广东省深圳市中考数学试题分类解析 专题9 三角形

广东省深圳市中考数学试题分类解析 专题9 三角形

专题9：三角形

一、选择题

1. （深圳2002年3分）下列两个三角形不一定相似的是【 】 A 、两个等边三角形 B 、两个全等三角形

C 、两个直角三角形

D 、两个顶角是120o的等腰三角形 【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定，等边三角形、直角三角形、等腰三角形和全等三角形的性质。

【分析】根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案：A 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定；B 相似，因为全等三角形是特殊的相似三角形；C 不相似，因为没有指明其另一锐角相等或其两直角边对应成比例；D 相似，因为其三个角均相等，符合相似三角形的的判定。故选C 。

2.（深圳2003年5分）计算：???

?

-?60tan 30

cos 60cos 45cot 的结果是【 】

A 、1

B 、3

1 C 、23-3 D 、1332-

【答案】A 。

【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。 【分析】根据特殊角的三角函数值计算：

∵cot45°=1，cos60°=

1

2

，cos30°=3，tan60°=3，

∴原式=1

12313-

?=。故选A 。 3.（深圳2003年5分）如图，直线l 1//l 2，AF ：FB=2：3，BC ：CD=2：1，则AE ：EC 是【 】

A 、5：2

B 、4：1

C 、2：1

D 、3：2

【答案】 C 。

【考点】相似三角形的判定和性质。

【分析】如图所示，∵AF：FB=2：3，BC ：CD=2：1，

∴设AF=2x ，BF=3x ，BC=2y ，CD=y 。 由l 1//l 2，得△AGF∽△BDF，

∴

AG AF

BD BF

=

，即AG 2x 3y 3x =。∴AG=2y。 由l 1//

l 2，得△AGE∽△CDE，∴

AE AG 2y

21EC CD y

===:。故选C 。 4.（深圳2006年3分）如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走2米到达Ｅ处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于【 】

Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 【答案】B 。

【考点】相似三角形的应用， 解二元一次方程组。

【分析】如图，设AB=x 米，BC= y 米，则BC=y ＋1米，BF= y ＋5米。 由△ABD∽△GCD 和△ABF∽△HEF 得

AB BD

GC CD AB BF HE EF

?=???

?=

??，即x y 11.51

x y 51.52?=????=??＋＋，解得x=6y=3???。 ∴路灯A 的高度AB 等于6米。故选B 。

5.（深圳2010年学业3分）如图，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DA C ＝80o，则∠B 的度数是【 】

A ．40o

B ．35o

C ．25o

D ．20o 【答案】C 。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理。

【分析】∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，

∴∠ADC= （180°－80°）÷2=50°。

∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，∴∠B=∠BAD=（50÷2）°=25°。故选C。

6.（深圳2011年3分）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是【

】

【答案】B。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】如B图△EFG和△ABC中，∠EFG=∠ABC=1350

，

AB2CB2

2 , 2

EF1GF2

====，AB CB

EF GF

∴=。

EFG ABC

∴??

∽。实际上， A，C，D三图中三角形最大角都小于∠ABC，即可排它，选B即可。

7.（深圳2011年3分）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【】

A. 3:1

B. 2:1

C.5:3

D.不确定

【答案】A。

【考点】等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】连接AO，DO。设等边△ABC的边长为a，等边△ABC的边长为b。

∵O为BC、EF的中点，∴AO、DO是BC、EF的中垂线。∴∠AOC=∠DOC=900，

∴∠AOD=1800—∠COE。又∵∠BOE=1800—∠COE，∴∠AOD=∠BOE。

又由AO、DO是BC、EF的中垂线，得OB=1

2

a，OE=

1

2

b，OA=

3

2

a，OD=

3

2

b。

从而

33

OA OD OA OD

22

3 , 3 , AOD BOE

11

OB OE OB OE

22

a b

a b

====∴=∴??

。∽。

∴AD：BE=3:1。故选A。

8.（2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300

，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】

A.(63)+米

B.12米

C.(423)+米 D ．10米 【答案】A 。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。

作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4， ∴CE=2，EF=4cos30°=23， 在Rt△CED 中，CE=2，

∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。 ∴BD=BF+EF+ED=12+23。

∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2， ∴在Rt△ABD 中，AB=

12BD=()

1

12+236+32

=。故选A 。 二、填空题

1.（2001广东深圳3分）已知：Rt△ABC 中，∠C=90o

，5

sin A=13

，则sinB = ▲ 。 【答案】

1213

。 【考点】锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵Rt△ABC 中，∠C=90o

，BC 5

sin A=

AB 13

=，∴设BC=5k ，AB=13k 。 ∴根据勾股定理，得AC=12k 。∴AC 12k 12

sin A=AB 13k 13

==。

2.（深圳2002年3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若S △A DE =1，则S △ABC = ▲ 。 【答案】4。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】根据三角形中位线定理和相似三角形的相似比求解：∵E分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴DE是中位线。

∴DE 1

2

BC。∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2。

∵S△ADE=1，∴S△ABC=4。

3.（深圳2004年3分）计算：3tan30o＋cot45o－2tan45o＋2cos60o=▲ . 【答案】3。

【考点】特殊角的三角函数值。

【分析】运用特殊角的三角函数值求解：

3tan30°＋cot45°－2tan45°＋2cos60°=

31 312123 32

?+-?+?=。

4.（深圳2005年3分）如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是▲ 。

【答案】AB=DC或∠ACB=∠DBC。

【考点】全等三角形的判定。

【分析】要使△ABC≌△DCB，已知有两对边对应相等，AC=BD，BC=BC，则可根据全等三角形的判定方法添加合适的条件即可：

可添加AB=DC利用SSS判定△ABC≌△DCB；可添加∠ACB=∠DBC利用SAS判定

△ABC≌△DCB。

5.（深圳2006年3分）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为▲ ．【答案】7。

【考点】三角形的中线定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理。【分析】根据条件先确定△ABC为直角三角形，再求得△ABC的面积：

如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，

∵CD=3，AB=6，∴AD=DB=3，∴CD=AD=DB。∴∠1=∠2，∠3=∠4。

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°。∴△ABC是直角三角形。

∴AC2＋BC2=AB2=36。

又∵AC＋BC=8，∴AC2＋2AC?BC＋BC2=64。∴2AC?BC=64－（AC2＋B C2）=64－36=28。

∴AC?BC=14。S△ABC=1 2

AC?BC=

1

2

×14=7。

6.（深圳2007年3分）直角三角形斜边长是6，以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积

是

▲ ．

【答案】9π。

【考点】直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得此圆的半径，从而求出圆的面积：圆的半径=6÷2=3，

则面积=πr2=9π。

7.（深圳2010年学业3分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东

60o方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30o方向上，那么该船继续航行▲ 分

钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置

【答案】15。

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），垂直线段的性质，平行的性质，三角形

外角定理，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。

【分析】过点M作MC⊥AB于点C，由垂直线段的性质，知渔船到达离灯塔距离最近的

位置即为点C。由两直线平行，内错角相等的性质，得∠ADB=60o，从而由∠DBM=30o和

三角形外角定理，得∠DMB=∠DBM=30o。因此根据等腰三角形等角对等边的判定，得AB=MB。

设渔船航行的速度为v单位/分钟，则由已知MB= AB=30v单位。

在Rt△BCM中，∠MCB=90o，∠MBC=30o，则BC=

1

2

MB=15v单位。则渔船从B处航行到C处所用时

间为

15v

v

=15分钟。即该船继续航行15分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。

A B

M

北

北

30o

60o

东

C

D

8.（深圳2010年招生3分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿

正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东300 方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB为▲ 海里（结果保留根号）．

三、解答题

1. （2001广东深圳10分）已知：如图，等腰△ABC，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，CE⊥BF于

点O。

求证：（1）四边形EFCB是等腰梯形；

（2）EF2+BC2=2BE2

【答案】证明：（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，即BE=1

2

AB，CF=

1

2

AC。

∴EF是△ABC的中位线。∴EF∥BC。

∵AB=AC，∴BE=CF。∴四边形EFCB 是等腰梯形。

（2）根据等腰梯形的轴对称性，得OE=OF ，OB=OC 。

∵CE⊥BF，∴△OEF 和△OBC 是等腰直角三角形，△BOE 是直角三角形。 ∴根据勾股定理，得2222222EF 2OE BC 2OB BE OE OB ===+，，。 ∴EF 2

+BC 2

=2BE 2

。

【考点】三角形中位线的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，可得EF 是△ABC 的中位线，从而EF∥BC。由AB=AC 可得BE=CF 。所以四边形EFCB 是等腰梯形。

（2）在直角△OEF、△OBC 和△BOE 中应用勾股定理即可得证。

2.（深圳2003年12分）如图，已知△ABC，∠ACB=90o，AC=BC ，点E 、F 在AB 上，∠ECF=45o， （1）求证：△ACF∽△BEC （8分）

（2）设△ABC 的面积为S ，求证：AF·BE=2S （4分）

（3）试判断以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形的形状并给出证明．

【答案】解：（1）证明：∵AC=BC，∠ECF=45°∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，∠AFC=45°+∠BCF，∠ECB =45°+∠BCF。 ∴∠AFC=∠ECB。∴△ACF∽△BEC。 （2）∵△ACF∽△BEC，∴ AC AF

BE BC

=

，即AF?BE=AC?BC 。 又∵ S △ABC =

1

2

AC?BC，∴AF?BE=2S。 （3）直角三角形。证明如下： 由（2）可知AF?BE=AC?BC= AC 2

=12

AB 2

。 设AE=a ，BF=b ，EF=c ． 则 (a+c)(b+c)=

12

(a+b+c)2，化简即得a 2+b 2=c 2

。

所以以线段AE 、EF 、FB 为边的三角形是以线段EF 为斜边的直角三角形。

【考点】相似三角形的判定和性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理。 【分析】（1）对应角相等，两三角形相似。

（2）根据相似三角形的性质证明AF?BE=AC?BC=2S；

（3）由（2）的结论，求出AE 、EF 、FB 的数量关系，应用勾股定理的逆定理即可证明。本题还有以下证明方法：

方法1：将△ACE 绕O 顺时针旋转90°到△CBG，边角边证明三角形全等，得出FG=EF ，再证明△FBG 为直角三角形，得出三边构成三角形的形状。

方法2：将△ACE 和△BCF 分别以CE 、CF 所在直线为轴折叠，则AC 、BC 的对应边正好重合与一条线段CG ，连接GE 、GF ，则△FEG 是直角三角形。

3.（深圳2005年8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为 60o，爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30o，求塔BC 的高度。

【答案】解：作BE⊥AD 的延长线于点E ， 设ED= x ，

在Rt△BDE 中，33x ，

在Rt△ABE 中，3BE=3x ，

由AE －ED=AD 得：3x －x=10 ， 解之得：x=5。 所以BC=5+10=15。

答：塔BC 的高度为15米。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】过点B 作BE⊥AD 交AD 延长线于点E ，构造两个直角三角形。设DE=x ，分别求解可得AD 与DE 的值，再利用BC=AD+DE ，即可求出答案。

4.（深圳2007年7分）如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，

D

A C

B

E

在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．

5.（深圳2009年6分）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，

旗杆顶

端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

【答案】解：延长BC交AD于E点，则CE⊥AD．

在Rt△AEC 中，AC ＝10， 由坡比为1︰3可知：∠CAE＝30°， ∴ CE＝AC·sin30°＝10×

1

2

＝5， AE ＝AC·cos30°＝10×3

＝53 。

在Rt△ABE 中，BE ＝22AB AE -＝2214(53)-＝11。 ∵ BE＝BC ＋CE ，∴ BC＝BE

－CE ＝11-5＝6（米）。 答：旗杆的高度为6米。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。 【分析】延长BC 交AD 于E 点，则CE⊥AD，要求旗杆BC 的高度，只要求出BE 和CE 的高度即可。解Rt△AEC 和Rt△AB 即可得出结果。

6.（深圳2010年学业7分）如图，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠CO D ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOB≌△COD；（4分） （2）若AD ＝1，B D ＝2，求CD 的长．（3分）

【答案】解：（1）证明：∵∠DOB=90°－∠AOD，∠AOC=90°－∠AOD，

∴∠DOB=∠AOC。

∵OC=OD，OA=OB ，∴△AOC≌△BOD（SAS ）。 （2）∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°。

∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，

2222AC AD 21 5+=+=。

【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC≌△BOD。

（2）由（1）△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则

根据勾股定理22AC AD + 7.（深圳2010年招生8分）阅读下列材料：

A

B

C

D E

正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．数学老师给小明出了一道题目：在图一1 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△ABC ，使AB ＝AC ＝5，BC ＝2；

小明同学的做法是：由勾股定理，得AB ＝AC ＝22215+=，BC 22112=+=，于是画出线段AB 、AC 、BC ，从而画出格点△ABC．

（1）请你参考小明同学的做法，在图一2 正方形网格（每个小正方形边长为1 ）中画出格点△A'B'C'（A'点位置如图所示）， 使A'B'＝A'C'＝5，B'C'＝10（直接画出图形，不写过程）；

（2）观察△ABC 与△A'B'C' 的形状，猜想∠BAC 与∠B' A' C'有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】解：（1）格点△A'B'C'如图（一个即可）：

（2）猜想：∠BAC=∠B' A' C'。证明如下： ∵

AB AC 5A B A C ''''==，BC 25B C 510

''==。∴AB AC BC

A B A C B C ''''''==。 ∴△ABC∽△A'B'C'。∴∠BAC=∠B' A' C'。 【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由勾股定理可作图形。

（2）由三边对应成比例的判定可得△ABC∽△A'B'C'，从而根据相似三角形对应角相等的性质即可得到∠BAC=∠B' A' C'。