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线性代数--北京邮电大学出版社(戴斌祥--主编)习题答案(1、2、3、4、5)

线性代数习题及答案

（北京邮电大学出版社戴斌祥主编）

习题一

（A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)...321； (4) 13 (2)

1)(2n )(2n

2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n

1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n

1)=

(1)

n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n

2)…2)=0+1+…+(n

1)+(n

2)+…+1+0=n (n

1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。解：D 4=1234()

11223344(1)

j j j j j j j j a a a a τ-

由题意有：232,

4.j j == 故1234141243

243241

j j j j j j ?==??D 4中含的2234a a 项为：

(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？

（1）233142561465a a a a a a ；解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)

6(1)

(1)1τ-=-= 所以该项带正号。

（2）324314516625a a a a a a 解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)

8(1)

(1)1τ-=-=所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200

001030000004

； (2)

1230

002030450001

. （3）

0100002

000

100

n n -

【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,11

n n n ij a a a n a n a -=??=????

=-??=?=??其余所以12()112233(2341)

122334

1,1

1(1)(1)(1)

123(1)(231)1

(1)!

n j j j n j j j njn n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-?????-?=-=-?

6. 计算下列各行列式.

(1)

141312112325

-----； (2) ab

ac ae bd

de bf

-------；(3)

001

100

1100

a b c d

---；

(4)

1234

234134124123

. 【解】(1) 12

0623121012325

r r D

+---=--;

(2) 1

11111

D abcdef abcdef --==------; 21

011

111(3)(1)1

1100

011;

b c D a a b cd c c d d d

d abcd ab ad cd --?--?

=+-=+++--????=++++ 321221

314214

210234

234

102

3410341011

113(4)160.1041202220

410123

111

4r r c c r r c c r r r r c c r r

D -+-+-++---=

=-------

7. 证明下列各式.

(1) 2

322()1

a a

b b a

a b b a b +=-；(2)

22222

2222

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；(3)

232

232232

111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++(4) 20000

(

)00

a b

a b D ad bc c d c

==-； (5)

11111

111111

i i i i n

a a a a a ==++??=+ ??

?+∑∏.

【证明】(1)

3()()()2()

1()()()()()2()

c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b

--+--=

--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 32

3142

222-2-22322214469

21262144692126

021446921262144692126

c c c c c c c c c c a a a a a a b

b b b b b

c c c c c c

d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端.

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

2323232

11()()()()()()()

(*)

x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c

c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

()()()()(),1

a a a

b b

c ac a b a c b c ab bc ac b b c

c ++---=++ 但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

232

1(1),11

a a

b b

c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得

22(1)2(1)2(1)00

000

(),

n n n n a

b a

a b

D a

c d

c d c d d c ad D bc D ad bc D ---=-=?-?=-

据此递推下去，可得

222(1)2(2)

112()()()()()()n n n n n n

D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-=

=-=--=- 2().n n D ad bc ∴

(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.

当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶

数为n 时结论也成立.

按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：

112

111110111

1111011111110

n n n

n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=

+=+

但由归纳假设

1112

1111,n n n i i D a a a a ---=??+= ???

∑ 从而有

112

1121112

1111

111111.

n n n n n i i n n n

n n i i i i i i D a a

a a a a a a a a a a a a a ---=-===??

+=+ ?

???++== ? ????

?∑∑∑∏

8. 计算下列n 阶行列式.

(1) 1

n x x

D x

(2) 12222

2222

2322

n D n

=； (3)0000

0000

n x y x y D x y y x

. (4)21000121000120000021000

n D =

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n

1),得

111[(1)]

,11

n x D x n x =+-

将第一行乘（

1）后分别加到其余各行，得

11110[(1)]

(1)(1).0

n n x D x n x n x x --=+-=+---

(2) 21311

01010

100201000

n r r n r r r r D n ---=

-按第二行展开222

2010

02(2)!.002

0000

n n =---

(3) 行列式按第一列展开后，得

(1)(1)(1)10000000000

000(1)0000000

(1)(1).

n n n n n n n n x y y x y x y D x

y x y x y y

x y

x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-

(4) 210002000001000121

001210012100012000120001200000210002100021000

000

n D =

122n n D D --=-.

即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=

由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-+

+-=- 得

11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.

12121

111n n n n

a a a a a a D a a a

++=

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1

i a

∑，得

2323

123

111111,1

1n n

n i n i n

a a a a a a D a a a a a a a =+??

=++ ??

+∑ 将第一行乘（

1）后加到其余各行，得

311

100

11.0

0100

n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???

∑∑

10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,

,i a i n ≠=）.

1111

123222211

2233

221122

331

11112

3n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

n n n n n

a a a a a

b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=

【解】行列式的各列提取因子1

(1,2,

,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式. 3121

3121

12311

113121231

11111()().

n n

n n n n n n n n n n n j i n n j i n i

j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ? ? ???

-= ???∏

11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D 的值。

解：D=

1112142122

3132

344142

1201

a a a a a a a a a a a a -，132333438,7,2,10M M M M ==== 4

333

1323334313132323333343434567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8(1)27(1)02(1)1108141032.

i i i i D a M a M a M a M a M +=++++=-=-+-+-+-=-?-?+-??+-??+-??=---=-∑ 12. 用克拉默法则解方程组.

（1）12

12450,37 2.x x x x +=??-=? （2）12312

32,

21,4.x x x x x x x -+=??+=??-=? (3) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.

x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (4)

12123234345

4556 1,

56 0,

56 0, 560,

5 1.

x x x x x x x x x x x x x +=??++=??

++=??++=?+=?? 【解】（1）因为1212450

372

x x x x +=??

-=?

D =

454337=--；D 1=05

1027

=--；D 2=

40832= 所以121210

8,.43

D D x x D D =

=- （2）因为12312

214x x x x x x x -+=??

+=??-=? D =[1(1)]2,3

11111

2003151

r i i +-=--=

-=---

D 1=21

100112

201

01361

1611-==

=-----

D 2=12

110011422

141022

--=--=

=--- D 3=112

2103171

--=-= 所以

3121231347

,,.5

D D D x x x D D D =

=-=

=- (3)方程组的系数行列式为

11101110

131131

21110131

180;1210

52121101211

1401

D -------=

===≠----- 12345110

15101111211118;

36;

2211

1211

3123032

3115011152111

2111

36;18.122112120

D D D D --====---=

=--

故原方程组有惟一解，为

312412341,2,2, 1.D D D D

x x x x D D D D

=======- 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665

D D D D D D x x x x x ===-==-=∴=

=-==-=

13. λ满足什么条件时，线性方程组1231231

2321,2,4553

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=?有唯一解？

解：D =[32(1)]

121

11104

c λ

λλ

---=--

(1)

(1)(54)4

λλλλ--=-?+

要使方程组有唯一解，必须D 0≠，于是：(1)(54)0λλ-?+≠ 解得：1241,5

λλ≠≠-

当λ不等于1，4

时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组

1231231

230,0,20

x x x x x x x x x λμμ++=??

++=??++=? 有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

0,111

λμμ= 即

(1)0.μλ-=

故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.

15. 求三次多项式23

0123()f x a a x a x a x =+++，使得

(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====

【解】根据题意，得

0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.

f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=

这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于

012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=

故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为

23()752f x x x =-+

（B 类）

1. 已知n 阶行列式D 的每一列元素之和均为零，则D = 。解：令

D =

111211*********

12[1(1)]2122221

22,3,,121

n n n n n nn

r i n n

i n

n n nn n n nn

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=++

+++

212221

0000n n n nn

a a a a a a =

2.D

3. 写出行列式D 4=

512

312123

122x x x x

的展开式中包含3

x 和4

x 的项。

解：令D 4=

512

312123

122x x x x

11121314212223243132333441

a a a a a a a a a a a a a a a a =

12341234

()11223344(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑

比较可得：只有当12341234j j j j =时，才能出现4x 项，当12342134,4231j j j j =时，为3

x 项，

故4D 中含4x 项为：4

10x + 含3

x 项为：(2134)

(4231)31221334414223341(1)(1)5a a a a a a a a x ττ-+-=-。

4. 已知4阶行列式D 4=

1234

334415671122

，试求41424344A A A A +++，其中4(1,2,3,4)j A j =为

行列式D 4的第4行第j 列的元素的代数余子式。

解：因为D 4=

1234

334415671122

所以414243441234

334415671111

A A A A +++=

[1(1)]412,3,4

1123

123

3011

(1)0111456

456

1000

c i i +-+==

[41(4)]

(1)0

1(1)(1)

036

r +-+=-=------(6(3)) 3.=----=

5. 解方程1

221

121111110.n

n n

n a a a a a a x a a a =

解：因D =

21211111112121212(1)(1)

111111111

10111n

n n n n n n n n n n

n n n n a a a a a a a a a a a a x

a a a x

a a a ------+?+---=

---

=122

11111

1)11

1n n n n n n

n n

a a a x a

a a +---?-------+

122221************

111

n n n n n n n n

n n n n

a a a a a a a a a a a a ---?---------

故由D =0可得：

(1)

n x +=-

122221

2111121212111121111

111

11111

111

1n n n n n n n n

n n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---?---?---------------

因为

121211111

121211*********

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---------=

---=1()n i j j i n

V a a ≤<≤=

-∏

所以(1)

x =-122221212111111

1()

n n n n

n i j j i n

a a a a a a a a a a a ≤<≤-------∏

6. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为

ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)

按题设有

11223

30,0,0,

ax by c ax by c ax by c ++=??

++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

11223

31101

x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.

习题二

（A 类）

1. 1. 设A =121221211234??????????，B =432121210101??

??--????--??

，（1）计算3A -B ，2A +3B ；（2）若X 满足A +X =B ，求X ；

（3）若Y 满足（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，求Y .

解：（1）3A -B =3636636333912??????????-432121210101????--????--??=1315828237913-??????????。 2A +3B =242442422468??????????+1296363630303????--????--??=14138725252165????--??????

。（2）因A +X =B ，则X =B -A ，即

X =432121210101????--????--??-121221211234?????

???=311140401335-??

??--????----??。

（3）因为（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，所以3Y =2A +2B ，即

Y =23（A +B ）=23（432121210101????--????--??+121221211234??????????）=55332020231133???????????=10102233440033222

??????????????

????

。 2. 计算下列矩阵的乘积.

（1）[]11321023??

-??-??????=；（2）

500103120213????????-????????????

；（3） []32123410????

????????

；（4）

()11

121311

321

2223231

32333a a a x x x x a a a x a a a x ????

????????????????；（5） 11

121321222331

33100011001a a a a a a a a a ????????????????????

；（6） 1

2101

1010101210

0210

023********????

????-?

?????

-???

-????

. 【解】

(1) 32103210;6420963

0-??

??--?

???

?-??

(2)531??

??-????-??; (3) (10);

(4) 33

222

111

222

333

12211213311323322311

()()()ij i

i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x

==++++++++=

∑∑

(5)111212132122222331

3233a a a a a a a a a a a a +??

??+????+??

; (6) 1

2012400430009??

??-????

-??

. 3. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????

B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 2

()()-=-A+B A B A B 吗?

【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311????-=--????--??

AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A B )≠A 2B 2.

4. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若2

=A O ，则=A O ； (2) 若2=A A ，则=A O 或=A E ； (3) 若AX =AY ，≠A O ，则X =Y . 【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取2

001,000000??

??==??????0A A ,但A ≠0

(2) 令110000001-??

??=??????A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110????????????=≠=????????????-??????

A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y . 5. 计算：

（1）3

010001000??????

????

；（2）cos sin sin cos k

θθθθ????-??（k 为正整数）；（3）1

01k

λ??

???

（k 为正整数）. 解：（1）3

010001000??????????=010001000?????

?????010001000??????????0

100010

0??????????=0

0100000

0??

?????

???0100010

0??????????=330

000000

0???

??=??

????

O 。（2）令D k =cos sin sin cos k

θθ

θ??

?-??

（k 为正整数），则当k =2时， D 2=

cos sin sin cos θ

θθθ????-??cos sin sin cos θ

θθθ????-??

cos 22sin cos 2sin cos cos 2θ

θθθθθ????-??

cos 2sin 2sin 2cos 2θθθθ????-?

?；设D m =cos sin sin cos m m m m θ

θθ

θ??

?-??

成立，则 D m +1=cos sin sin cos m m m m θ

θθθ??

?-??

cos sin sin cos θ

θθθ??

??-?

=cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin m m m m m m m m θθθθ

θθθθθθθθθθθθ-+??

?---??

=cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)m m m m θθθ

θ++???

?-++??

.故有：D k =cos sin sin cos k

θθθ???

?-??=cos sin sin cos k k k k θ

θθ

θ??

??-??

(3) 令D k =1

01k

???

???（k 为正整数），则当k =2时，有：D 2=101λ??????101λ??????=1021λ??

????

；假设D m =101m

λ??????=101m λ??????成立，则D m +1=101m λ??????101λ??????=1

0(1)1m λ????+?

?；

故有1

01k λ

???

???=101k λ??????

。6. 设a

b c d b a d

c c

d a b d

b a ????--????--??--??

A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为

22222222()

()a b c d b a d

c a b c

d a b c d c d a b d

a *???

?--??-+++=-+++??--??--??

A =A 又因为*

A A =A E ，所以有

22222()a b c d -+++A =A E ，且0

即 4

()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E 于是有

()a b c d ==-+++A . 7. 已知线性变换

112112212321331233

232,3,232,2,45;3,

x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+????

=-++=+????=++=-+??

利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知

116x y x y x y y z y z y z ????

????????===-???????????

???????-????

????????===????????????-??????-??

??==-??

??--??

X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为

112321233

12342,

1249,1016.

x z z z x z z z x z z z =-++??

=-+??=--+? 8. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.

9. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB . 则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则

(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,

所以，AB 为对称阵.

10. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.

(2) AB BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵.

【证明】

因A ′=A ,B ′= B ,故

(B 2)′=B ′·B ′= B ·(B )=B 2;

(AB

BA )′=(AB )′(BA )′=B ′A ′

(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′

BA +A ·(B )= (AB +BA ).

所以B 2是对称矩阵，AB

BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.

11. 求与A =1101??

????

可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ??

,则由 1101??????a b c d ??????=a b c d ??????1101??????

???. 由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ??

A =E +000002013????????-??

而且由

111

112222223

3000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ????

????????????=????????????????--????????

b c a b c c b c a a b b c c -????

????-=???

?????----????

由此又可得

1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,

c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-

所以

2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-

其中123,,a b b 为任意数. 13. 求下列矩阵的逆矩阵.

????????； (3)121342541-????-????--??

； (4) 1000120021301

214????????

；【解】

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题（1）二阶行列式 2a ab b b =___________。（2）二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。（3）二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。（4）三阶行列式x y z z x y y z x =___________。（5）三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。【2】选择题（1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。（2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，

（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。（4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。（5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1）【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号）（2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

线性代数二次型习题及答案

第六章二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一将二次型f 写成如下形式：

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

2010-2011-2线性代数试卷及答案

线性代数(经济数学2)_习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12， A 13． 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 343276415 49 9 16 57341111 4--= D 3. 求解下列线性方程组： ?? ?????=++++=++++=++++---1 1 113221 1 2132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问取何值时齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解 5. 问取何值时齐次线性方程组12312312 3(1)240 2(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=?? +-+=??++-=?有非零解二、计算题2 6. 计算614 2302 1 51032121 ----= D 的值。 7. 计算行列式5 2 41 421318320521 ------= D 的值。 8. 计算0 111101111011 110= D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算 4 124120210520 117 的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---???? -= ? ?----????

线性代数习题及解答

线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

刘三阳线性代数第二版第一章标准答案

刘三阳线性代数第二版第一章答案

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第一章矩阵及其应用习题解答本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式

%由逆阵定义可知巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有当k=n时，也成立。所以巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。

大学线性代数练习试题及答案

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

线性代数复习题带参考答案(2)

线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )