应用排队论解决银行排队问题

应用排队论解决银行排队问题：

近年来，随着我国社会经济的发展和国民收入水平的提高，普通居民与银行之间的交易，从原先单一的钱款存取发展到信贷、缴费和理财等各个方面；另外银行承担的公共事业费用代收代缴职能越来越多，而银行的服务能力却没有同等幅度的提高。这就造成了迅速增长的个人金融需求和银行服务供给不足的矛盾，导致银行业务柜台前的队伍越来越长，顾客排队等待时间也越来越长，极大地影响了银行的服务质量。

各家银行为减少排队等候时间也是八仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理人员的责任考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有很好解决。实际上，银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量、服务水平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内部管理实现，顾客多要减少排队等候时间就要增加服务窗口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使三者达到最佳的平衡状态。

近年来对于银行排队现象，已经提出了一些具体的解决方案，如下：

1、排队方式

（1）传统方式——多路排队（M/M/1模型）

传统排队系统是多对列多服务台的M/M/1模型，输入过程为泊松分布，服务时间为指数分布，C个服务台独立运作。客户到达后选最短的队伍排队，每个新到顾客都选择当前时刻最短的队伍，所以总体来看各队列等候人数相近。

缺点：

1)每个客户业务不同，选择队列时面临着不确定性，看似最短的队列可能因为

前面的业务繁琐而等待最长。

2)下面几种情况会引起客户埋怨：相同长的队伍，因为业务复杂程度或工作人

员熟练程度不同，造成后到的人反而先办理了业务；在排队中突然新开窗口，客户一拥而上，破坏了正常秩序；快要轮到自己时银行关闭窗口使得前功尽弃；排到窗口后，因未填写、填错单子，或者该窗口只办理特定业务而被告知排错了队，需要重新排队。

（2）取号机的引入——单路排队（M/M/C模型）

在银行引入取号机器之后，排队转变为一个M/M/C模型构成的单路排队系统。取号机重塑了银行排队系统的模式，将排队系统从过去的多对列多服务台排队模型转变为单对列多服务台模式。

<1>利用排队论，通过定量分析证明了M/M/C模型比M/M/1模型有显著的优越

性，在相同的服务效率和顾客到达分布下，M/M/C模型在服务台空闲概率、顾客平均等待时间等指标上均优于M/M/1模型。同时因为顾客无需考虑队列选择，避免前面所述的几种情况，真正做到了先来先服务，保证每一位客户受到公平礼遇。

<2>借助排队论的知识以及合理的假设建立了单路排队模型（M/M/C模型）

和多路排队模型（C个M/M/1模型），分别代表了引入排号机器后和没引入排号机器前的银行排队系统，然后根据排队模型的主要数量指标评价这两个模型的优劣。通过对单路排队模型（M/M/C模型）和多路排队模型（c个M/M/1模型）的计算可知，单路排队相对于多路排队具有显著优势，这也反映了银行引入排号机器对减缓排队压力上有很大的帮助。

<3>利用了排队论对单路排队模型和多路排队模型进行理论上的阐明，并且通过计算分析得出：单路排队模型等候服务要比多路排队模型更有效率。

2、服务窗口数量和弹性排班制度

<4>在分析银行的排队问题特征的基础上，以概率理论为基础，通过数学建模建立了基于银行排队问题的M/M/C模型，由这个模型可知：只要知道系统中顾客的平均到达速率和平均服务速率，就可以计算出系统中顾客的平均逗留时间和顾客排队的平均等待时间，从而可根据实际情况设置窗口数量，提高服务质量，做出相应的决策，使银行服务系统达到最佳的平衡状态。

<5>作者从广州某银行采集了2006年1~4月银行窗口自动取号机排队数据，

应用排队论理论，提出了随机环境下具有可变输入率的适时调整窗口数量的算法，建立了银行柜台优化模型，提出了改善整个柜台服务系统的设想，即最佳柜台规模和最佳工作窗口数，为银行排队管理决策提供科学依据。

<6>指出：应用排队论建立了银行柜员弹性排班制度。弹性排班是针对银行服务需求波动大的特点，通过优化人员配备组合，实行弹性工作安排，根据不同时段顾客流量和业务量的变动情况，动态调整人员工作时间和工作人数的排班制度。该方案在缓解银行排长队现象、应对需求的大幅波动、优化银行柜员资源配置方面很有效，能够满足顾客减少排队等待时间的要求，合理优化柜员工作时间、节省人力成本及排班成本、提高柜员服务效率。

<7>指出，在使用了排队机的银行柜面服务中，由于服务类型不同，可以将服务分为两类: 一类为针对一般储户，业务内容包括存款、取款及转账业务；另外就是针对其他顾客，包括各种交费业务等等。在实际业务工作中，后者窗口空闲时，也可对一般储户进行服务。

<8>指出，银行排队等待产生的原因在于银行业所提供的服务不能满足顾客的需求所导致的结果，解决这个问题除了开辟更多的服务窗口之外，更要注重服务内容的增加，即针对不同的客户，对服务内容进行进一步的细分，并对细分后

的服务项目提供专门的服务窗口，以此来增加提供服务的数量。例如现在的开户业务以及一些大额储蓄业务通常都是在一般的储蓄窗口进行的，但是这些业务所占用的时间又较长，使得顾客等待时间增加，因此可以考虑在此类业务比较多的银行开设专门的开户窗口或大额储蓄窗口，将这些处理时间较长的业务分离出来，以缩减客户等待时间。

3、缩短服务时间，提高服务效率

<9>作者从银行的服务时间入手，根据排队论理论指出，如果银行平均服务率高于顾客平均到达率，会使得排队越来越长而只能等到高峰期过后才能得到缓解。因此，降低服务时间提高个人银行排队系统的效率，使得排队系统能够应付更多的顾客，从而降低顾客的等待时间，进而吸引客户并能增加未来业务利润。银行应更有效的利用客户闲置时间开展工作：比如大堂经理可询问每位顾客业务需求，指导填写单据等，

<8>指出，由于银行的服务项目越来越多，各银行之间的竞争也日益激烈，因此，如何有效的协调服务供给与客户需求，就成为解决排队问题的关键所在。作者认为可以采取如下的措施来提高银行服务的效率：1）在最普通，也是最经常为顾客提供服务的储蓄窗口的员工应尽量避免处理其他业务，用最快捷、最有效的方式为顾客提供服务，减少顾客排队的时间；2）可以对团体客户或者存款数额较大的顾客设立预约服务，并开设一个专门的预约窗口，将这些占用时间较多的服务从业务高峰期中划分出来单独处理。

4、分流客户，减轻服务柜台压力

国内金融服务供给总体不足，且呈现结构性矛盾，银行客户排队现象由来

已久，原因之一就是电子银行及其他自助设备不足，民众办理业务往往只能求助柜台服务，不能很好的分流客户。

<10>指出电子银行具有突破时空限制、高效率、低成本等传统服务方式难

以比拟的优势，大力推广电子银行业务，能有效降低银行营运成本、分流柜台业务、解决银行排队问题，是解决银行排队问题的根本出路。

<5><11>积极引导客户使用网上银行、手机银行、电话银行、自动柜员机等电子银行，减轻柜台排队压力。把部分存取少量现金的客户分流到自助设备；增加电子银行业务比重；增加ATM机的投放，同时将ATM机每天取款限额上调；积极进行业务创新，比如个人支票业务，有效减少客户提取现金而去排队的麻烦；突破传统银行国际结算业务柜台申请的限制，推出网上贸易结算系统。

<12>指出，各大银行自身应该大力扩充电子银行服务，拓展电子化营销渠道，实现柜台分流，有效缩短排队时间。针对不同层次客户群的服务需求，提供不同的电子银行产品；通过不断提升电子银行普及率，充分发挥电子银行产品对

传统银行柜台业务的“替代效应”；实行电子银行产品首用辅导制，积极引导客户通过电话银行、网上银行、手机银行、ATM等渠道进行自助缴费和自动转账，最大限度地发挥电子银行业务的客户分流作用。

发展低成本的电子银行业务可有效节约成本，而且能够提高银行服务效率，保证银行在不增加成本的情况下满足客户不断增长的银行服务需求。因此各大银行应该采取有力措施，加快电子银行业务的发展步伐，普及电子支付方式，分流顾客，减轻各网点柜台压力。

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[12] 巨引,正陈淳银行排队问题的分析与对策价值工程2005，(12)

排队论的应用

排队论的应用 ——食堂排队问题 刘文骁 摘要 本文通过运筹学中排队论的方法，为食堂排队问题建立模型，研究学生排队就餐时间节约的影响因素，通过简单计算，得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，找出可以减少排队时间的最大影响因素。 关键词 排队论；M/M/s模型；食堂排队 引言 在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。 1.多服务台排队系统的数学模型 1.1排队论及M/M/s模型 排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。 排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表

示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。 据此，可得任一状态下的平衡方程如下： 由上述平衡方程，可求的： 平衡状态的分布为：)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,1 10 21 == ---n C n n n n n μμμλλλ 有概率分布的要求：10=∑∞ =n n p ，有：1100=?? ? ???+∑∞ =p C n n ，则有： )3(1100 ∑∞ =+= n n C p 注意：（3）式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义，即当∑∞ =?∞o n n C 时才能由上 述公式得到平稳状态的概率分布。

排队论模型

排队论模型 随机服务系统理论是研究由顾客、服务机构及其排队现象所构成的一种排队系统的理论，又称排队论。排队现象是一种经常遇见的非常熟悉的现象，例如：顾客到自选商场购物、乘客乘电梯上班、汽车通过收费站等。随机服务系统模型已广泛应用于各种管理系统，如生产管理、库存管理、商业服务、交通运输、银行业务、医疗服务、计算机设计与性能估价，等等。随机服务系统模拟，如存储系统模拟类似，就是利用计算机对一个客观复杂的随机服务系统的结构和行为进行动态模拟，以获得系统或过程的反映其本质特征的数量指标结果，进而预测、分析或估价该系统的行为效果，为决策者提供决策依据。 排队论模型及其在医院管理中的作用 每当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队就会发生。排队论就是对排队进行数学研究的理论。在医院系统内，“三长一短”的现象是司空见惯的。由于病人到达时间的随机性或诊治病人所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。但如何合理安排医护人员及医疗设备，使病人排队等待的时间尽可能减少，是本文所要介绍的。 一、医院系统的排队过程模型 医院是一个复杂的系统，病人在医院中的排队过程也是很复杂的。如图1中每一个箭头所指的方框都是一个服务机构，都可构成一个排队系统，可见图2。 图1 医院系统的多级排队过程模型 二、排队系统的组成和特征 一般的排队系统都有三个基本组成部分： 1. 输入过程其特征有：顾客源（病人源）的组成是有限的或无限的；顾客单个到来或成批到来；到达的间隔时间是确定的或随机的；顾客的到来是相互独立或有关联的；顾客相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都与时间无关或有关。 2. 排队规则其特征是对排队等候顾客进行服务的次序有下列规则：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务（如医院对于病情严重的患者给予优先治疗，在此不做一般性的讨论），随机服务等；还有具体排队（如在候诊室）和抽象排队（如预约排队）。排队的列数还分单列和多列。 3. 服务机构其特征有：一个或多个服务员；服务时间也分确定的和随机的；服务时间的分布与时间有关或无关。

运筹学第四次作业排队论问题.doc

一、汽车维修站问题 某汽车维修站只有一名修理工，一天8h 平均修理10辆汽车。已知维修时间服从负指数分布，汽车的到来服从泊松流，平均每小时有1辆汽车到达维修站。假如一位司机愿意在维修站等候，一旦汽车修复就立即开走，问司机平均需要等待多长时间。如果假设每小时有1.2辆汽车去修理，试问该维修工每天的空闲时间有多少？这对维修站里的汽车数及修理后向顾客交货时间又有怎样的影响？结合以上所求得的数据，分析汽车维修站的服务质量水平。 解：该问题是一个标准的M/M/1/2模型，即汽车司机相继到达间隔时间的分布满足负指数分布，维修工服务时间分布满足负指数分布，服务台数为c=1，系统容量限制为N=2。 (1)已知汽车的到来服从泊松流，平均到达率为=1/h λ，维修时间服从负指数分布，平均每辆汽车接受服务的时间为T=0.8h,单位时间服务车辆的数量为 1.25μ=。则根据该模型运行指标的计算公式可得出： ①系统的平均服务强度为/0.8ρλμ==； ②顾客到达后理科就能得到服务的概率，即维修站空闲，没有顾客的概率为 0+1 11N P ρ ρ -= -； ③系统的队长为1 1 (1)11N s N N L ρ ρρρ +++=---; ④系统的排队长0(1)q S L L P =--; ⑤系统的有效到达率为0(1)e P λμ=-； ⑥顾客逗留时间为0(1) s s s e L L W P λμ= = -； ⑦系统满员的概率，即顾客被拒绝的概率为1 1·1N N N P ρ ρρ +-=-； 利用LINGO 软件来求解，记有关参数1c =，系统最大容量为N=2，顾客平均到达率为1L λ==，平均每个顾客的服务时间为1 0.8T μ ==。则相应程序如 下： MODEL: sets:

课程设计银行排队论分析

南京理工大学 课程考核论文 课程名称：课程设计 论文题目：银行服务数据的统计分析姓名：李其然 学号：14 成绩：

【摘要】 排队论是运筹学的一个重要分支，又称随机服务系统理论，是研究由随机因素的影响而产生拥挤现象的科学。它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决服务系统的最优设计与最优控制问题。随着社会文明的发展与进步，排队已成为和我们生活密不可分的话题。去银行、商场等随机性服务机构购物，如在结算时出现长时排队等待现象，是件让人头痛的事情，有时会因此取消购物计划。身为商家，如何在最低成本运营的情况下最大化的为顾客提供优质服务，减少顾客无谓的等待时间，是重多经营者亟待解决的问题。因此，根据排队论的知识来优化银行的排队系统是具有现实意义的。 计算机模拟就是利用计算机对所研究系统的内部结构、功能和行为进行模拟。由于排队论的应用已越来越广泛，排队特征、排队规则和服务机构也变得越来越复杂，解析方法已无法求解，而计算机模拟是求解排队系统和分析排队系统性能的一种非常有效的方法，并且计算机模拟具有成本低，运行速度快，准确度高的优点。将排队论与计算机模拟结合起来，是今后排队论发展的必然趋势。 在银行中客户排队是一个常见的现象，特别是近年来随着客户规模的不断,扩大以及营业厅扩建速度跟不上客户需求增长的矛盾愈显突出。因此，为平稳波动的客户，需求与移动营业厅有限的服务能力之间的矛盾，提升客户满意度，开展缩短客户等待时长，优化营业厅服务的项目刻不容缓。本文基于需求管理的理论，运用现代项目管理工具，针对南京交通银行营业厅进行顾客达到时间（间隔）、服务员完成服务时间等资料的收集和对客户进行问卷调查、访谈的基础上，对数据进行统计分析，包括数据的均值、众数、中位数、方差指标，并做经验分布函数、拟合数据分布、分布参数的估计、分布假设检验，来反映目前交通银行营业厅排队现状。之后，从客户角度出发，分析了造成移动营业厅排队问题的原因，进而从缴费类型和对时间与价格敏感度两个角度对客户的需求进行了分析，总结出适合缩短客户等待时长的项目管理方案。并在此基础上提出基于需求管理的解决移动营业厅排队问题。 【关键词】：统计特征；分布假设；分布检验

第六章 排队论

第六章排队论模型 排队论起源于1909年丹麦电话工程师A. K．爱尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研究。1917年，爱尔朗发表了他的著名的文章—“自动电话交换中的概率理论的几个问题的解决”。排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命力。 排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。 排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分： （i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。 （ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。 （iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于那种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 这里将介绍排队论的一些基本知识，分析几个常见的排队模型。 §1 基本概念 1.1 排队过程的一般表示 下图是排队论的一般模型。 一定的排队规则等待服务，直到按一定的服务规则接受完服务后离开排队系统。 凡要求服务的对象统称为顾客，为顾客服务的人或物称为服务员，由顾客和服务员组成服务系统。对于一个服务系统来说，如果服务机构过小，以致不能满足要求服务的众多顾客的需要，那么就会产生拥挤现象而使服务质量降低。因此，顾客总希望服务机构越大越好，但是，如果服务机构过大，人力和物力方面的开支也就相应增加，从而会造成浪费，因此研究排队模型的目的就是要在顾客需要和服务机构的规模之间进行权衡决策，使其达到合理的平衡。 1.2 排队系统的组成和特征 一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成，现分述如下： 1.2.1 输入过程 输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况： （i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。 （ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。

M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析

M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析 摘要:文章阐述了M/M/C/∞排队系统的理论基础,包括排队论的概念,排队系统的基本组成部分以及排队系统的模型。在理论分析的基础上,文章以建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统为例,对该系统进行分析并提出了最优解决方案。 关键词:排队论;银行储蓄所;M/M/C/∞模型;最优解 1M/M/C/∞排队系统 1.1排队论的概念及排队系统的组成 上世纪20年代,丹麦数学家、电气工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在用概率论方法研究电话通话问题时,开创了这门应用数学学科。排队论主要研究各种系统的排队队长,排队的等待时间及所提供的服务等各种参数,以便求得更好的服务。研究排队问题实质上就是研究如何平衡等待时间与服务台空闲时间。目前,排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、生产与库存管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域。 任意一个排队系统都是由三个基本部分构成,即输入过程、排队规则和服务机构。①输入过程是描述顾客来源以及顾客按什么规律达到排队系统。②排队规则描述的顾客到达服务系统时顾客是否愿意排队,以及在排队等待情形下的服务顺序。③服务机构描述服务台数目及服务规律。服务机构可分为单服务台和多服务台;接受服务的顾客是成批还是单个的;服务时间服从何种分布。 1.2M/M/C/∞排队模型 ①排队系统模型的表示。目前排队模型的分类采用1953年由D. G. Kendall 提出的分类方法。他用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。为了表示其它特征有时也用4～5个字母来表示如A/B/C/D/E。其中:A 顾客到达间隔时间的概率分布;B 服务时间的概率分布;C 服务台数目;D 系统容量限制(默认为∞);E 顾客源数目(默认为∞);概率分布的符号表示:M:泊松分布或负指数分布,D:定长分布,Ek:k阶爱尔朗分布,C:一般随机分布。 ②排队系统的衡量指标。—所有服务设施空闲的概率;—系统中的顾客总数;—队列中的顾客总数;—顾客在系统中的停留时间;—顾客在队列中的等待时间。 ③M/M/C/∞排队模型。排队系统模型大体上可以分为简单排队系统,特殊排队系统,休假排队系统及可修排队系统。纵观所有排队系统的模型,无非是系统的三个组成部分分别为不同情况时,进行的排列组合,并由此导致排队系统的数量指标的计算公式不一致。无论是何种排队系统,其研究实质都是如何平衡等待时间

排队论医院应用

医院排队论模型 医院排队论模型 医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形 式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务. 这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者. 以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的. 排队系统模拟 所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行 为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据. 如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务 设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重 要分支之一. 在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随 机服务系统. 这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等. 医院排队系统的组成 排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.

1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接 受服务. ⑴来到过程 常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛. 所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入： ①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段 时间的长度和患者数有关； ②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立 的； ③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不 存在同时到达2个以上患者的情况； ④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可 能有无限个患者到达. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的； 相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的； ⑵服务时间

数学建模港口问题-排队论

排队模型之港口系统 本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1 M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。好。关键词：问题提出： 一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。 那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少 若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少 卸货设备空闲时间的百分比是多少 % 船只排队最长的长度是多少 问题分析： 排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。【1】 M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前//1 面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。 蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神

基于排队论的决策系统研究

基于排队论的决策系统研究 【摘要】在排队系统中，顾客总是希望尽快接受服务，为减少顾客逗留时间（降低逗留费用），需要提高服务水平，服务水平是服务率μ和并行服务台数c 的函数，因此优化的目标是使两者的费用总和最小。本文运用了排队系统“合适的”服务水平的决策模型：费用模型，渴望水平模型以及排队系统的经济分析等内容对上述问题进行了研究和分析，并用实例证明分析，以至于在服务水平和等待的各个冲突因素之间寻求某种平衡。 关键词：服务水平决策模型费用模型渴望水平模型

一、前言 1.1研究排队系统的必要性 日常生活中我们常常需要等待服务，例如在参观就餐是等待服务，在超市付款台前“排队等候”，在邮局“排队”等待服务等。但是排队现象也不仅仅是人类独有的，比如工件的等待机器加工，飞机在机场上空盘旋等待批准着陆，汽车等待交通信号灯等，它们也存在着排队现象。排队现象花费极大的成本，等待现象是不可能完全消除的，我们的目标是把它不利影响减小到“可以忍受的”程度。 排队论主要是运用像：平均队列长度、平均等待时间，以及设施平均利用率这样的性能度量指标，来定量研究排队现象。 1.2 排队模型的要素 一个排队系统中的主要参与之是顾客和服务台，顾客从某个输入源产生，到达一个服务设施，他们可以立即得到服务；加入服务设施繁忙，也可能在队列中等待。当一个设施完成一次服务，如果有顾客等待的话，则自动地“拉出”一个等待顾客；加入队列为空，设施就变成空闲，直到新的顾客到达。 从分析队列的角度，我们用连续两个顾客之间的到达时间间隔来表示顾客的到达，用对每个顾客的服务时间来描述服务。一般地，到达时间和服务时间可以是随机的，如邮局的服务系统；也可以是确定的，如求职面试申请者的到达。 队列长度对于队列的分析有作用，它可以是有限长的，如两个相邻机器之间的缓冲区；也可以是无限的，如邮寄订单处理。 排队规则表示从队列里选择顾客的顺序，是排队模型分析的一个重要因素。最常见的排队规则是先到先服务（first come，first served，FCFS）。其他的排队规则还有后到先服务（last come，first served，LCFS）和随机顺序服务（service in random order，SIRO）。也可以按照某种优先权(priority)顺序从队列里挑选顾客，例如车间里把紧急工件放在普通工件前面进行处理。 在队列分析中，顾客的排队行为也起着重要作用。“人类”顾客可能从一个队列跳到另一个队列，以期望缩短排队时间。顾客也可能由于预计的排队时间过长而暂时不加入队列，或者可能会从一个队列中等待过久而退出，因为已经等待了太长的时间。服务设施的设计可以包括并行服务，如邮局或银行服务，服务人

基于排队论的校园服务系统的分析及优化

基于排队论的校园服务系统的分析及优化 摘要：服务窗口的排队问题在生活中随处可见，为提高系统效率，本文以我校 食堂超市等服务窗口问题为例，基于泊松分布和排队论分析来确定所需要的服务 窗口和服务人员数目，理论计算结果和实际情况相比较，为解决目前大学生在校 就餐购物排队等时间问题，构建了基于排队论的校园窗口设置优化模型。 关键词：排队论；数学建模；系统优化 Analysis and optimization of campus service system based on queuing theory. Abstract： Service window of queuing problem can be seen everywhere in our daily life, to improve the efficiency of system, this article in our school canteen service window problem such as supermarkets, for example, based on the poisson distribution and queuing theory analysis to determine the required number of service Windows, compared with the theoretical calculation results and actual situation, to solve the problem of the current college students in the school dining shopping queuing time, build the campus window set optimization model based on queuing theory. Key words: queuing theory; Mathematical modeling; System optimization 一、引言 排队是在日常生活中经常遇到的问题，比如顾客到商店购物去火车站买票等 都需要排队。此时要求服务的人数超过服务机构（服务台服务员等）的容量，也 就是说，到达的顾客不能立即得到服务进而出现了排队现象。在大学里，会因为 人数多而相关的一些服务窗口或者服务人员数目不够导致经常看见食堂超市等场 所出现冗长的队伍和拥挤现象。为了减少学生排队等待时间，提高服务台服务效 率和管理水平，就有必要运用排队论对校园服务窗口进行优化配置。本文以数学 理论中的排队论为依据，结合学校服务窗口出现的排队问题进行分析建模，以期 学校能用最优的服务窗口和人员数目获得学生和服务窗口间的较好效率。 二、校园排队相关情况调查 2.1调查对象： 这次抽样以阜阳师范学院在校本科生为对象，其中问卷对象包含了大一到大 三的学生。 我们将问卷以每个年级各70份，以年级宿舍楼寝室为单位随机发放匿名填写。此次调查，共发放210份问卷，回收201份，其中有效问卷195份。 2.2调查内容： 1、排队运营形式及排队中出现问题。 2、学生排队等待时间研究。 3、学校针对排队这一现象所采取的实施办法的总体情况。 2.3调查方法： 调查的过程采用抽样调查法，为了使样本遍布所有年级，因此以年级为层次 对我校大学生进行随机抽样。 三、调查内容及分析 3.1调查结果分析 1、排队运营形式及排队中出现问题 针对这一内容涉及到调查问卷中“在校园内哪些地方需要排队”、“同学们在排 队时是否遇到过插队现象”两个问题。从表格中可以反映出，在校园内需要排队的地点。而在这些地点

银行排队现象

银行排队现象分析讨论

银行排队现象的排队论分析 一简介 排队问题是与我们的生活息息相关的一项理论。无论是有形的还是无形的排队问题，都随时随刻地伴随着我们生活的每一天。 银行排队现象近年来长期存在。客户在办理业务时要付出额外的时间成本，这给社会民众的日常生活带来了许多不便。2007 年5 月，中国人民银行出台了《关于改进个人支付结算服务的通知》，要求银行采取措施，进行整改。情况有所改善，单银行排队等候时间依然过长。。众所周知，随着我国经济的发展、人民生活水平日益提高，社会对金融服务的需求越来越强。在金融业飞速发展的 今天，银行排队现象值得我们关注。 二关键词 排队论M/M/N M/M/1 泊松分布Markov链 三问题描述 在银行排队等候办理业务的人数量服从参数为λ的泊松分布，每个人办理一份业务。并行办理业务的业务员有r个，每位业务员任何时刻只能服务一个客户、不能同时服务两个或两个以上，不同的业务员办理业务的时间长度相互独立，且都服从参数为μ的负指数分布。客户到达服务窗口的过程与业务员办理业务的过程相互独立。通常有两种排队方式： A：排成一个大队列。只要在某位业务员空闲，他就给排在队列中的第一位客户办理业务。新到达的客户排到队尾，直到排在他前面的所有客户都办完业务后，他才有资格办理业务。按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户按照先到先得的原则排一个大队列。 B：自选排成多个队列。每个业务员前面各排成一个队列，业务员只负责自己队列中的客户。新到达的客户自行选择排哪一队列。按照这种方式，当r个业务员都忙碌时，客户排成了r个队列。 进行比较确定哪一种排队方式更节省时间。 四模型 首先，给出一般的排队论的数学模型，框图如下：

排队论模型

排队论模型 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方 法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初， 美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论 基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）

都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 排队规则 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，

烙饼问题、排队论、合理安排时间练习题

合理安排时间 一、认真填一填。 1 2、一只平底锅里只能同时煎2条鱼，用它煎1条鱼需要4分钟（正、反面各2分钟）。那么，煎3条鱼至少需要（）分钟。 3、小强在每天早晨要做的事是：起床4分钟，洗漱、整理房间6分钟，收拾书包2分钟，做早饭（用煤气灶煮鸡蛋）10分钟，吃早饭6分钟。小强在（ ）的同时可以（），经过合理安排，做完这些事情最少要用（）分钟。 4、小强、小亮、小明三个同学去办公室找张老师检查作业。张老师检查他们作业需要的时间分别是5分钟、2分钟、4分钟，想要使三个同学等候时间的总和最少，应该按（）→（）→（）的顺序进行检查。 二、判断对错。 1、有很多事情要做时，能同时做的事尽量同时做，这样可以节省时间。（） 2、用一只平底锅煎菜饼。如果煎一张菜饼需要2分钟（正、反两面各需要1分钟），那么煎10张饼最少需要20分钟。（） 3、有甲、乙两只船要卸货，且只能一船一船地卸。给甲船卸货要3小时，给乙船卸货要2小时。先给甲船卸货能使两只船等候时间的总和最少。（） 三、细心选一选。 1、甲、乙、丙3人各拿一个水桶到一个水龙头前等候打水。甲打满一桶水要2分钟，乙需要4分钟，丙需要3分钟。要使他们打水等候的时间总和最少，他们打水的顺序应是（）。 A、甲、乙、丙 B、丙、乙、甲 C、甲、丙、乙 D、乙、丙、甲 2、有20根火柴，两人轮流取，每次只能取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就赢。小红先取走1根，你要想确保获胜，你接着应取（）根。 A、1 B、2 四、解决问题我最棒。 1、爸爸杀好鱼后，小明帮爸爸烧鱼。他按照爸爸告诉他的工序（如下图），有条理的把鱼烧熟后共花了20分钟： →

应用排队论解决银行排队问题

应用排队论解决银行排队问题： 近年来，随着我国社会经济的发展和国民收入水平的提高，普通居民与银行之间的交易，从原先单一的钱款存取发展到信贷、缴费和理财等各个方面；另外银行承担的公共事业费用代收代缴职能越来越多，而银行的服务能力却没有同等幅度的提高。这就造成了迅速增长的个人金融需求和银行服务供给不足的矛盾，导致银行业务柜台前的队伍越来越长，顾客排队等待时间也越来越长，极大地影响了银行的服务质量。 各家银行为减少排队等候时间也是八仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理人员的责任考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有很好解决。实际上，银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量、服务水平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内部管理实现，顾客多要减少排队等候时间就要增加服务窗口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使三者达到最佳的平衡状态。 近年来对于银行排队现象，已经提出了一些具体的解决方案，如下： 1、排队方式 （1）传统方式——多路排队（M/M/1模型） 传统排队系统是多对列多服务台的M/M/1模型，输入过程为泊松分布，服务时间为指数分布，C个服务台独立运作。客户到达后选最短的队伍排队，每个新到顾客都选择当前时刻最短的队伍，所以总体来看各队列等候人数相近。 缺点： 1)每个客户业务不同，选择队列时面临着不确定性，看似最短的队列可能因为 前面的业务繁琐而等待最长。 2)下面几种情况会引起客户埋怨：相同长的队伍，因为业务复杂程度或工作人 员熟练程度不同，造成后到的人反而先办理了业务；在排队中突然新开窗口，客户一拥而上，破坏了正常秩序；快要轮到自己时银行关闭窗口使得前功尽弃；排到窗口后，因未填写、填错单子，或者该窗口只办理特定业务而被告知排错了队，需要重新排队。 （2）取号机的引入——单路排队（M/M/C模型） 在银行引入取号机器之后，排队转变为一个M/M/C模型构成的单路排队系统。取号机重塑了银行排队系统的模式，将排队系统从过去的多对列多服务台排队模型转变为单对列多服务台模式。 <1>利用排队论，通过定量分析证明了M/M/C模型比M/M/1模型有显著的优越

排队论及其应用

排队系统的符号表述 描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥ 各符号的意义： ①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； EK——表示K阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布。 ②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 ③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。 ④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0

课程设计银行排队论分析

理工大学 课程考核论文 课程名称：课程设计 论文题目：银行服务数据的统计分析姓名：其然 学号：1111850114 成绩：

【摘要】 排队论是运筹学的一个重要分支，又称随机服务系统理论，是研究由随机因素的影响而产生拥挤现象的科学。它通过研究各种服务系统在排队等待中的概率特性，来解决服务系统的最优设计与最优控制问题。随着社会文明的发展与进步，排队已成为和我们生活密不可分的话题。去银行、商场等随机性服务机构购物，如在结算时出现长时排队等待现象，是件让人头痛的事情，有时会因此取消购物计划。身为商家，如何在最低成本运营的情况下最大化的为顾客提供优质服务，减少顾客无谓的等待时间，是重多经营者亟待解决的问题。因此，根据排队论的知识来优化银行的排队系统是具有现实意义的。 计算机模拟就是利用计算机对所研究系统的部结构、功能和行为进行模拟。由于排队论的应用已越来越广泛，排队特征、排队规则和服务机构也变得越来越复杂，解析方法已无法求解，而计算机模拟是求解排队系统和分析排队系统性能的一种非常有效的方法，并且计算机模拟具有成本低，运行速度快，准确度高的优点。将排队论与计算机模拟结合起来，是今后排队论发展的必然趋势。 在银行中客户排队是一个常见的现象，特别是近年来随着客户规模的不断,扩大以及营业厅扩建速度跟不上客户需求增长的矛盾愈显突出。因此，为平稳波动的客户，需求与移动营业厅有限的服务能力之间的矛盾，提升客户满意度，开展缩短客户等待时长，优化营业厅服务的项目刻不容缓。本文基于需求管理的理论，运用现代项目管理工具，针对交通银行营业厅进行顾客达到时间（间隔）、服务员完成服务时间等资料的收集和对客户进行问卷调查、访谈的基础上，对数据进行统计分析，包括数据的均值、众数、中位数、方差指标，并做经验分布函

基于排队论的机场安检排队问题的研究

基于排队论的机场安检排队问题的研究 摘要 随着航空客运业的快速发展，机场客运流量增长迅速，随之便带来了一系列问题，其中机场安检过于拥堵问题是其中之一，加深了顾客对航空服务业的不满，如何改善机场安检系统便显得尤为重要了。当前对于机场安检排队系统的研究运用管理学上理论提出的一些改善的方法，没有定量描述问题实质。本文运用排队论的有关理论，从机场安检排队系统模型的分析开始着手，利用案例进一步阐述排队论在机场安检排队系统解决实际问题，为机场安检拥堵问题提出了一种定量的分析方法。 关键字：机场安检排队论系统模型

Based on queuing theory queuing problem of airport security Abstract： With the rapid development of the passenger airline industry, airport passenger traffic has grown rapidly, with the attendant would bring a range of issues, including airport security is one of over-congestion problems, enhance the customer dissatisfaction with air services, how to improve airport security System, it becomes very important.The current line up for airport security management system for the use of some improvement on the theory of the method, no quantitative description of the real problem.In this paper, the theory of queuing theory, queuing system model from the airport security analysis began, the use case further elaborated on in the airport security line queuing system to solve practical problems, congestion problems for the airport security presents a quantitative analysis. Key Words：Airport security Queuing theory System Model

最新MATLAB模拟银行单服务台排队模型

M A T L A B模拟银行单服务台排队模型

MATLAB模拟银行单服务台排队模型 摘要：运筹学就是专门研究对各种经营做出优化决策的科学，也称为最优化理论。排队论是运筹学的重要组成部分。排队论又称随机服务系统理论，它是通过对各种服务系统在排队等待现象中概率特性的研究，来解决服务系统最优设计与最优控制一门学科。具有排队等候现象的服务系统通称为排队系统。任何一个服务系统总是由两个相辅相成的要素：顾客和服务员（或服务台）所构成。凡是要求接受服务的人与物统称为顾客；凡是给予顾客服务的人与物统称为服务员（或服务台）。MATLAB是一种用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。使用 MATLAB可以较使用传统的编程语言（如 C、C++ 和 Fortran）更快地解决技术计算问题。 关键词：程序化模拟；单服务台；等待时间；排队论 一、问题叙述 众所周知，近年来我国大学大举扩招，学生人数大幅增加，而大学校园往往距离城市中心较远，银行数量较少，这就导致了银行业务繁忙时大量学生在银行窗口前排起长队等待的情况。这种现象长期困扰着广大学生，浪费了同学们的大量时间。为此，我们建立银行单服务台排队模型，并用MATLAB进行模拟，以计算学生在银行窗口前的平均排队时间。 二、模型假设 1。在银行只有一个服务窗口，客户陆续来到，服务窗口逐个地接待客户．当到来的客户较多时，一部分客户便须排队等待，被接待后的客户便离开银行。 2。客户到达的间隔时间服从指数分布（均值为10分钟）；每个客户的服务时间服从均匀分布U[10，15]。

3。 客户到达时刻、客户服务完毕并离去时刻等均视为随机事件（瞬间完成）。 4。 排队按先到先服务规则。 三、符号说明 arrive （i ）：第i 个客户到达的时刻； wait(i) ：第i 个客户的排队等待时间； servetime(i) ：第i 个客户接受服务的时间； meantime(i) ：客户的平均等待时间 n ：客户数目 四、模型的建立与求解 在任意时刻t ，系统的状态可以用排队等候的客户数目和服务员是否在工作来描述。排队等候的客户数目称为队长，记作L(t)，为非负整数。服务员的状态用S （t ）表示，当服务员工作时，令S(t)=1；服务员空闲时，令S(t)=0。 系统的性能指标通常用排队长度、等待时间和服务利用率等来衡量。由于它们随时间改变，一般用一段时间内的平均值作为数量指标。有以下三个指标： 1)平均队长 指队长L(t)在[0，T]内的平均值，计算公式为 ?=T dt t L T L 0 )(1 2)客户的平均等待时间 指每个客户平均等待的时间长度，记作W ． 3) 服务利用率 指服务员工作时间在T 中的比例，?=T dt t S T U 0 )(1 为了简化问题，假设在上述模型下，系统的性能指标只有一个，即客户的平均等待时间．考虑用模拟方法来求W ，若系统能模拟出每位客户的等待时间序列},,,{21n D D D ，则 ∑==n i i D n W 1 1 具体模拟步骤如下： 第1步 调查并收集和处理数据，记录客户到达时刻、等待时间和服务时间．假定客户到达的间隔时间服从指数分布（均值为10分钟）；每个客户的服务时间服从均匀分布U[10，15]。 第2步 构造模拟模型．输人因素：客户的到达间隔时间和服务时间；排队规则：先到先服务；一个服务机构。

基于排队论的简单实际应用

基于排队论的简单实际 应用 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

基于排队论的简单实际应用 摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过 程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。本文根据排队论进行了一个简单的实际应用讨论。根据该办公室的电话系统状况得知其服从排队论模型规律，用)(t Pn 表示在时刻t ，服务系统的状态为n （系统中顾客数为n ）的概率。通过输入过程，排队规则，和服务机构的具体情况建立关于)(t Pn 的微分差分方程求解。令0)('=t P n 把微分方程变成差分方程，而不再含微分了，因此这样意味着把)(t Pn 当作与t 无关的稳态解。关于标准的M/M/s 模型各种特征的规定于标准的M/M/1模型的规定相同。另外规定各服务器工作是相互独立（不搞协作）且平均服务率相同 .==...==s 21μμμμ于是整个服务机构的平均服务率为μs ；令,s = μ λ ρ只有当1