高考数学100个热点问题(二)：第36炼 向量的数量积——寻找合适的基底
第36炼 向量的数量积——寻找合适的基底
在高考中经常会遇到几何图形中计算某两个向量,a b
数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,a b 模长，夹角）那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,a b 两个
向量表示出来，进而进行运算。这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法 一、基础知识：
（一）所涉及的平面向量定理及数量积运算法则：
1、平面向量基本定理：若向量12e e
，为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量a ，均存在唯一一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+ 。其中12e e ，成为平面向量的一组基底。
（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）
2、向量数量积运算cos a b a b θ?=?
，其中θ为向量,a b 的夹角
3、向量夹角的确定：向量,a b 的夹角θ指的是将,a b
的起点重合所成的角，[]0,θπ∈
其中0θ=：同向 θπ=：反向 2
π
θ=：a b ⊥
4、数量积运算法则：
（1）交换律：a b b a ?=?
（2）系数结合律：()()()
()a b a b a b R λλλλ?=?=?∈
（3）分配律：()
a b c a c b c +?=?+?
因为向量数量积存在交换律与分配律，才使得有些向量数量积运算的展开式与实数因式相乘的展开式规律相同：
例如：()
2
22
2a b
a a
b b ±=±?+ ()()
0a b a b +?-=
5、若11221122+,+a e e b e e λλμμ==
，则
()()
()2211221122111222122112++=a b e e e e e e e e λλμμλμλμλμλμ?=?+++?
由此可见，只要知道基底的模与数量积，以及将,a b
用基底表示出来，则可计算a b ?
（二）选择合适基底解题的步骤与技巧：
1、如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了。所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。常见的可
以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。
2、向量的表示：尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示，常用的方法有：
（1）向量的加减运算
（2）“爪”字型图：在ABC 中，D 是BC 上的点，如果
::BD CD m n =，则m n AD AC AB m n m n
=
+++ ，其中,,AD AB AC
知二可求一。特别的，如果AD 是BC 边上
的中线，则1122
AD AC AB =+
3、计算数量积：将所求向量用基地表示后，代入到所求表达式计算即可，但在计算过程中要注意基底的夹角 二、例题精炼
例1:如图，在ABC 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠===
是边BC 上一点，2DC BD =，
则AD BC ?=
_______________
思路：,AD BC 模长未知（BC
尚可求出），夹角未知，
所以很难直接求出数量积。考虑是否有合适基底，120,2,1BAC AB AC ∠===
，可计算
出cos1201AB AC AB AC ?=?=-
,进而对于,AB AC ,模长均已知，数量积已求，条件
齐备，适合作为基底。用,AB AC
表示AD BC ? ：BC AC AB =- ,1233
AD AC AB =+ ,
()
22121128
333
333AD BC AC AB AC AB AC AB AC AB ??∴?=-?+=+?-=- ???
答案：8
3
AD BC ?=-
例2：如图，已知在ABC
中，,,1AD AB BC AD ⊥==
，则AC AD ?= ______
思路：观察条件，,AC AD
很难直接利用公式求解.考虑选择两个向量表示,AC AD
,条件中
0AD AB AD AB ⊥??= (数量积有了），1AD =
（模长有了），所以考虑用,AB AD 作
B
为基底。下一步只需将AC
表示出来，)
:1:
1BC BD CD =?=
（底边比值
——联想到“爪”字型图
）AD AB AC =+
,
解得：)
1AC AB =-
所以)
)
2
1AC AD AB AD ?=-?==
答案：AC AD ?=
例3:在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE == ，则A
D B
E ?=
__________ 量积均可计算，所以考虑,AD BE
多，例如观察“爪”字形图可得
()
12AD AB AC =+ ,2133
BE BC BA =+
()
12112
3
34AD BE AB AC
BC BA ??∴?=+?+=- ???
(注意向量夹角）
答案：1
4
AD BE ?=-
小炼有话说：这道题由于是等边三角形，故可以建系去做，以D 为坐标原点，BC 所在直
线为x 轴，AD 所在直线为y 轴。,D E 坐标完成之时，就是AD BE ?
计算的完成之日，且
此法在计算上更为简便。
例4：如图，在ABC 中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=
，点,D E 分别在边,AB AC
上，且2,3AB AD AC AE ==
，点F 为DE 中点，则
BF DE ?
的值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
思路：在本题中已知,AB AC
及两个向量的夹角，所
以考虑将,AB AC 作为一组基底。则考虑将,BF DE 用,AB AC
进行表示，再做数量积即可
解：
(
)
1111111122222232BF BD DF BA DE BA AE AD AB AC AB ??=+=+=+-=-+- ???
专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题
培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，
设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20 平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^, uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x) 平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1 2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3 平面向量数量积最值问题的求解策略 近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径. 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(2B -，(cos ,sin )C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(,22 x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+==+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 πθ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1 2 2 (12)(52)(7)(1)520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解： ,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 22 ()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b =。 设a b c -=，则a =b c +， c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121 i PP PP 等于1 2PP 的长度与 图 2 图3 平面向量中的最值问题 1．求向量的模的最值或取值范围． 2．求平面向量的夹角的最值或取值范围． 3．求平面向量数量积的最值或取值范围． 【复习指导】 本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围． 基础梳理 求最值的方法小结 ㈠．几何方法 ⑴．平面几何方法： 两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值 ⑵．解析几何方法 利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值 ㈡．代数方法 ⑴．函数方法： 首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解； ⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解． 双基自测 ㈠．求模的最值或范围 1．平几法求最值 【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3 π ，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM - 的最小值为________．练习1．⑴．(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602 a b a b a c b c ==?=-<-->=，则||c 的 最大值等于________． 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=， 60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为 直径时，||c 最大，最大值为2． ⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________． ①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥- 解法一：由||||a te a e -≥-知，2 2 ||||a te a e -≥-，即222||2||21a ta e t a a e -?+≥-?+，化简得， 22(1)1t a e t -?≤-，当1t ≤时，即212a e t ?≥+≤恒成立，故1a e ?≥；当1t >时，即212a e t ?≤+>，故1a e ?≤．故1a e ?=，故③成立． 解法二：22(1)1t a e t -?≤-，即2 2210t a et a e -?+?-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ?=?- 840a e ?+≤，即1a e ?=，故③成立． 解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-． 【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是___________． 解法一：由()()0a c b c -?-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+?=+(其中θ为a b +与c 的夹 角)，即||()||cos c a b c a b θθ=+?=+≤,故||c 的最大值是2． 解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=， 2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》向量 中数量积的最值 题目 (2020·调研)如图1，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 同 侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C )，且BM ⊥BN ，则AM →·CN →的最 大值为________． 答案 14 解析 方法一 由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1. 因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，若设∠MAB ＝θ，则∠NBC ＝θ. 如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，则点A (－1,0)，M (－sin 2θ，sin θcos θ)，C (1,0)，N (cos θ，sin θ)，所以AM →＝(－sin 2 θ＋1，sin θcos θ)＝(cos 2θ，sin θcos θ)，CN →＝(cos θ－1，sin θ)． 于是，AM →·CN →＝cos 2θ·(cos θ－1)＋sin 2θcos θ ＝cos 3θ－cos 2θ＋(1－cos 2θ)cos θ ＝－cos 2θ＋cos θ＝14－? ???cos θ－122. 又易知0<θ<π2，所以，当θ＝π3时，可得AM →·CN →的最大值为14 . 评注 上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M ，N 的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解． 方法二 如题图2，建立平面直角坐标系xBy ，设直线BN 的方程为y ＝kx (k >0)，则因为 BM ⊥BN ，所以直线BM 的方程为y ＝－1k x . 注意到点N 是直线BN 与以AC 为直径的半圆的交点，所以将y ＝kx 与x 2＋y 2＝1联立，可 求得点N 的坐标为? ????11＋k 2 ，k 1＋k 2. 注意到点M 是直线BM 与以AB 为直径的半圆的交点，所以将y ＝－1k x 与????x ＋122＋y 2＝14 联 培优点9 平面向量数量积的最值问题 【方法总结】 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 【典例】 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC →|AC →| ，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】 A 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ? ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝? ?? ??1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4A C →|AC →| ＝t ? ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝? ?? ??1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－? ????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·PA →的最小值为________． 【答案】 5－213 【解析】 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)? ?? ??π3≤θ≤2π3， 则PC →·PA →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a ＋b ) ２ ＝a ２＋２a 2b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a 2b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２ －b ２ 这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a 2b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a 2b ＋b ２＝２２＋２3（－３）＋５２ ＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２ ＝（a －b ）２ ＝a ２ －2a 2b ＋b ２ ＝2２ －23（－3） 3５２ ＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a 2b ＋b ２＝｜a ｜２ ＋2｜a ｜2｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０２ ， ∴ｃｏｓθ＝ 40 23 ，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )2a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２ ＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２ ＝１ ② 由①②有24xy +25y ２ ＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =± 7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==7535 24753524y x y x 和 平面向量与数量积有关的最值和范围问题 1. 已知i 与j 为互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 2. 在△ABC 中，若A ＝120°，AB → ·AC → ＝－1，则|BC → |的最小值是________． 3. (2019·南方凤凰台密题)在等腰直角三角形ABC 中，若AB ＝AC ＝2，P 为BC 的中点， 点M ，N 分别为AB ，AC 上的两个不同点，且|MN → |＝1，则PM → ·PN → 的最小值为________． 4. 在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB → ·AD → ＝－1，点M 在边CD 上，则 MA → ·MB → 的最大值为________． 5. 已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________． 6. (2019·南京考前综合题)如图，在△ABC 中，若AE → ＝2EB → ，AD → ＝12 DC → ，且BD ⊥CE ，则cos A 的最小值为________． (第6题) 7. (2019·长郡中学)已知AD 是△ABC 的中线，若AD → ＝λAB → ＋μAC → (λ，μ∈R )，A ＝120°， AB → ·AC → ＝－2，则|AD → |的最小值是________． 8. (2019·苏州最后一卷)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB → ＝2BC → ，则PC → ·P A → 的最小值为________． (第8题) 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别 为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上运动．若AP → ＝λED → ＋μAF → ， 其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________． (第9题) 10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( ) A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________. 平面向量中的最值、范围问题 一、考情分析 平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享 1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．-≤?≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析 (一) 平面向量数量积的范围问题 已知两个非零向量a r 和b r ,它们的夹角为θ,cos b θ??s 叫做a r 和b r 的数量积(或内积),记作a b ?r r .即a b ?r r =cos a b θ??r s ,规定00a ?=r r ,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用 定义法求解,即a b ?r r =cos a b θ??r s ；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝ (x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ?的取值范 “三法”解决平面向量数量积问题 L ——> > ［典例］ 已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC 偲路点拨］ 本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长?我们可以从以下三 种思路着手： (1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题； (2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 ?——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决. ⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利 用坐标运算解答问题. ［方法演示］ 法一：投影法 如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E. 则——0在——6 的方向上的投影为 -- 6 --------- 6 ---- 6 |AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |, 所以——0 -B 0 =|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB 2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =- 8.7. 所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13. 2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7 207 2 因为 |1B C |= 7, -- 6 -- 6 ---------------- 6 所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10. 由余弦定理，得 cos/ ABC = 平面向量数量积最值问题 近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度；二、建立直角坐标系降低问题门槛 例1:在ABC ?中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ?+ 的最小值是__________. 分析:(如图)本题的突破口关键在于AM 为ABC ?的中线,故易知 2OB OC OM += ,所以:()(2)2()OA OB OC OA OM OA OM ?+=?=? 从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题. 练习:1、如图,已知等边ABC ?的边长为2,又以A 为圆心,半径为1作圆,PQ 是直径,试求 BP CQ ? 的最大值,并指明此时四边形BCQP 的形状. 答案:BP CQ ? 的最大值为3,此时四边形BCQP 为矩形. 例2:在Rt ABC ?中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与 BC 的夹角θ取何值时BP CQ ? 的值最大?并求出这个最大值. 巩固练习： 练习：在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD = ，则AM AN ? 的取值范围是 2、已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠= ,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB + 的最小值为 . 三角形背景下的向量问题 在三角形的背景下，考查平面向量知识成为近几年高考的一个热点． 判断三角形的形状 一般要从角或边两个角度来分析： 第4讲 平面向量中的最值问题 【复习指导】 本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围． 基础梳理 求最值的方法小结 ㈠．几何方法 ⑴．平面几何方法： 两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值； ⑵．解析几何方法 利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值 ㈡．代数方法 ⑴．函数方法： 首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解； ⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解． 双基自测 ㈠．求模的最值或范围 1．平几法求最值 【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为 3 π ，||4OA =，||1OB =，若点M 在直线OB 上，则 ||OA OM -的最小值为________．【练习1】[11大纲]设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1 2 a b ?=-，,60a c b c <-->=，则||c 的最大值等于________． 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 【解】如图，构造AB a =，AD b =，AC c =，120BAD ∠=， 60BCD ∠=，故A ，B ，C ，D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2． 【例2】[08浙江]已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足 ()0b a b ?-=，则||b 的取值范围是 ________ ． 【解一】由()0b a b ?-=得，2||0b a b ?-=，即2||||cos ||0b a b θ-=，故||cos b θ=，即||b 的取值范围是[0,1]． 【解二】也可以借助于几何意义求解，当0b =时，||0b =；当a b =时，||1b =．当0b ≠且a b ≠时，b 与a b -互相垂直，0||1b <<，即||b 的取值范围是[0,1]． 【练习2】[08浙江]已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足： ()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是___________． 【解一】由()()0a c b c -?-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+?=+(其中θ为a b +与c 的夹 角)，即||()||cos c a b c a b θθ=+?=+≤，故||c 的最大值是2． 【解二】作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得， 90AOB ∠=，90ACB ∠=，故O ，A ，B ，C 四点共圆，故||c 最大为圆的直径为2． 【练习2】已知a ，b 是平面内两个单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是 ． 本资料分享自千人QQ 群323031380 期待你的加入与分享 第3讲 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝A B →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝??? ?1t ，0，AC →＝(0，t )， A P →＝A B →|AB →|＋4AC → |AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)， 设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A → ＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 平面向量的数量积知识点及归纳总结 知识点精讲 一、平面向量的数量积 (1) 已知两个非零向量a r 和b r ，作OA →＝a r ，OB →＝b r ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a r 与b r 的夹角．记作,a b r r ， 并规定,a b r r []0,π∈.如果a r 与b r 的夹角是2 π ，就称a r 与b r 垂直，记为a b ⊥r r . (2) |a r || b r |cos ,a b r r 叫作a r 与b r 的数量积(或内积)，记作a b ?r r ,即a b ?r r ＝| a r || b r |cos ,a b r r . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a r 与b r 垂直的充要条件是a b ?r r =0. 两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是a b ?r r ＝±| a r || b r |. 二、平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?r r 等于a r 的长度| a r |与b r 在a r 方向上的射影| b r |cos θ的乘积．即a b ?r r ＝| a r || b r |cos θ.( b r 在a r 方 向上的射影| b r |cos θa b a ?=r r r ;a r 在b r 方向上的射影| a r |cos θa b b ?=r r r ). 三．平面向量数量积的重要性质 性质1 ||cos e a a e a θ?=?=. 性质2 .a b a b 0⊥??= 性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ?=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ?=. 22||a a a a ?==或||a 性质4 cos ().|||| a b a 0b 0a b 且θ?= ≠≠ 性质5 ||||||.a b a b ?≤ 注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b=b a ??（交换律）； （2）()=()(a b a b a b λλλλ??=?为实数）； （3）(+)=a b c a c b c ??+?（分配律）。 数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ??≠?，不可约分 =a b a c b c ???=. 五、平面向量数量积有关性质的坐标表示(完整版)平面向量的数量积练习题.doc
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