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2011年河南省五市高三第二次联考(数学理)

2011年河南省五市高三第二次联考

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

注意事项:

1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。

第Ⅰ卷

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若集合M ={y |y =2

x

-},P ={y |y ,那么M ∩P =

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A .(1,+∞)

B .[1,+∞)

C .(0,+∞)

D . [0,+∞) 2.已知复数Z =

1a i

i

+-(a 为实数),若Z 为纯虚数,则a 是 A .-1 B .1 C .-2 D .2 3.下列判断错误的是

A .命题“若q 则p ”与命题“若非p 则非q ”互为逆否命题

B .“am 2

”是“a

C .对于命题p :?x ∈R ,使得2

x +x +1<0,则?p 为?x ∈R ,均有2

x +x +1≥0 D .命题“φ?{1,2}或4?{1,2}”为真命题

4.点P 是函数f (x )=cos ωx (ω>0)的图象C 的一个对称中心,若点P 到图象C 的对称轴的距离最小

值是π,则函数f (x )的最小正周期是

A .π

B .2π

C .3π

D .4π 5.给出15个数:1,2,4,7,11,…,要计算这15个数的和,现给出解决该问

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题的程序框图(如右图所示),那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入

A .i ≤15?;p =p +i -1

B .i ≤16?;p =p +i +1

C .i ≤16?;p =p +i

D .i ≤15?;p =p +i

6.已知平面向量a

=(sin θ,1),b

cos θ),

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若a ⊥b

,则θ可以为

A .θ=

6

π B .θ=56π

C .θ=3

π D .θ=23π

7.圆柱的底面直径与高都等于某个球的直径,则该球的表

面积与圆柱全面积的比是 A .

13 B .23 C .25 D .35

8.斜率为k 的直线l 过点P

0)且与圆C :2

1x 2

+y =存在公共点,则k 2

4

9

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的概率为 A .

23 B .12 C

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9.从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排,含“qu ”(“qu ”相连且顺序不变)的不同排列方法有

A .120种

B . 240种

C .288种

D .480种 10.2

2)n

x +

展开式中仅有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A .360 B .180 C .90 D .45 11.已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数, 则

A .f (33)

B .f (50)

C .f (-25)

D .f (-25)

12.已知双曲线2221x a b

2

y -=

的两焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,∠F 1PF 2的平分线分线段F 1F 2的比为5 :1,则双曲线离心率的取值范围是 A .(1,32] B .(1,32) C .(2, 52] D .(32

,2]

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分.共20分.

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13.一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示(单位:cm ),该几何体的体积为

__________cm 3

14.等差数列{n a }的前n 项和为n S ,a 3=20,S 3=36,

111S -+211S -+311S -+…+1511

S -=______.

15.已知x ,y 满足不等式组2030560x y x x ??

???

--6≥+y +≥+2y -≤,则

22

x y x -+4

+的最大值为_____________.

16.若双曲线2213x p

2

16y -=的渐近线与抛物线y 2=2px (p>0)的准线相交于A,B 两点,且△OAB (O 为原

点)为等边三角形,则p 的值为___________

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且(2a +c )cosB +bcosC =0. (Ⅰ)求角B 的值;

(Ⅱ)已知函数f (x )=2cos (2x -B ),将f (x )的图象向左平移

12

π

后得到函数g (x )的图象,求g (x )的单调增区间.

18.(本小题满分12分)某班主任为了解所

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带班学生的数学学习情况,从全班学生 中随机抽取了20名学生,对他们的数 学成绩进行统计,统计结果如图. (Ⅰ)求x 的值和数学成绩在110分以

上的人数;

(Ⅱ)从数学成绩在110分以上的学生

中任意抽取3人,成绩在130分 以上的人数为ξ,求ξ的期望.

19.(本小题满分12分)将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠,使得平面ABD ⊥平面CBD ,AE ⊥平

面ABD ,且AE

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(Ⅰ)求证:DE ⊥AC ;

(Ⅱ)求DE 与平面BEC 所成角的正弦值;

(Ⅲ)直线BE 上是否存在一点M ,使得CM ∥平

面ADE ,若存在,求点M 的位置,不 存在请说明理由.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C :2221x a b 2y +=(a>b>0

F 1、

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F 2,点P 是坐标平面内的一点,且|OP

1PF ·2PF

=12(点O 为坐标原点).

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(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)直线y =x 与椭圆C 在第一象限交于A 点,若椭圆C 上两点M 、N 使OM +ON

λOA

,λ∈(0,2)求△OMN 面积的最大值.

2l .(本小题满分12分)已知函数f (x )=x

e -x (e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求

f (x )的最小值;

(Ⅱ)不等式f (x )>ax 的解集为P ,若M ={x |

1

2

≤x ≤2}且M ∩P ≠φ,求实数a 的 取值范围;

(Ⅲ)已知n ∈N ﹡,且n S =

()[f x ]x n

t dx ?+(t 为常数,t ≥0)

,是否存在等比数列{n

b },

使得b 1+b 2+…n b =n S ?若存在,请求出数列{n b }的通项公式;若不存在,请说 明理由.

请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-1《几何证明选讲》.已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O

的切线,AC ∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (Ⅰ)求证:BD 平分∠ABC

(Ⅱ)若AB =4,AD =6,BD =8,求AH 的长.

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23.(本小题满分10分)选修4-5《不等式选讲》.已知a +b =1,对?a ,b ∈(0,+∞),使

1a +4

b

≥|2x -1|-|x +1|恒成立,求x 的取值范围.

★2011年5月6日

2011年河南省五市高中毕业班第二次联考

理科数学参考答案及评分标准

一.选择题:

1—5 CBBDD 6—10 ABADB 11—12 CA 二.填空题: (13)

72 (14)1531 (15)103

(16)4

三.解答题: (17)(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=, 即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++=

得2sin cos sin()0A B B C ++= ………3分

因为A B C π++=,所以sin()sin B C A +=,得2sin cos sin 0A B A +=,因为sin 0A ≠, 所以1

cos 2

B =-,又B 为三角形的内角,所以23

π

B =

………6分 (Ⅱ)2=3

B π

2()2cos(2)3f x x π∴=- 由题意得:2()2cos[2(+)]123g x x ππ∴=- =2cos 22x π-()=2sin 2x ………9分

由*2-22()22k x k k N ππππ≤≤+∈ 得*

-()44

k x k k N ππππ≤≤+∈

故()f x 的单调增区间为:*

[-,] ()44

k k k N ππππ+∈. ………12分

(18)(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)x=[1-(0.0025+0.005+0.0125+0.0125)×20]/20=0.0175 ………2分 数学成绩110分以上的人数为:(0.005+0.0125)×20×20=7人 . ……….4分 (Ⅱ)数学成绩在130分以上的人数为:0.005×20×20=2人

∴ξ的取值为:0,1,2 ……….5分

353727C P C ξ==(=0), 2152374

7C C P C ξ==(=1), 12523

717

C C P C ξ==(=2) ………10分 ξ的分布列为:

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∴ξ的期望为:2416

0127777

E ξ=?+?+?=. ………12分

(19)解:(Ⅰ)以A 为坐标原点AB,AD,AE 所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系

则E ,(2,0,0)B ,(0,2,0)D

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做BD 的中点F 并连接CF ,AF ;由题意可得CF ⊥BD

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且AF CF == 又BDA ⊥ 平面平面BDC ∴CF BDA ⊥平面 ,所以C

的坐标为C

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(0,-2DE ∴=

,(1AC =

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(0,-2(1,10DE AC ∴?=?=

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故DE ⊥AC ………4分 (Ⅱ)设平面BCE 的法向量为(,)n x y z =

, 则

00n EB n CB ??=???=??

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即200x x y ?-=??-=?

?z y x ?

=?∴?=-?

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? 令x=1

得n =

又(0,-2DE = ………6分

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设平面DE 与平面BCE 所成角为θ,则

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sin cos ,n DE n DE n DE

θ?=<>==

………8分 (III)假设存在点M 使得CM ∥面ADE ,则EM EB λ=

(2,0EB =

,(2,0)EM λ∴=

得(2,0)M λ ………10分

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又因为AE ABD ⊥平面,AB AD ⊥ 所以AB ADE ⊥平面

因为CM ∥面ADE ,则CM AB ⊥ 即0CM AB ?=

得21=0λ-1=

2

λ∴ 故 点M 为BE 的中点时CM ∥面ADE. ………12分

(20)解:(Ⅰ)设0012(,),(,0),(,0),P x y F c F c -

则由OP =

得22

0052x y +=,

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由1212PF PF ?= 得00001

(,)(,)2

c x y c x y ---?--=,即2220012x y c +-= ………2分

所以c =

c a =,所以22

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3,1a b == ………3分 椭圆C 的方程为:2

213

x y +=; ……….4分

(Ⅱ)解法一:由2

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213

y x

x y =???+=?

?

得A ??, 设直线MN 的方程为y kx m =+,联立方程组22

13

y kx m x y =+??

?+=?? 消去y 得:222(13)6330k x kmx m +++-= ………5分 设()()1122,,,M x y N x y ,

则2121222

633

,1313km m x x x x k k -+=-=++ ………6分 12122

2()213m

y y k x x m k ∴+=++=

+ ∵OM ON OA λ+=

,∴12x x +=

,12y y +=

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得1,33

MN

k m λ=-=,于是21212399,24m m x x x x -+== ………8分

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12|||MN x x ∴=-=

=

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………9分

0,(0,0)O λ> 又到直线MN

的距离为d =

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∴1||2OMN

S MN d ?=?==≤

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当3m =

,

即λ=时等号成立,OMN S ?

的最大值为2

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………12分 解法二:由221

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3

y x

x y =??

?+=??

得A ??, 设()()1122,,,M x y N x y 则2

211222213

1

3

x y x y ?+=????+=??

∴()()

21

121221

30y y x x y y x x -+++=-…………① ………5分

∵OM ON OA λ+= ,

∴122x x +=

,122

y y λ+=代入①得13MN k =-, ………6分

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设直线MN 的方程为1()434

y x λ-

=--,即,

………7分

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代入椭圆方程得 22410,y y λ-+-=

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212121

,24

y y y y λλ-∴+==

.,

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12||||MN y y ∴=-= ……….9分

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(0,0)O 又到直线MN 的距离为h =

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∴1||2OMN

S MN h ?=?=≤

, ………11分

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当λ时等号成立,OMN S ?的最大值为2

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………12分

(21)(本题满分12分)

解:(Ⅰ)()1x

f x e '=- …………1分 由()0,0f x x '==得当0x >时()0f x '>.当x<0时,()0f x '<

上减在上增在)0,(,),0()(-∞+∞∴x f

1)0()(min ==∴f x f …………4分 (Ⅱ)φ≠?P M ,]2,2

1

[)(在区间ax x f >∴有解

由ax x e ax x f x

>->得,)(即]2,2

1[1在-

1

[,1)(∈-=x x e x g x 2

(1)()x x e g x x -'= ,]1,21[)(在x g ∴上减,在[1,2]上增 又12)2(,12)21(2-=

-=e g e g ,且)21()2(g g >12

)2()(2

max -==∴e g x g 12

2

-<∴e a …………8分 (III)设存在等比数列}{n b ,使12n n b b b S ++=

∵ t

[()]n

n t n S f x x dx e e =

+=-?

1t b e e ∴=- …………10分

2≥n 时11(1)n n n n b S S e e --=-=-

当t=0时, 1(1)n n b e e -=-,数列{}n b 为等比数列

当0t ≠时,

3

212

b b b b ≠ ,则数列{}n b 不是等比数列 ∴当t=0时,存在满足条件的数列1(1)n n b e e -=-满足题意 …………12分 (22)(本小题满分10分)选修4—1《几何证明选讲》 解:(Ⅰ) AC DE ∴CD E D CA ∠=∠

又 DBA DCA ∠=∠ ∴CD E D BA ∠=∠ 直线DE 为圆0的切线 ∴CDE DBC ∠=∠

故 D BA D BC ∠=∠. …………5分

(Ⅱ) CAB CDB ∠=∠ 且D BA D BC ∠=∠

∴ABH DBC ∴

AH AB

CD BD

= 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠ ∴AD DC = …………8分

∴AH AB

AD BD

= 468AB AD BD ===,, 故 3AH =. …………10分

(23)(本小题满分10分)选修4—5《不等式选讲》 解:0,0a b >> 且1a b +=

14144()()59b a a b a b a b a b

+=++=++≥

14

9a b

+的最小值为 …………5分 对+,a b R ?∈,使14

21-1x x a b

+≥-+恒成立

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21-19

x x -+≤ …………7分 当1x ≤-时,29x -≤ ∴71x -≤≤- 当112x -<<

时,39x -≤ ∴1

12

x -<<

E

当1

2

x ≥时,-29x ≤ ∴1112x ≤≤

∴-711x ≤≤ …………10分