初中升高中数学衔接 初升高

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本题8小题，每小题3分，共24分）

1．若，则的值为（ ）．

（A ） （B ） （C ） （D ）

2．若实数a ，b 满足 ，则a 的取值范围是（）．

（A ）a

（B ）a 4 （C ）a≤

或a≥4 （D ）

≤a≤4

3

则该组学生成绩的中位数是 A ．70

B. 75

C. 80

D. 85

4. 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，

以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠ ，②OA=OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ?=S DOC ?，其中正确的是

A. ①②

B.①④

C.②③④

D.①②④

5. 函数b kx y +=的图象如图2所示，

则当y ＜0时，x 的取值范围是 A. x ＜－2 B. x ＞－2C. x ＜－1 D.

x ＞－1

6．已知a ＝－1，则2a3＋7a2－2a －12的值等于 （）

7．图3是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是 A 、13 B 、26 C 、47 D 、94

8. 跟我学剪五角星：如图4，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图

②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC 剪下△ABC ，展开即可得到一个五角星.若想

得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36?

），则在图③中应沿什么角度剪？即∠ABC 的度数为

二、认真填一填（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）请将答案直接写在题中横线上．

9．如图，四边形ABCD 中，E F G H ，，，分别是边AB BC CD DA ，，，的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是 ．

10

．根据下面的运算程序，若输入1x =y = ．

11．某商场为了解本商场的服务质量，随机调查了本商场的200名顾客，调查的结果如图所

示．根据图中给出的信息，这200名顾客中对该商场的服务质量表示不满意的有 （）人．

A ：满意

B ：基本满意

C ：说不清

D ：不满意 （第11题图）

（第10题图）

A D H

G

C F

B

E （第9题图）

12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A

的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标

初升高数学衔接班学法指导

一、学习目标：

1、认识初高中数学学习的特点和差异

2、了解高中数学的考法

3、了解高中数学的学习策略和学习方法

二、学习重点：

1、初高中数学知识差异与学法差异

2、针对高中数学的特点与考法，培养适合高中数学的学习方法、养成良好的学习习惯。

三、重点讲解：

高中数学的特点是：注重抽象思维，内容庞杂、知识难度大。高中教材不再像初中教材那样贴近生活，生动形象，知识容量也更为紧密。客观的说，初高中知识之间存在断层，正是由于这种断层造成很多同学难以在较短时间内适应高中数学的学习。那么，如何做好初高中数学学习的衔接过渡，使得同学们对高中数学学习有一个正确的认识，并迅速适应新的教学模式呢？

下面我们就一起探讨如何应对高中数学的学习。

（一）高中数学教材分析

高中数学课程分为必修和选修。必修课程由5个模块（5本书）构成；选修课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干模块构成（系列1两本书、系列2三本书），系列3、系列4由若干专题组成。内容涉及初等函数、数列、概率与统计、算法、平面解析几何、立体几何等等。进入高中，我们首先学习的是《必修1》模块，我们应先对这一模块有一个大体的了解。

《必修1》模块由两章构成，分别是：

第一章：集合

第二章：函数

如何理解集合呢？集合是一种数学语言，我们要能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，提高我们运用数学语言进行交流的能力。

在初中学习函数的基础上，我们还要进一步学习函数，只不过高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，在初中一次函数、二次函数、反比例函数的基础上，我们还将学习指数函数、对数函数、幂函数这些新的函数类型，而函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。

（二）高中数学与初中数学特点的变化

1、数学语言在抽象程度上的突变。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高中数学一开始即在初中学习的“函数”的基础上触及抽象的“集合语言”。

例如：初中是这样定义函数的：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟一的值y与它对应，那么就说自变量x是y的函数。那么，y=1是函数吗？我们需要进一步深化函数的概念。在高中是用集合的语言来定义函数的：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有

惟一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f（x），x∈A．可以得到y=1是函数的结论。

集合作为数学的基本语言可以简洁地表示数学对象，对刚步入高中的同学来说，也是抽象的。而后续的几何部分也削弱了直观性而突出了抽象性和空间的想象能力。这就是说，思维要从初中的直观、经验型向抽象、理论型过渡。

2、思维方法向理性层次跃迁。

高一的同学产生数学学习障碍的一个原因是高中数学的思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是解答思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，同学们在初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上发生了很大的变化，同学们一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

3、知识内容剧增

初中数学知识少、浅、难度低、知识面窄。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识进行推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0～180°”范围内的，但实际当中也有720°和“－360°等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小的角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法？（答：6种）；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？（答：3种），高中将学习统计这些排列方式的数学方法。初中的

学习中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了于是令－1的平方根为±i，这样

即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在今后的学习中将逐渐接触到。

4、综合性增强，学科间知识相互渗透，相互为用，加深了学习的难度。

比如这样一个实际问题：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，如果天平制造得不够精确，天平的两臂长短略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过我们可以做第二次测量：把物体调换到

另外一个盘子上，此时称得的物体的质量为b，如何合理地表示物体的质量呢？

要解决这个问题我们需要用到物理中力学的知识，且我们还可以从中得出一个重要的

数学不等式。

5、系统性增强。

由于高中教材的理论性增强，常以某些基础理论为纲，根据一定的逻辑，把基本的概念、基本原理、基本方法联结在一起，构成一个完整的知识体系。前后知识的关联是其中一个表现。另外，知识结构的形成是另一个表现，因此高中教材知识的结构化明显升级。如函数，初中只简单地介绍一次、二次、反比例、正比例函数，对函数的性质很少研究，而高中的函数是一个大的知识体系。函数的定义域、值域、解析式、性质等是一个小系统；指数函数、对数函数、三角函数、二次函数也是一个小系统；函数图象也是一个小系统等等。这些小知识体系相互渗透、联系构成函数大体系。再比如小学里就有根据规律填数，如2，4，6，（），10，而数列的理论体系到高中才建立起来。

6、能力要求更高

高中课程目标明确地提出要提高学生的五种基本能力，即空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理能力。平时要注重对这些能力的培养。比如空间想象能力是对空间形式进行观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。同学们在初中学习过三视图，可以画出简单空间图形的三视图，到高中，我们会具体给出三视图的定义，而且会考查由三视图如何还原出实际物体。

例1：下面是一个组合图形的三视图，请描述物体形状

如果给出相应的数据，同学们是否能够求出它的体积呢？这道题考查的就是同学们的空间想象能力。

例2：三角数阵中的归纳推理

根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是。

这道题考查的就是同学们的归纳推理能力。

当然，对于一个实际问题，同学们是否能够建立恰当的数学模型来处理问题，这又对大家的能力提出了更高的要求。

（三）高中数学考试的特点

高考中主要考查什么呢？考纲要求：数学学科的考试，按“考查知识的同时，注重考查能力”的原则，将知识、能力和素养融为一体，全面考查学生的数学素养。拿江苏高考卷来说，文科数学满分为160分，理科数学满分为200分，其中数学选修部分占40分。

初中数学的考试方法，基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。考试题多半是生疏的题目，是不能依赖模仿加以解决的问题。同学们在做题中最感困难的是没有思路。分析不出所要解答的题目的问题结构。仿佛感到什么方法都学过，就是分不清什么时候该用哪一个。看来，初高中数学考试的主要区别是高中考的是同学们解决问题的能力。

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司提出一条合理建议．

解：（1）若派往A地区的乙型联合收割机为x台，则派往A地区的甲型联合收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x －10）台。∴y＝1600x＋1800（30－x）＋1200（30－x）＋1600（x－10）＝200x＋74000。x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）。

（2）由题意得200x＋74000≥79600，

解不等式得x≥28.由于10≤x≤30，∴x取28，29，30这三个值，

故有3种不同的分配方案。

①当x＝28时，即派往A地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。

②当x＝29时，即派往A地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B地区甲型收割机19台，乙型收割机1台。

③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。

（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以，当x＝30时，y取得最大值。如果要使该农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x ＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。

建议该农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B 地区，可使该农机租赁公司获得的租金最高。

这里面透露出的就是函数的思想，而在高中，函数的思想是非常重要的数学思想。

例2：实数k为何值时，方程kx2+2|x|+k=0有实数解？运用函数的思想就可以解决这个问题。

3、夯实基础知识和基本技能，掌握适度的知识外延。

要学习好高中数学，必须准确理解和掌握好基本概念、基本公式和基本性质，抓住这些基本知识的要点和适用范围，是学好数学的基础之一，否则一切都无从谈起，从目前的高考来看，也很侧重对这些知识的考查，特别是一些简答题，如对某些基本概念不能准确理解就很难正确作答。

夯实基础知识和基本技能是学好数学的必要基础，但仅有这些还不够，要想在有限的时间内准确快速地解答完考题，必须具备一定的知识外延，需要在平时的听课和练习中注意加强对一些重要结论的记忆，扩大自己的知识面，丰富自己的知识积累。

4、做题之后加强反思

同学们一定要明确，现在正做着的题，绝不会是考试的题目。在考试中我们需要运用平时做题目时的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己的收获。要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。反思是学习过程中很重要的一个环节。

5、主动复习，总结提高

进行章节总结是非常重要的。初中时是老师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也不会明确指出做总结的时间。那么，怎样进行章节复习呢？

（1）把本章节的内容一分为二，一部分是基础知识，一部分是典型问题。要把对技能的要求，列进这两部分的其中一部分中，不要遗漏。（2）把各种重要的，典型的问题记录在册。

6、养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。

能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平日的学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如：空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其他能力的培养也都需要在学习、理解、训练、应用中得到发展。

（五）给“高一”新同学的建议

1、改掉“依赖”的习惯

许多同学进入高中后，还像在初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不订计划，坐等上课，对老师课上要讲的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，不会巩固所学的知识。——主动性不好是同学中普遍存在的问题。高中仅做听话的孩子是不够的，只知做作业也是绝对不够的；高中老师讲的话也不少，但是谁该干些什么，老师并不一一具体指明。因此，高中新生必须提高学习的自主性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

2、运算一定要过关

学习数学离不开运算，初中老师往往一步一步在黑板上演算。到了高中，因时间有限，运算量大，老师常把计算过程留给同学们，这就要求同学们多动脑，勤动手，不仅要能笔算，而且还要能口算，心算和估算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理，注重简便方法。许多学生由于运算能力低，致使数学成绩难以提高，但他们总归咎于“粗心”，思想上仍不重视。我们在高一时就要重视对自己运算能力的培养。

3、题目贵“精”，不贵“多”

有的同学认为，要想学好数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。做题的效率要高。做题的目的在于检查你所学的知识、方法是否已掌握好。如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的练习。

高中数学学习是初中数学学习的拓展和深化。为了帮助同学们顺利地从初中数学过渡到高中数学的学习，老师将在后续课程中对高中数学部分将要用到的一些初中数学知识进行深化和补充，并在此基础上为同学们揭开高中数学知识内容的帷幕。

【同步练习】（答题时间：45分钟）

1.关于x的方程x2+kx+k2－9=0只有一个正根，那么k的值是（）

A.k＞3或＜－3

B. k=±3

C. k≥3或k≤－3

D.－3≤k＜3

7.今有A、B、C、D四人在晚上都要从桥的左边到右边去。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒的。四人过桥最快所需时间如下：A 2分钟；

B 3分钟；

C 8分钟；

D 10分钟。走得快的人要等走得慢的人，请问如何的走法才能在21分钟内让所有的人都过桥?

8. 125 × 4 × 3 = 2000这个式子显然不等，可是如果算式中巧妙地插入两个数字“7”，这个等式便可以成立，你知道这两个7应该插在哪吗？

9.牛顿的名著《一般算术》中，还编有一道很有名的题目，即牛在牧场上吃草的题目，以后人们就把这种应用题叫做牛顿问题。

“有一片牧场的草，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？”

*10.春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏＝春夏秋冬，式中春、夏、秋、冬各代表四个不同的数字，你能指出它们各代表什么数字吗？

*11. 著名物理学家爱因斯坦编的问题：

在你面前有一条长长的阶梯。如果你每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果你每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果你每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果你每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有当你每步跨7阶时，最后才正好走完，一阶也不剩。

请你算一算，这条阶梯到底有多少阶？

牧场上原有的草量是162－15×6=72，或207－15×9= 72。

前面已假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。今要放牧21头牛，还余下21－5=6头牛要吃牧场上原有的草，这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期，就是21头牛吃完牧场上草的时间。72÷6=12（星期）。

也就是说，放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。

10.解：春夏×秋冬=夏秋春冬，春冬×秋夏=春夏秋冬

∵秋夏<100，春冬×100=春冬00>春夏秋冬∴冬＞夏

且积千位≤春∴春＞夏

当夏≠1时，根据九九表和冬＞夏知：冬=5，夏=3

若春≥6，由春3×秋5＝3秋春5＜4000可知秋＜7。

春5×秋3＜春000无解

若春＜6春≠5且春＞夏＝3所以春＝4 45×秋3＝43秋5无解

所以夏＝1因为春冬×秋1＝春1秋冬，所以秋>5

春1×秋冬=1秋春冬，∴春≤3，当春=3时，秋=6，3冬×61=316冬无解。

因为春>夏，且<3，所以春=2

2冬×秋1=21秋冬，21×秋冬=1秋2冬；

秋=9时无解，秋=8时，冬=7

11.解：分析能力较强的同学可以看出，所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数。因此只需从29、59、89、119、……中找7的倍数就可以了。很快可以得到答案为119阶。

第一讲 数与式的运算

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式

【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++

ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=

∴等式成立

【例1】计算：22

)312(+-

x x

解：原式=22

]3

1)2([+-+x x

9

1

3223822)

2(3

1

2312)2(2)31()2()(234222222+

-+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3

3

2

2

))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)

证明: 3

3

3

2

2

2

2

3

2

2

))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((2

2

b ab a b a ++-

解：原式=3

3

3

3

2

2

)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：

【公式3】3

3

2

2

))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．

【例3】计算：

（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)4

1

101251)(2151(22n mn m n m ++-

（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=3

3

3

644m m +=+ （2）原式=3

33

3

8

11251)2

1()5

1

(n m n m -=

- （3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+

63362332)(y y x x y x ++=+=

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的．

【例4】已知0132

==-x x ，求3

3

1

x x +

的值． 解：0132

==-x x 0≠∴x 31=+∴x

x

原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2

222=-=-++=+-+x x x x x

x x x

说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较

烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知0=++c b a ，求

111111

()()()a b c b c c a a b

+++++的值． 解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0

∴原式=ab

b

a c ac c a

b b

c c b a +?++?++?

abc

c b a ab c c ac b b bc a a 2

22)()()(++-=-+-+-= ①

abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+

abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-

abc

abc

说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：

))((32

2

2

3

3

3

ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++

二、根式

0)

a≥叫做二次根式，其性质如下：

【例6】化简下列各式：

(1) (2) 1)

x≥

解：(1) 原式=2|1|211

-+==

(2) 原式=

(1)(2)2 3 (2) |1||2|

(1)(2) 1 (1x2)

x x x x

x x

x x

-+-=->

?

-+-=?

---=≤≤

?

说明||a

=的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：

(1)

(2) (3) -+

解：(1) 原式6

==-

(2) 原式=

(3) 原式=

说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(

)或被开方

数有分母(．形式() ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化

简．(

2+2)．

【例8】计算：

(1) 21)(1++--

(2)

+

解：(1) 原式

=22(1()21a b a +--+=--+

(2) 原式

+

+

)= 说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式

二次根式的运算．

【例9

】设x y =

=

33x y +的值．

解

：77 14,123

x y x y xy =

=+=-?+==-

原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式

当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A

B

就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

【例10】化简

11x

x x x x

-+

-

解法一：原式=

222(1)11(1)1(1)(1)11

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--?+-+-+

++--+ 解法一：原式=

22

(1)1

(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====-?-+--+++--?

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质

A A m

B B m

?=

?进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

【例11】化简

2

22

3961

62

279

x x x x

x x x x

++-

+-

+

--

解：原式=

2

22

3961161

2(3)3(3)(3)2(3) (3)(39)(9)

x x x x x

x x x x x

x x x x x

++--

+-=--

+-+---++-

2

2(3)12(1)(3)(3)3

2(3)(3)2(3)(3)2(3)

x x x x x

x x x x x

+-------

===

+-+-+

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

A 组

1a

=-成立的条件是( )

A．0

a>B．0

a

a≤D．a是任意实数2．若3

x<|6|

x-的值是( )

A．－３B．３C．－９D．９

3．计算：

(1) 2

(34)

x y z

--(2) 2

(21)()(2)

a b a b a b

+---+

(3) 222

()()()

a b a ab b a b

+-+-+(4) 22

1

(4)(4)

4

a b a b ab

-++

4．化简(下列a的取值范围均使根式有意义)：

(1) (2) a

(3) (4) +-

5．化简：

(1) 102m(2) 0)

x y

>>

B 组

1．若

11

2

x y

-=，则

33

x xy y

x xy y

+-

--

的值为( )：

A．

3

5

B．

3

5

-C．

5

3

-D．

5

3

2．计算：

(1) -(2) 1÷-

3．设

x y ==，求代数式22

x xy y x y +++的值．

4．当2

2

320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22

a b a b b a ab

+--的值．

5．设x 、y 为实数，且3xy =，求 6．已知111

20,19,21202020

a x

b x

c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．

7．设x =

42

21x x x ++-的值． 8．展开4(2)x -

9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----

10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：

(1)

+÷

(2)

(3)

-

(4)

+

÷+

第一讲 习题答案 A 组

1． C 2． A

3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22

353421a ab b a b -++-+

(3) 2

2

33a b ab --

(4)

3

31164

a b -

4．21--

5．B 组

1． D 2．a c b +-- 3．

4．3,2-

5．±

6． 3

7．3-8．4

3

2

8243216x x x x -+-+ 9．4

3

2

10355024x x x x -+-+

10．444222222222x y z x y x z y z ---+++

11．-

第二讲 因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1) 3

8x +

(2) 3

0.12527b -

分析： (1)中，3

82=，(2)中3

3

3

0.1250.5,27(3)b b ==． 解：(1) 3

3

3

2

82(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2) 3

3

3

2

2

0.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+?+

2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如

3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，

一定要看准因式中各项的符号． 【例2】分解因式：

(1) 3

4

381a b b -

(2) 76

a a

b -

分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现6

6

a b -，

可看着是32

32

()()a b -或23

23

()()a b -．

解：(1) 3

4

3

3

2

2

3813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．

(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-

22222

2

2

2

()()()()()()()()

a a

b a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式 【例3】把2105ax ay by bx -+-分解因式．

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然

后从两组分别提出公因式2a 与b -，这时另一个因式正好都是5x y -，这样可以继续提取公因式．

解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=--

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：2

2

2

2

2

2

2

2

()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+ 2222()()abc a cd b cd abd =-+-

()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把2

2

x y ax ay -++分解因式．

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.

解：2

2

()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+

【例6】把2

2

2

2428x xy y z ++-分解因式．