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高考数学应用题十年回顾

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值（注：该题可用基本不等式求最小值。）

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2

函数应用题-(2009-2018)高考数学分类汇编含解析

【命题规律】 1. 根据待定系数法、几何公式、解三角形确定函数解析式 2. 利用导数、基本不等式或解三角形求最值或范围. 【真题展示】 1【2009江苏，19】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为 m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为 n n a +.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 1h 和2h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为 A m 元和 B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为 h 乙(1)求h 甲和h 乙关于 A m 、 B m 的表达式；当 35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设35 A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取 A m 、 B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.【答案】(1)详见解析； (2) 20,12B A m m == 时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为5 (3) 不能

故当1120 B m =即20,12B A m m ==时，（3）由（2）知：0h 由05 h h ≥=甲得： 12552A B A B m m m m ++?≤，

所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立. 2【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12l l ，，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米，以12l l ，所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数2a y x b =+（其中a ，b 为常数）模型. （1）求a ，b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

高考数学复习点拨巧解函数模型应用题

去伪存真巧解函数模型应用题新课标加大了对应用问题的考查，而函数的应用问题也是训练同学们建立模型的好素材，因此也成为了高考命题的热点，本文通过比较建立不同的数学模型，来探讨如何建立效果最好的函数模型。例：某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双， 1.3万双，1.37万双。由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好。为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程。厂里也暂时不准备增加设备和工人。假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量。分析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型。解：由题意知：可以得到四个点()()()()1,1,2,1.2,3,1.3,4,1.37A B C D 。解法一：用一次函数模拟设模拟函数为y ax b =+，以,B C 两点的坐标代入函数式，有2 1.23 1.3 a b a b +=??+=? 解得 0.11a b =??=? ，所以得0.11y x =+。评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不可能的。解法二：用二次函数模拟设2 y ax bx c =++，将,,A B C 三点的坐标代入，有 1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=??++=??++=? 解得0.05,0.35,0.7,a b c =-??=??=? 所以2 0.050.350.7y x x =-++。评价：有此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双。而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴方程是 3.5x =），这显然不符合实际情况。解法三：用幂函数模拟设y b =，将,A B 两点的坐标代入，有1 1.2 a b b +=??+=解得0.48,0.52.a b =??=? 所以0.52y =。评价：以3,4x x ==代入，分别得到 1.35, 1.48y y ==，与实际产量差距较大。这是因为

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题解析版 (可下载)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题（附详细答案解析）一、选择题。 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足 a =2 b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B ．【解析】因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-??-=?<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以2 2 cos ,2<>===?b b a b a b b 又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>= a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= A B ．2 C ． D ．50 【答案】A ．【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A. 3.（2018全国卷Ⅰ）在?ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】A. 【解析】法一、通解如图所示， CB AD DB ED EB 2121+= += ()()AC AB AC AB -++?=212121 3144 =-AB AC ．故选A ． C B

法二、优解 111()222=-=- =-?+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144 =-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】B. 【解析】2 (2)22(1)3?-=-?=--=a a b a a b ，故选B ． 5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =， 120MON ∠=，2BM MA =， 2C N N A =，则· BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 【答案】C. 【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3|| BA MA =．由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3|| CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-， ∴2 3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ?=-?=?- 23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2 430-?+= b e b ，则||-a b 的最小值是 A 1 B 1 C ．2 D ．2 【答案】A. 【解析】解法一设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-?+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆． N M O C B A

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

指数函数对数函数应用题

与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.）例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.

三、环保问题例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？四、物理问题例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）．现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.

近五年高考数学全国1卷

一．选填题（每题5分） 1. （2017年，第6题）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 2. （2017年，第16题）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 3. （2016年，第7题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是（）（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 4.（2016年，第11题）平面过正文体ABCD —A1B1C1D1的顶点A,，，则m ，n 所成角的正弦值为（）（A ）（B ）（C ）（D ） 5.（2015年，第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有斛斛斛斛 6.（2015年，第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r = （A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 7.（2014年，第8题）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

十年高考真题分类汇编数学专题函数

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题03函数 1.(2019?天津?理T8)已知a ∈R,设函数f(x)={x 2-2ax +2a ,x ≤1, x -alnx ,x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立, 则a 的取值范围为( ) A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C 【解析】(1)当a ≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a 2 -2a 2 +2a ≥0.a 2 -2a ≤0.∴0≤a ≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-a x = x -a x >0 此时要使f(x)=x-aln x 在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a ≤1. (2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a ≥0,显然成立. 此时f'(x)= x -a x ,当x ∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x ∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增. 需f(a)=a-aln a ≥0,ln a ≤1,a ≤e,可知11. 若关于x 的方程f(x)=-1 4x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( ) A.54,9 4 B. 54,94 C. 54,9 4 ∪{1} D.54, 94 ∪{1} 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-14+a,得a=5 4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-14+a,a=9 4. 故当54≤a≤9 4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x 0)=-1x 0 2=-1 4,x 0=2. 此时切点为2,1 2,此时a=1.故选D.