1），则D （X ） 5 ． 100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是 ．袋中有5个黑球，2个白球，一次随机地摸出3个球，其中恰好有2个白球的概率为 ．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则)3(=X P = ．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X 与Y 相互独立，则X 2+Y 2 ~ ．设总体X 服从正态分布()2 ,N μσ，n X X X ,,,21 来自总体X 的样本，X 为样本均 值，则)(X D = ．设随机变量X 的分布律为 则(212)P X -<=．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ= ．设()1F x 与()2F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使()()()12F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则b a ,满足 ．设X ～N(1,4) ，则 4 ) 1(2 -X ～ 试卷 第页（共■页） ．设n X X X ,,,21 来自正态总体()2 ,N μσ （0>σ ）的样本，则 n X σ μ -服从 . 已知)(A P =)(B P =1，61)(=B A P ，则=)(B A P . 抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X ，则P(X ≤4)= .设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数xy ρ=0.12, 则COV(X,Y)= . (X,Y)~f(x, y)=其他0 ,0,,0)(≥≥? ??+-y x Ce y x ，则C= . 若随机变量X 的方差存在，由切比雪夫不等式可得≤>-)1)((X E X P . 总体X~N (2,σμ)，n x x x 21,为其样本，未知参数μ的矩估计为 . 设随机变量X 的概率密度为?? ?<<=其它 , 010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重 复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则EY = . 样本来自正态总体N(μ，σ2),当σ2未知时，要检验H 0: μ=μ0 ，采用的统计量是 ．在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独立。 现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为 ．设连续型随机变量X 的密度为? ? ?<<=其它 ，02 0,2)(x x x f ，则=≤≤-)1X 1(P ．设X 服从)4,2(N ,则)2(≤X P = ．设12,,,n X X X 是来自于总体服从参数为λ的泊松分布的样本，则λ的一无偏估计为 ．设随机变量(1,2)i X i =的分布律为 且12,X X 独立，则{}120,1P X X ==-= ．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则Y X 2+服从 ．设X 为连续型随机变量，c 为常数，则()P X c == 试卷 第页（共■页） ．设随机变量X 的分布律为 记X 的分布函数为()F x ，则(1)F = ．把3个不同的球随机放入3个不同的盒中，则出现2个空盒的概率为 ．设A ，B 为随机事件，则=A B A )( . 设Ａ,Ｂ为随机事件，且Ｐ(A)＝0.8 Ｐ(B)=0.4 =)(A B P 0.25,则)(B A P ＝ . 若已知)(X E =2 , )(X D =4, 则E(2X 2)= . 设随机变量X ～N （1，9），)32(+X D = . 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生但B 不发生的概率与B 发生但A 不发生的概率相等，则)(A P = .n x x x 21,为总体X 的样本，X 服从[0, θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，记 ∑== n i i x n x 1 1 ，则θ的无偏估计是 . 若E(X)= μ, D(X)= σ2 >0, 由切比雪夫不等式可估计≥+<<-)33(σμσμX P . 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = . 随机变量F~F(n 1 ，n 2）,则F 1~ ．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[-2,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为λ=3的指数分布，求：（X , Y ）的概率密度。 ．设连续型随机变量X 的分布函数为 ?? ?<≥-=- 0,0 ,)(x x e a x F x 求：(1)求常数a ；(2) 求随机变量X 的密度函数。 ．设随机变量~(2,5)X U ，现对X 进行三次独立观测，求（1）(3)P X >；（2）至少有两次观测值大于3的概率。 ．设n X X ,,1 是来自总体的一样本，求?? ???≤≤=-其它 ,01 0,),(1 x x x f θθθ，其中θ为未知参 试卷 第页（共■页） 数，求θ的矩估计。 ．已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值μ=0.13(mm)，标准差σ=0.015(mm)。 某日开工后检查10处厚度，算出其平均值x =0.146(mm)，若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均值与0.13(mm)有无显著差异(α=0.05，96.1025.0=u )？ . 10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率，（2）至少有一件是次品的概率。 . 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，13 ， 112 ，而乘飞机则不会迟到， 求： (1)他迟到的概率。(2)已知迟到了，他 乘火车来的概率是多少。 . 设随机变量X 的分布律为? ?? ? ??1.04.02.03.02320πππ，求Y 的分布律，其中， (1)2)2(π-=X Y ; (2)cos(2)Z X π=-。 . 正常人的脉搏平均次数为72次/分。今对10 名某种疾病患者测量脉搏，平均数为 67.5次/分，样本标准差为6.3386。设患者的脉搏次数X 服从正态分布，试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异。[ 注α=0.05，t 0.025（9）=2.262] ．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为100 和200，现从A 和B 的产品中分别占6000和 4000的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A 生产的概率。 ．已知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，求1X =aX+b 与2X =CY+d 的相关系数，其中a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0 ，c ≠0． ．设n X X ,,1 是来自总体X 的一样本，求(1),01 (,)0,x x f x θθθ?+≤≤=?? 其它，其中θ为未知 参数，求θ极大似然估计。 ．从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。 . 设二维随机变量的分布律为 试卷 第页（共■页） 试求：(1). (X, Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律，(2). X 与Y 是否相互独立，为什么? .设X 的密度函数为其他， 1 0, ,0 )1(2)(< ? ?-=x x x f ，求Y=X 3 的期望和方差。 . 设(X ，Y)的概率密度为 3, 01, 01 (,)0, x y x y f x y -≤≤≤≤?=? ?其他 (1)求边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ；(2) 求)(X E 和)(X D ．设随机变量X 的密度函数为 2,03 ()0,ax x f x ?<<=??其他 求：（1）常数a 的值； （2）1Y X =-的密度函数()Y f y 。 .设连续型随机变量X 的分布函数为 ,8,80, 0,,,1 80)(≥<≤ x F 求(1).X 的概率密度)(x f ; (2).)8 )()((X D X E X P ≤ - ．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(Ω)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(Ω)，设总体为正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准 差显著地偏大。(20.05(8)χ=15.507，2 0.95(8)χ=2.733)。 .某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。现在改变了原材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取10根，测得折断力的平均值为574.8公斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？(96.1, 05.0025.0==μα) 数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】数三概率论与数理统计教学大纲
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