第4讲 利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转

第4讲利用轴对称破解最短路径问题

一、学习目标

1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识·轻松学

与轴对称有关的最短路径问题

关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；

（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

三、重难疑点·轻松破

最短路径问题

在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题

例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．

（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点，

∴PB=PB′，∵AB′=AP+PB′，

∴AB′=AP+PB．

（2）如图：连接AN，BN，B′N，

∵AB′=AP+PB，

∴AN+NB=AN+NB′＞AB′，

∴AN+NB＞AP+PB．

点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短得出结果。这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，关键是利用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等．

变式1 需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场

到A，B两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置．

（2）“两点两线（平行）”问题

例2 如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？

解析：虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关

键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法

使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．

如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，

连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，

则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故

PD=BB′．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．

故桥建立在PD处符合题意．

点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，解决“造桥选址”的简单的实际问题．但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．此类题往往需要利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．

变式2 如图，两个村庄A和B被一条河隔开，现要在河

上架设一座桥CD．请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距

离最小（假定两河岸m、n是平行的，且桥要与河垂直）．要求

写出作法，并说明理由．

（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题

例3：如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一

点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点P关于AB，AC

的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M，

以BA为对称轴作出P的对称点N，

连MN交BA、BC于点P1、P2

∴△PP1P2为所求作三角形．

点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线

上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题．

变式3 城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如

图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站

在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图

帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

（4）“一线异侧两点”“差最大”问题

例4 在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作

一点P，使PA与PB之差的绝对值最大．

解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B′，

作直线AB′交XY于P点，

则点P为所求点（如图）；若B′A∥XY（即B′、A到直

线XY的距离相等），则点P不存在．

证明：连接BP，在XY上任意取点P′，

连接P′A、P′B，则PB=PB′，P′B=P′B，

因为|P′B﹣P′A|=|P′B′﹣P′A|＜AB′=|P′B﹣

PA|=|PB﹣PA|，

所以，此时点P使|PA﹣PB|最大．

点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解．

变式4.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，连接MB，若AB＝8 cm，△MBC的周长是14 cm，

（1）求BC的长

（2）在直线MN上是否存在点P，使｜PA－CP｜的值最大，若存在，

画出点P的位置，并求最大值，若不存在，说明理由。

（5）“两点一线＋线段”

例5 直线L的同侧有两点A、B，在直线L上求两点C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的长为定值a，点D在点C的右侧。

作法：①将点A向右平移a个单位到A1

②作点B关于直线L的对称点B1

③连结A1B1交直线L于点D

④过点A作AC∥A1D交直线L于点C，连结BD，

则线段AC、CD、DB的和最小。点C、D即为所求。

变式5长方形OACB，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，画出

点E的位置；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF

的周长最小时，画出点E、F的位置；

（6）台球击点问题

例6如图，在台球桌面ABCD上，有白和黑两球分别位于M，N

两点处，问：怎样撞击白球M，使白球先撞击台边BC，反弹后再去

击中黑球N？

解析：作N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点E，连接EN．按

ME方向撞击白球M，白球M反弹后必沿EN方向击中黑球N．

点评：要使白球M撞击台边BC反弹后再去击中黑球N，必须使

∠MEB=∠NEC．由轴对称还可得，∠N′EC=∠NEC．又对顶角

∠MEB=∠N′EC，故可得到∠MEB=∠NEC．本题重在考查轴对称的性质在实际生活中的应

用，关键注意对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．变式6如图，甲乙丙丁四人做接力游戏．开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E 点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB、CD边上．游

戏规则是，甲将接力棒传给乙，乙传给丙，丙传给丁，最后丁

跑回传给甲．如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何

处，他们的比赛用时最短？（请画出路线，并保留作图痕迹，

作法不用写）

四、课时作业·轻松练

A.基础题组

1.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）

A、B、 C、D、

2.已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为cm．

第2题第3题

3.如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD= °．

4.为庆祝60年国庆圣典，阳光中学八年级（2）班举行一次文艺晚会，桌子摆成两真线

（如图：AO，OB）AO桌子上摆满苹果，BO桌子上摆满桔子，坐在C

处的小华想先拿苹果再拿桔子，然后回到座位C处，∠AOB小于90

度，请你帮助他设计一条行走路线，使小华所走路程最短．请作出

路线图，并用字母表示所走路线．（保留作图痕迹，不写作法、不必

说明理由）

B.中档题组

5.如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后

赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的

都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位

置．

6.如图，一牧民从A点出发，到草地出发，到草地MN去

喂马，该牧民在傍晚回到营帐B之前先带马去小河边PQ给马

饮水（MN、PQ均为直线），试问牧民应走怎样的路线，才能使

整个路程最短？（简要说明作图步骤，并在图上画出）

C.挑战题组

7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，

从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设

护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上

相距65米，南北方向上相距85米，如何架桥可使到A到B的

路程最短，画出路程图

五、我的错题本

参考答案

变式练习

变式1解：利用轴对称图形的性质可作点A关于公路的对称点A′，连接A′B，与公路的交点就是点P的位置．

变式2 解：如图，过点B作BC⊥n，且使BC等于河宽，连接AC交

直线m与M，作MN∥BC即可．理由：两点之间线段最短．

变式3解析：本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使

△CDE的周长最小．如果作点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称

点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC=MN，此时周

长最小．

变式4解：（1）因MN垂直平分AB，所以MB＝MA，又因△MBC的周长是14 cm，故AC+BC ＝14 cm，所以BC＝6 cm.

（2）当点P位于直线MN与BC延长线的交点时，PA－CP的值最大，最大值是6cm，理由：因A、B关于直线MN对称，所以AP=BP，当点P位于MN

（直线MN与BC延长线的交点除外）上时，根据三角形三边关系始

终有｜PB－CP｜

即B、C、P三点成线时，存在｜PA－CP｜＝BC＝6 cm为最大值，

变式5解：（1）如图，作点D关于OA的对称点D'，连接CD'与OA交于

点E，连接DE．

若在边OA上任取点E'与点E不重合、，连接CE'、DE'、D'E'

由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周长最小．

（2）如图，作点D关于OA的对称点D'，在CB边上截取CG=2，连接D'G

与OA交于点E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，∴四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF，

又GC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小．

变式6解：作点G关于CD的对称点G′，作E关于AB的对称点E′

连接G′E′，交CD于点F、交AB于点H，故比赛最短的路线为：E→H→G→F．课堂作业

A.基础题组

1.D解析：利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．

根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．

2.10解析：连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，

PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．连接PC，∵△ABC为等边

三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：

PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm．

3. 45°解析：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，

正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．

4.解析：要求小华所走路程最短路线，如图，可作点C关于OA的对

称点M，作点C关于OB的对称点N．连接MN，交OA于点F，交OB于点E，最短路线CEF．

B.中档题组

5解：作出点A关于l1的对称点E，点B适于l2的对称点F，连接EF，交于l1，l2于点C，点B，则AC，CD，BD是他走的最短路线．

6.解：如图，分别作A点关于直线MN的对称点A′、B点关于

直线PQ的对称点B′，连接A′B′，分别交MN于点C，交PQ于点D，

连接AC、BD，∴路线AC+CD+BD最短．

C.挑战题组

7.解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接

GF，与河岸相交于E′、D′．作DD′、EE′即为桥．

证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D

为平行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段

最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最

短．

考点13 轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13 轴对称——最短路径问题 一．选择题（共12小题） 1．（2020·四川成都）如图，30AOB ∠=?，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ） A ．60βα-=? B ．210βα+=? C ．230βα-=? D ．2240βα+=? 【答案】B 【解析】 如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ， 交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．

易知'∠=∠=∠OPM OPM NPQ ，'∠=∠=∠OQP AQN AQN ． ∵18030∠=?-?-∠OQN ONQ ，30∠=∠=?+∠OPM NPQ OQP 30∠=∠=?+∠OQP AQN ONQ ， ∵303018030210+=?+?+∠+?-?-∠=?ONQ ONQ αβ． 故选：B. 【点睛】 本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（2020·银川）如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m 上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】

作点M 关于直线m 的对称点M '，连接NM '交直线m 于P ，则P 处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除A 、B 、C 选项，可知D 选项管道最短． 故选：D ． 3．（2020·河北武安期末）如图，∵ABC 中，AB=AC=10，BC=16，AD 是BC 边上的中线且AD=6，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）. A ．485 B ．16 C ．6 D ．10 【答案】A 【解析】 解：如下图所示，作BG∵AM 于M ，交AD 于F ， ∵∵ABC 中，AB=AC=10，AD 是BC 边上的中线， ∵∵ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，BD=DC ， ∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∵ BF=CF ． 则BF EF +有最小值时，CF EF +有相同的最小值． 根据垂线段最短可得出CF EF +=BF EF +≥=BF FM BM +，则CF EF +取最小值时，=CF EF BM +． 根据三角形的面积公式，可得： 11==22 ABC S AD BC AC BM ??△，

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1),要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析:如图２,我们可以把公路a近似看成一条直线，问题就是要在a上找一点Ｍ，使AM与BＭ的和最小。设A′是Ａ的对称点,本问题也就是要使A′Ｍ与BＭ的和最小。在连接Ａ′Ｂ的线中,线段Ａ′B最短。因此,线段A′B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3，为了证明点Ｃ的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接ＡN、BN、Ａ′N。 因为直线ａ是Ａ,A′的对称轴,点M，N在a上，所以AＭ= A′M,AＮ= A′N。 ∴ＡM+BＭ= A′M+ＢM＝ A′Ｂ 在△A′BＮ中, ∵Ａ′Ｂ

第4讲利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．

(完整版)利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加 油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 使AM与BM的和最小。设A'是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连 接A B的线中，线段A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。 如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线a上另外任取一点N,连接AN BN A No 因为直线a是A A'的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A M,AN= A N。 ??? AM+BM= A M+BM= A B 在厶A BN中， ?/ A B< A N+BN ? AM+B< AN+BN 即AM+BMt小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道 中考题解决了。思路如下：②??? BC= 9 （定值），?△ PBC的周长最小，就是PB+ PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小?此时DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90°,得厶DAF^A ABC. EF// BC, 1 15 9 得AE= BE= AB= , EF= . ? AF： BC= AD：AB, 即卩 6 : 9 = AD：15. ? AD= 10. Rt△ ADF 2 2 2 9 25 25 中，AD= 10, AF= 6,「. DF= 8. ? DE= DF+ FE= 8+ =一. ???当x = 时，△ PBC的周长 2 2 2

八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版

八上数学每日一练：轴对称的应用-最短距离问题练习题及答案_2020年解答题版 答案解析答案解析答案解析 2020年八上数学：图形的变换_轴对称变换_轴对称的应用-最短距离问题练习题 1. (2019洛阳.八上期中) 如图，在等边△ABC 中，AB ＝4，角BAC 的平分线交BC 于点D ，M 为AB 边中点，N 是AD 上的动点. ①在图上作出使得BN+MN 的和最小时点N 的位置，并说明理由. ②求出BN+MN 的最小值.（提示：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有AC +BC ＝AB 成立） 考点： 等边三角形的性质;勾股定理;轴对称的应用-最短距离问题 ;2. (2018徐州.八上期末) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x 的图象为直线l ． （1） 观察与探究 已知点A 与A′，点B 与B′分别关于直线l 对称，其位置和坐标如图所示．请在图中标出C （4，﹣1）关于线l 的对称点C′的位置，并写出C′的坐标 （2） 归纳与发现 观察以上三组对称点的坐标，你会发现： 平面直角坐标系中点P （a ，b ）关于直线l 的对称点P′的坐标为； （3） 运用与拓展 已知两点M （﹣3，3）、N （﹣4，﹣1），试在直线l 上作出点Q ，使点Q 到M 、N 两点的距离之和最小，并求出相应的最小值． 考点： 轴对称的应用-最短距离问题;3. (2017海勃湾.八上期末) 如图，∠AOB 的内部有一点P ，在射线OA ，OB 边上各取一点P ， P ， 使得△ PP P 的周长最小，作出点P ， P ， 叙述作图过程（作法），保留作图痕迹． 考点： 轴对称的应用-最短距离问题;222121212

第十三章轴对称13.4最短路径问题(练习)

第十三章轴对称 13.4 最短路径问题（练习） 精选练习 一、单选题（共10小题） 1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停 靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（） A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间

【答案】A 【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程 之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米）， ②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米）， ③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米）， ④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的 和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500， ⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500． ∴该停靠点的位置应设在点A； 故选：A． 【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B 的路程最短的是( ) A．

(完整版)利用轴对称求最短距离[1]

最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小． l B A 【方法归纳】 ①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求． l A l ②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． l B A l ③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点 C ， D 即为所求． O B O B ④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．

B O B O ⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求． l l ⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝1 4x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． 1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

轴对称最短路径问题

优学小班——提分更快、针对更强、时效更高 名师堂学校优学小班讲义 轴对称——最短路径问题 现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活? 数学”, “活动? 思考”为主线展开课程内容，注 重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来自于“饮马 问题”、“造桥选址问题”，出题背景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上述类型 做一个简单的归纳。 例1．如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若 点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？ 分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接 A′B，得到最短距离为A′B，再根据全等三角形的性质和 A到河岸CD的中点的距离为500米，即可求出A'B的值． A′B=1000米． 故最短距离是1000米． 例2．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求： 最短距离EP+BP． 分析：此题中，点E、B的位置就相当于例1中的点A、B，动点P所在有直线作为对称轴相当于例1 中的小河。故根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD 成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位 置 例3．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线 OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短． 名师堂校区地址：南充咨询电话：

分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性质确定三角形的另两点． 分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，连接P1P2交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短． 例４．如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？ 分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接 转化为线段，常用的方法是构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问 题解答． 这就是“造桥选址问题” 解：作AF⊥CD，且AF=河宽， 作BG⊥CE，且BG=河宽， 连接GF，与河岸相交于E′、D′． 作DD′、EE′即为桥． 证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′， 则四边形AFD′D为平行四边形， 于是AD=FD′， 同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短． 例５．（2008?内江）如图，当四边形PABN的周长最小时，a= 。。 分析：因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出PA+NB的长度就行了．问题就是PA+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时PA+NB最短．再求a的值． 此题中的PN就相当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．

2013中考数学求最短距离大全含答案

2013求最短距离问题大全 一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________． 2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离 为5cm，则弦AB的长为_________． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表 面到D点的最短距离为_________． 5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________． 6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？

10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（） A、12 B、4π C、D、 14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第4讲--利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1. 理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识·轻松学 与轴对称有关的最短路径问题 关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直”。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点·轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到

有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题”、“造桥选址问题”，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1 如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？ （2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．解析：（1）∵点B′是点B关于m的对称点， ∴PB=PB′，∵AB′ =AP+PB′， ∴AB′=AP+PB． （2）如图：连接AN，BN， B′N， ∵AB′=AP+PB， ∴AN+NB=AN+NB′＞AB′， ∴AN+NB＞AP+PB．

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 欧阳学文 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A′是A 的对称点，本问题也就是要使A′M 与BM 的和最小。在连接A′B 的线中，线段A′B 最短。因此，线段A′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A′N。

因为直线a是A，A′的对称轴，点M,N在a上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB ＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD ＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF ＋FE＝8＋＝.∴当x＝时，△PBC的周长最小，y值略。

利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转 第4 讲利用轴对称破解最短路径问题 一、学习目标 1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。 2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。 二、基础知识?轻松学 与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论： （1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）； （2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。 （4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。） 三、重难疑点?轻松破 最短路径问题 在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。 （1）“一线同侧两点”问题 例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P. （1）AB与AP+PB相等吗为什么 （2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.

巧借轴对称求最短距离

a b A B M D C 图 6 a b P M 图5 l B 图1 A 巧借轴对称求最短距离 大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题. 例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库. ⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？ ⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？ 分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求. 解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置. ⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置. 例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水. ⑴求到河边饮水的最短路线. ⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图. 分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要. ⑴可抽象为点M 到直 图4 P l B 图2 A C A D l B 图3 A

利用轴对称求最短距离

利用轴对称求最短距离 轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年从事初三数学教学工作的一些体会。概括一些一些常见的题型。 一、基础知识 如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。 A 1 二、典型例题： A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题： 如图所示，菱形ABCD 中， ∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。 解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。 ∴点B 关于直线AC 的对称点为点D, A B L P

连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 ∴PM+PM 的最小值为32. （2）以矩形为载体求最短距离问题 在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。 解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E, 过点E ，作EF ⊥AB ， A ′E=2243 =5 ∴PA+PE 的最小值为5。 M A A 1 E D

中考数学压轴题专项汇编专题轴对称之最短路径

专题6 轴对称之最短路径 破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有： 1．已知：在直线l 同恻有A ．B 两点，在l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小． 作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P 2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小 作法：如图，连结，作线段的垂甫平分线．与直线l 的交点就是点P 3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大 作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P A B l B A P l A B l A B l P A B l l A B P

4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小， 作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小． 5．已知：在∠MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小． 作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ， OM 的交点就是点Q ，R ． 6．已知：在∠MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小 A l a l N N

轴对称——最短路径问题精编版

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利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离 问题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。

教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。 一、三角形中的轴对称 题目1： 如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D 是BC 边上的中点,E 是AB 边上的一动点,则EC+ED 的最小值是 __ 点评：本题只要把点C 、D 看成基本题中的Ａ、Ｂ两镇，把线段AB 看成燃气管道a ，问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。 二、四边形中的轴对称 题目:2： 如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2,N 是AC 上的动点，则DN+MN 的最小值为多少 点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D 关于直线AC 的对称点正好是点B ，最小值为MB ＝10。 A C 第1题图

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离 问题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC ＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋

PC 最小.由题意可知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小.此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB.由∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC. EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝ 12AB ＝152，EF ＝9 2 .∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15.∴AD ＝10. Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8.∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝25 2 .∴当 x ＝25 2时，△PBC 的周长最小， y 值略。 数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。同时每年的中考题也千变万化，为了提高学生的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学生。 一、 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。 ∠ACB=90°,D 是的最小值是 __ A C

中考数学复习：轴对称之最短路径

中考数学复习：轴对称之最短路径 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有： 1．已知：在直线l 同恻有A ． l 上找一点P ，使得AP ＋PB 最小． 作法：如图．作点A 关于直线l 的对称点A ’，连结A 'B ，与直线，的交点就是点P 2．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ，使得|AP －PB |最小 l 的交点就是点P 3．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点，在l 上找一点P ．使得|AP －PB |最大 作法：如图，连结BA 并延长，与直线，的交点就是点P A l A ' A l l A l

4．已知：在直线l 同侧有A ，B 两点．在l 上找两点C ，D （其中CD 的长度固定，等于 所给线段d ），使得AC ＋CD ＋DB 最小， 作法：如图，先将点A 向右平移口个单位长度到点A '，作A '关于直线l 的对称点A "， 连结A "B ，与直线l 的交点就是点D ．连结A 'D ，过点A 作AC ∥A 'D ，交直线l 于点C ．则 此时AC '＋CD ＋DB 最小． 5．已知：在∠MON 内有一点P ，在边ON ，OM 上分别找点Q ，R ，使得PQ ＋QR ＋RP 最小． 作法：如图，分别作点P 关于射线OM 的对称点P '，P "，连结P 'P "，与射线ON ， OM 的交点就是点Q ，R ． 6．已知：在∠MON 内有一点P ，在边OM ，ON 上分别找点R ，Q ．使得PR ＋QR 最小 作法：如图，作点P 关于射线OM 的对称点P '，作P 'Q ⊥ON ，垂足为Q ，P 'Q 与射线ON 的交点就是R ． A l a l N N

最短路径问题专项练习题

最短路径问题专项练习 共13页，全面复习与联系最短路径问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于 这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′， B ′ C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 【例1】 在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题

利用轴对称求最短距离问题 基本题引入:如图（1），要在公路道a 上修建一个加油站，有Ａ，Ｂ两人要去加油站加油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？ 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，我们可以把公路a 近似看成一条直线，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a a ·A ·B 图 ·A ·B a ·A ′ M 图·A ·B a ·A ′ M N 图

上，所以AM= A′M,AN= A′N。 ∴AM+BM= A′M+BM= A′B 在△A′BN中， ∵A′B＜A′N+BN ∴AM+BM＜AN+BN 即AM+BM最小。 点评：经过复习学生恍然大悟、面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下：②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由题意可知，点C关于直线DE的对称点是点A，显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB ＋PA＝AB.由∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC，得AE＝BE＝1 2 AB ＝15 2，EF＝9 2 .∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶ 15.∴AD＝10. Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴ DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋9 2＝25 2 .∴当x＝25 2 时， △PBC的周长最小， y值略。 数学新课程标准告诉我们：教师要充分关注学生的学习过程，遵循学生认知规律，合理组织