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唐史主任司马迁夹逼定理反推甄选细分行业牛股【VIP专享】

唐史主任司马迁：

“夹逼定理”反推甄选细分行业牛股

■本刊记者郝宁唐史主任司马迁（雪球ID）是个有趣的投资人，他跑到山东农村调研新能源电动车，还对3D打印的人造鸡蛋感兴趣。唐史主任司马迁也是个有投资体系的人，他策略分析接地气，判断创业板将带二线蓝筹飞，他用“夹逼定理”分池分步选股，让两个不断逼近的边界来确认函数的极限。这看似简单，实则却不简单。本期，《红周刊》与雪球网、手机腾讯网合作的投资人物专访邀请他来谈谈自己这些年珍藏的“选股干货”。

谈行业

“农用+光伏”新能源汽车受欢迎

《红周刊》：您很看好新能源汽车行业？

唐史主任司马迁：我所指的新能源汽车不是一般意义上的类似于特斯拉或比亚迪的车型，而是农村电动车。我曾经在山东草根调研过农村电动车，大约询问了50位不同型号电动车的驾驶者，并统计他们对电动车的评价，多数回复是以“好”、“行”这样的褒义词开始的。其中，有位大妈说她50岁生日就给自己买了辆三轮，也不用驾照，开到地头拉个白菜、赶个集都好用。于是我得出了结论，用户最喜欢的竟然是轻便的电动拖拉机。

《红周刊》：这正好也解决了充电桩的问题，那什么原因让农村用户这么热衷呢？

唐史主任司马迁：我总结了一下，原因有以下几个：1.部件简单易维修。这类车没有换滤网、发动机检查等等烦恼，即使坏了，在乡村的维修点就能修理，不用像汽油车一样去

汽车维修点；2.整车造价低，使用费用低。这类车的造价为2000~3000元，而电费比油费便宜，能省下一笔钱。在执行错峰电价的地区，晚上充电更便宜；3.可结合分布式光伏应用。如果配套太阳能电板，不仅连电钱也省了，而且在电网供电不稳定的农村，配套太阳能电板也解决了充电难的问题。在我追踪这一模式期间，阿里巴巴网站内的电商里，面向农村的低端电车销售商数量骤增，尤其是“农用+光伏”方向的销售店面越来越多。《红周刊》：这种新能源汽车似乎受到了很多质疑的声音。

唐史主任司马迁：是的，目前市场普遍存在对这种新能源汽车安全性的质疑。CCTV多次专题报道过此类三轮车和老年代步车的不安全，但这种庙堂论调不切合民生实际，这几年两轮电动车已经彻底挤占了摩托车的市场，并成功满足了自行车乘用者的升级消费需求。虽然A股目前没有这种整车制造标的，但长远来看，市场上必然会出现解决了乘用安全问题、满足农村乘货两用需求，并配套光伏发电的新能源汽车。就像5年前还被各路驳斥的山寨手机，现在也发展到了智能机阶段。由于农村需求的刺激，制造商中必然会出现能制定出较高企业标准，并升级为行业标准甚至国家标准的整车企业。长期追踪这一策略方向，不难捕获标的。

《红周刊》：的确，充电困难制约了城市电动车的发展。

唐史主任司马迁：在城市交通体系中，现有新能源整车销售虽然增长率很好看，但绝对数量上很少。大众看待新能源汽车多表现为：太贵、充电不方便、不愿买但愿意尝试，短期内这些客观因素也限制了新能源汽车的普及。

《红周刊》：除了充电桩制约外，新能源汽车发展还面临着哪些障碍？

唐史主任司马迁：现有对于新能源汽车的引导政策是机械式的，你买新能源汽车我给你贴补，在老百姓没有接受新事物以前，这种刺激是有限的。新能源汽车行业的政策制定者

寄希望于扭转目前的消费习惯，使现有的汽油车消费者转型为新能源车消费者，因此不断鼓励新能源车从造型、性能上都仿照汽油车，结果造出来的车既失去了新能源汽车的特性，在价格上还不占优势，推广自然困难。而忽略低端产品的市场占有，则势必会使新增首次购车需求为汽油车所满足，将来又要费力气转变其消费习惯。

《红周刊》：什么发展路径适合于新能源汽车呢？

唐史主任司马迁：综合农村和城市的分析，中国新能源汽车发展的模式不同于美国特斯拉式，可能是以“农村光伏+农乘两用车”和“城市微型租赁车”为突破口，廉价且实用的属性使之满足的多是首次购车需求，而非汽车消费升级需求。这种新增需求得到满足，也就意味着大量的中低端汽车市场份额会新能源化，从而实现这一领域的弯道超车。《红周刊》：面对这些难题，新能源汽车应该如何创新？

唐史主任司马迁：在杭州有一家康迪车业，它制造的电动汽车外形比较小巧且轻便，布局紧凑，去掉了传统汽车不必要的空间，成本也很低。不仅如此，康迪在销售上创新了微公交模式，通过租赁的方式给予消费者更多的体验，每小时20元，在杭州2000元就可以租一个月。现在这一模式已经拓展到了昆明、武汉、成都等地，且2015年的投放量将井喷。此外，在支付模式上公司与阿里巴巴合作，将来信用好的淘宝玩家或许可以直接租车，押金都不需要。大众对新能源汽车的顾虑，康迪汽车从性价比和营销模式上予以解决。而反应在资本市场上，美股康迪车业（KNDI）也在2013年至2014年两次大幅度拉升，其中2013年由底部启动后，一度上涨500%以上。

《红周刊》：对于A股新能源汽车企业，您认为投资价值几何？

唐史主任司马迁：在个股投资上，目前的A股市场多为炒概念。整车制造商首屈一指的是比亚迪，但比亚迪的技术路线是否能成为主流有待市场检验，同时由于炒作过度、体

量过大，我个人认为暂时不具备投资价值。在配件商方面，均胜电子一骑绝尘，均胜收购了德国的普瑞公司，掌握了BMS（电池管理系统）和中控系统的核心技术，成为宝马等大牌车企的供应商。在逐步消化普瑞自动化生产技术的同时，市场还期待公司进一步的并购行动。从政策层面来看，均胜电子有望成为《中德合作行动纲要》“工业4.0对话”和新能源汽车合作以及中德中小企业合作的样板。然而，由于前期爆炒导致其市盈率偏高，三季度的增长率能否支撑目前的股价，成为近期关注的重点。

3D打印重点关注食品打印

《红周刊》：3D打印也重新定义了制造业，您觉得A股有好标的吗？

唐史主任司马迁：在3D打印领域，目前“高大上”的想法很多，有想打印飞机发动机部件的，也有想打印心脏的，但无不因为技术门槛过高或者造价过高而无法市场化。市场不接受的产品就不会是好产品，最先市场化并盈利的通常是满足大量基础需求的产品，当年小灵通打败CDMA就是例证。

《红周刊》：究竟怎样才能让“高大上”的3D打印接地气呢？

唐史主任司马迁：相对于这些高精尖技术，3D打印中的食品打印门槛比较低。李嘉诚投资的人造鸡蛋已然投产，在大众还没有广泛接受前，可能会优先供应给烘焙业，比如蛋糕店。而他下一步进军的则是牛肉打印，技术路线上是使用3D打印机将细胞块沉淀到生物组织模型中，细胞粒会在打印后熔化，就像细胞在胚胎中发育一样，培养出畜肉和皮革。从食品安全角度看，人造食品的材料是可控的，因而食品安全有保障。从长期看，人口总量增加和生活水平提高所带来的热量摄入增加，必然会对粮食安全提出越来越大的挑战。现有的耕地即使用转基因技术，也无法满足人类蛋白质和脂肪摄入的要求。若使用海洋农业，即使只是简单地培育海藻和磷虾，提取蛋白质和维生素进行食品打印即可破题。

《红周刊》：3D打印的概念股有很多，哪些企业才称得上是“硬货”？

唐史主任司马迁：目前A股市场上3D打印的概念股很多，其中不乏一部分有投资价值的激光工具制造企业，但股价也因为爆炒蓝宝石等概念而虚高。第一家真正意义上的3D 打印企业是新三板的先临三维，公司是国家白光三维测量系统（三维扫描仪）行业标准的第一起草单位，具有行业领先地位。它和康迪一样，也是一家总部在杭州的创新型企业。这家企业的业务拓展很快，看他们的招聘信息就知道了。

谈策略

策略研究要接地气

《红周刊》：听说您最早只研究个股，为什么现在要转变为关注策略？

唐史主任司马迁：我最早是通过研究个股来操作的，基于企管工作经验，很容易从企业经营者的角度看问题。2008年后也做过格力电器、威孚高科这样的慢牛，这种股票只要看基本面，无需过多的技术分析和盘中操作，拿着就好，做得很舒服。但也遇到过一些R0E好看，FE、PB也很好看，但股价就是上不去的企业，拿着烫手，扔了又可惜。“好生意、好公司、好价格”知易行难，经过多次鸡肋投资明白了一件事情：好企业如果没有好的外部环境，股价也是难以提升的，从此便开始了策略研究。

《红周刊》：有哪些心得体会？

唐史主任司马迁：策略研究对于散户而言，其实并不需要太“高大上”，这种策略一定要接地气，能圈定大致的可投资范围即可。首先，是对指导性政策的解读和对市场趋势性变化的了解；其次，是掌握市场的真实反应。举例来说，目前我正在跟踪两个新兴行业：新能源汽车和3D打印。从政策角度看，未来几年都是受政策支持鼓励的，市场目前也处

于爆炒概念的阶段。两个行业之后会如何发展？要去看市场的真实反应。

创业板带二线蓝筹飞

《红周刊》：接下来的A股市场将会有哪些机会值得把握？

唐史主任司马迁：今年3月初，我推测整年的行情将是政策驱动市，到目前为止得到了验证。就四季度而言，我认为是二线蓝筹股颇有机会。在这几年里，市场经历了两个主要阶段：主板带中小板飞，分化后中小板单飞；中小板带创业板飞，分化后创业板单飞。四季度，在沪港通和退市机制的作用下，创业板和中小板虚高的股票风险会越来越明显，资金出逃趋势已然出现。但这部分资金即使加上新入市的资金，也无法支撑大盘股上涨，故短期资金“中小市值且有业绩支撑”的偏好不会改变。主板中市盈率低于25倍，ROE 大于5%，主营增长和净利润增长大于20%，且市值低于250亿的二线蓝筹有很多。这类个股也符合资金偏好，既有小市值股票的获利空间，又无高市盈率之忧，既有大蓝筹的价值，又无流通盘大的劣势。资金从创业板、中小板流向二线蓝筹，亦即“创业板带小蓝筹飞”的节奏有望出现。

为验证这一观点，本人于2014年10月13日根据四季度策略做了随机试验组合。这一组合未来表现是否印证四季度策略有待检验（见附图）

。

分池分步选股法：反推细分行业

《红周刊》：您应该属于自上而下投资的典型？

唐史主任司马迁：不完全是这样，策略研究可以大体把握大行业长时间的趋势，接地气的话还可能掌握短时间内的爆发点。但精准锁定细分行业及个股，还需要通过数据统计与追踪，自下而上地确认目标。在选股方面，我使用的是分池分步选股法。手工选股的办法固然很笨，但却比较有效，手工作业所形成的直观印象是选股器无法替代的，也是所谓“盘感”的组成部分。

《红周刊》：能不能具体解释一下分池分步选股法？

唐史主任司马迁：首先，建立“季线健康”、“月线健康”、“周线健康”、“日线跟踪”四个池子。然后，使用MACD+KDJ参数，每个月把所有个股翻一遍。其中，符合季线标准的保留在“季线健康”池内，再用月线标准筛选加入“月线健康”池，符合月线标准的进一步用周线确认进入“周线健康”池，经过日线筛查决定跟踪后选入“日线跟踪”池予以保留。

《红周刊》：健康的标准是什么？最终保留的个股具有什么特征？

唐史主任司马迁：大致有以下几个特征：1.处于近年或更长时间的股价低位；2.近1~2个月成交量缩量到一定程度后逐渐放量，股价温和抬升；3.从周线和日线上看会受托于某一均线，同时又上攻某一长期压制的均线。

《红周刊》：接下来将如何锁定行业呢？

唐史主任司马迁：我将保留的个股按照行业、地域、驱动因素进行细分，统计后反推出大致的行业反转结论。反转行业体现为：细分行业个股走势分化，部分业绩好或有题材的个股已经开始突破强势抬拉，而部分还在低位徘徊。从细分行业整体看，会出现近期总市

值增加、交易量放大的特点，这就是我得出反推结论后的行业。

《红周刊》：由个股反推出来的行业就是投资标的吗？

唐史主任司马迁：还差一步，得出反推结论后的行业，还要比照上文所提到的策略分析。如果两者所选的行业一致，则确定为反转的细分行业。数学中有一个“夹逼定理”，用两个不断逼近的边界来确认函数的极限。自上而下的策略分析与自下而上的选股体系能将底部反转的细分行业大体锁定，这与“夹逼定理”异曲同工。

《红周刊》：细分行业确定后，接下来如何甄选个股呢？

唐史主任司马迁：根据基本面进行个股选择，我个人倾向于营收与净利润的增长，不喜欢或难以搞懂的个股要删掉。选定的股票在“一买”位置最佳，最好是底部反转细分行业中的白马股。消息面上偏好受政策驱动的大题材，之所以要注意题材性，这是源于A股无法回避的市场偏好，个股的价值会在题材刺激下得到发挥和认可。举例来说，即使中石化这样的股票，也会因为油改刺激而在年内一度上涨30%多。会讲故事的“白马”亦即“白龙马”，这种股票的基本面好，大体的风险都是可预见的，鲜少存在“黑天鹅”，且股价上升空间大。

《红周刊》：请举一个实际应用来说明这套体系。

唐史主任司马迁：去年8月份，上海自贸区题材热炒，上港集团旱地拔葱。我研究发现，港口企业属于国家命脉，国资控股一半以上且持有不动，实际流通盘只有一半。港口相关企业盈利模式稳定，且具备固定资产有增无减、ROE表现滞后的特性，股价自2008年后一蹶不振，从策略上看符合反转行业的特性。春节前后深度分析了所有港口股，选择唐山港和宁波港为跟踪对象，准备介入。选择唐山港的理由最初很简单，仅从市盈率和增长率看就十分合适。我记得当时看年报，一个港口企业3年净利润复合增长率达到30%多，

这是市盈率30~40倍的科网股水平啊！而宁波港则是看中它的区位优势和行业的技术领先地位。今年“两会”时确立京津冀为一号工程，同时基于今年是政策驱动市的策略判断，我在唐山港突破年线当天重仓介入并持续加仓，按照个人交易体系不断降低成本持股至今。

在唐山港启动之后，港口股全面爆发，时至今日，港口股仍然保持很好的联动，热度不亚

于军工。

考研数学：夹逼准则的推论

https://www.wendangku.net/doc/644207461.html, 考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时， ()()(); g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0 lim ()x x f x →存在，且等于A 。此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤ ≤。二、夹逼准则的推论：无穷小量?有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则 0lim ()()0x x f x g x →=。证明：由条件可得 ()()() f x g x M f x ≤即()()()()M f x f x g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故0 0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0 x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x →分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sin x 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=

夹逼准则在求极限中的应用.

夹逼准则在求极限中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业 2008级敖欢指导教师刘学文摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论基础和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。关键词：极限；夹逼准则；函数；数列 Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly discussed by examples and analysis of squeeze rule applications, especially in the limit of application. Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series 极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生发展有着不可估量的影响。极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数的连续性、导数、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都是通过极限来定义和推演的。鉴于其在高等数学中的特殊重要地位，极限亦成为数学考研的必考内容之一。极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率这两个基本问题。我国古代数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是用极限思想研究几何问题。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，

夹逼定理

利用夹逼准则求极限精编版

利用夹逼准则求极限精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 . 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩

夹逼定理练习

第六节夹逼定理无穷小的比较一．夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞ →lim 。则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞ →lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧ a U 内（或X x ≥时）满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞ →)(lim ）。注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。（2）定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。例1：求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→x x x 。（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(l i m ，e n n n =+∞→)11(lim ）。例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21 2)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→ 三．无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα?都是当0x x →时的无穷小量。

夹逼定理教学内容

夹逼定理

（1） x x x tan lim 0→ （2） 3 0sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21 2)2(lim -→x x x （3）x x x x )5 5(lim -+∞→ 三．无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管 ,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知： )()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα?都是当0x x →时的无穷小量。但)(/)(x x βα当0x x →时是否是无穷小量呢？ ,)(x x =α，2)(x x =β，x x sin )(=γ，x x cos 1)(-=δ当0→x 时都是无穷小量，0)()(lim 0=→x x x αβ，1)()(lim 0=→x x x αγ，21)()(lim 0=→x x x βδ，∞=→) ()(lim 0x x x βα。 1．定义：设0lim =α，0lim =β，（1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβo =；（2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小；（3）如果0lim ≠=c αβ，就说β是与α同阶的无穷小；

夹逼定理word版

一、夹逼准则及第一个重要极限 1、准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n = （2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞ = 则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞ = . 证明由lim n n x a →∞ =?0ε?>,1N ?,当1 n N >时，有 n x a ε-时，有n z a ε-

取1 2 {},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有 n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<, 故 lim n n y a →∞ =. 上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即: 2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足 (1) ()()()f x g x h x ≤≤ （当0 ,()U x x δ∈ (或x M >)时）； (2)0 () lim ()x x x f x A →∞→=，0() lim ()x x x h x A →∞→=.

则 0( ) lim () x x x g x →∞ → 存在且等于 A . 上述两个准则都称为夹逼准则. 举例例1 求 2 n n →∞ + ++ + 解因为 2111 n n n ≤+++≤ + 又因为 lim 1,lim 1n n →∞→∞== 所以由夹逼准则得 21111 n n →∞ + ++ =+. 3、第一个重要极限： 0sin lim 1x x x →=

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ? ???? ???? ?++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+ n i n i n n i 1 1sin lim π ，其分子和分母同时都在变化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会小于()1+n ,他的倒数，即 () 11 +n 小于除了第一项的其他项，所以 ∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i n n i n n i 11 1sin lim 1sin lim ππ。同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒数，即()n 1 都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i n n i 11sin lim 1sin lim ππ

由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：令n i x =，1 1 +=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：?∑?≤+≤=∞→1 01 10)sin(1sin lim )sin(dx x i n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21 ≤ + ≤∑=∞→n i n i n n i 所以原题的极限为：π2. 例2：利用夹逼定理证明().211 (2) 111lim 2+=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：?? ? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2) 111中有k 个n 1 相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到： ? ??? ????? ??+-++??? ??+-+??? ? ?+-k n n n n n n 11 ...211111，所以可以得到：()∑=+k i i n n i 1 ，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得： ()()()∑∑∑===+≤+≤+k i k i k i n n i i n n i k n n i 1111

利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 .

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