(2)2011年浙江省温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题2011.2
一、选择题：
1．已知i 为虚数单位，则2(1)i +的模为 ( )
A ．1 B
C ．2
D ．4
2．要得到函数cos2y x =的图像，只需把函数sin 2y x =的图像 ( ) A ．向左平移4
π
个长度单位 B ．向右平移4
π
个长度单位 C ．向左平移
2
π
个长度单位 D ．向右平移
2
π
个长度单位
3．若5
??? ?
?+x a x 的展开式中3
x 的系数为10，则实数a 的值为 ( )
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．12
4．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A ．//,,//m n m n αβαβ???
B ．l l ?⊥⊥βαβ,∥α
C ．,//m m n n αα⊥⊥?
D ．α∥,l l βαβ⊥?⊥
5．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++ 的值，则在判断框中应填写 ( )
A ．19i ≤
B ．19i ≥
C ．20i ≤
D ．21i ≤
6．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤??
-+≥??≥?
，则2z x y =-
的最大值为 ( ) A ．1- B ．0 C ．3 D ．4 7．如果对于任意实数x ，＜x ＞表示x 的最小整数，
例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞1=-，那么“||1x y -<”是“＜x ＞=＜y ＞”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8．已知双曲线(>0)mx y m -=221的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ?为
等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )
A
． B ．(1,2) C
． D ．(1,3)
9．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()()2
11f x x =--+，满足()1
2f f a ??=??的实数a 的个数为 ( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 10．y k x a b =--+的图象与y k x c d =-+的图象（0k >且1
3
k ≠
）交于两点（2,5），（8,3），则c a +的值是 ( ) A ．7 B ．8 C ．10 D ．13
二、填空题：
11．若集合{}
2|20A x x x =-<，(){}|lg 1B x y x ==-，则A B ?为 ▲ ．
12．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体 的体积为 3cm ．
13．直线y kx =是曲线sin y x =的一条切线，则符合条件的一个k 的值为 ．
14．在平行四边形ABCD 中，已知2AB =，1AD =，60BAD ∠= ，
E
为CD 的中点，则AE BD ?=
． 15．盒子中装有大小相同的6只小球，其中2只红球，4只黑球． 规定：一次摸出2只球，如果这2只球是同色的，就奖励．若有
3人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获 奖励的人数，则E ξ= ．
16．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2， 则AB 的最大值为 ．
17．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，集合1210{,,,}A a a a = ，从A 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有 个．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c
，且满足sin cos b A B =．
（I ）求角B 的值； （II
）若cos
A 2，求sin C 的值．
C
A
19．已知数列{}n a 满足：13a =，132
n n n
a a a +-=，*.n N ∈ （Ⅰ）证明：数列1
{}2
n n a a --为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
2
n n b n a =
--，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 20．如图，已知三角形ABC ?与BCD ?所在平面互相垂直，且090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，CB CD =，点P ,Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将?PQD 向上翻折，使D 与A 重合． （Ⅰ）求证：AB CQ ⊥； （Ⅱ）求直线AP 与平面ACQ
21．已知,A B 是椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线
交于其于点M , N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若记,AMB ANB ??的面积分别为12,S S 求12
S S 的取值范围．
22．已知函数()ln f x x =，若存在()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下
界函数” ． （I ）如果函数()ln t
g x x x
=
-（t 为实数）为()f x 的一个“下界函数”
，求t 的取值范围； （II ）设函数()()12
x F x f x e ex
=-+，试问函数()x F 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．
x
2011年温州市高三第一次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2011.2
11．{}21|< 38 13．1 14．2 3- 15．75 16．6 17．24 三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本小题满分１4分） 解：（I ）由正弦定理得：sin sin cos B A A B = ……………3分 0sin A ≠ ，sin B B ∴ ，tan B =， 0B <<π ，3 B π ∴=． ……………6分 （II ）cos A 2 ，2212cos cos A A ∴=-=35 ……………8分 0sin A > ，sin A ∴4 5， ……………10分 14()=()=32210 sin sin sin sin cos C A B A A A π+∴=+++= ……………14分 19．（本小题满分１4分） 解（Ⅰ） 11321 122222 23221121 2n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++-------?=?=?=-------， 又111 22a a -=- ∴数列1{}2 n n a a --是以2为首项2为公比的等比数列 122 n n n a a -∴=-12121n n n a +-∴=- （Ⅱ）1 2(1)2n n n b n n a = -=-+- 21 32 22 n n n n S ++=--（*.n N ∈） 20．（本小题满分１4分） （I ）证明 面ABC ⊥面BCQ 又CQ BC ⊥ CQ ∴⊥面ABC CQ ∴⊥AB ……………5分 （Ⅱ）解1：作AO BC ⊥，垂足为O ，则AO ⊥面BCQ ， 连接OP 设1AB =，则2BD =，设BP x = 由题意AP DP = 则22222cos 45(2)x x x ?+-+=- 解得1x = ……………9分 由（Ⅰ）知AB ⊥面ACQ ∴直线AP 与平面ACQ 所成的角的正弦值sin α就是直线AP 与直线AB 所成角的余弦值cos BAP ∠， ……………12分 即sin α=cos BAP ∠=12，6 π α∴=， 即直线AP 与平面ACQ 所成的角为 6 π ……………14分 解2：取BC 的中点O ，BD 的中点E ，如图以OB 所在直线为x 轴，以OE 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. ……………6分 不妨设2=BC ，则()()()0,1,,0,2,1,1,0,0x x P D A --，……………8分 由DP AP =即()()()2 2 2 21111+++=+-+x x x x ， 解得0=x ，所以()0,1,0P ， ……………10分 故()1,1,0-= 设()z y x ,,=为平面ACQ 的一个法向量， 因为()()0,1,0,1,0,1λλ==--=OE CQ AC 由?????==00n n 即? ??==--020y z x 所以()1,0,1-= ……………12分 设直线AP 与平面ACQ 所成的角为,α 则2 1 221sin ===α 所以6 π α= 即直线AP 与平面ACQ 所成的角为 6 π ……………14分 21．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）令),0,(),,4(0c F y P 由题意可得).0,2(),0,2(,2B A a -= ……………2分 ,2 42442, 2000-++=-∴ +=y y c y k k k PB PA PF ……………4分 y .3. 1222=-=∴=∴c a b c ∴椭圆方程为.13 42 2=+y x ……………6分 （Ⅱ）),,(),,(2211y x N y x M 令 由方程组???+==+, 1, 124322my x y x 消x , 得 ,096)4322=-++my y m （ ,4362 21+-=+∴m m y y ① ,439 221+-= m y y ② ……………9分 ①2 /②得,,4 3422 1 2 2 1221y y t m m y y y y = +-=++令 …………11分 ,4 3316 31043810112 2 2 +-=++=+=+m m m t t t t 则 .331 ,31012<<<+ ≤∴t t t 即 …………… 13分 ,2 121 21 t y AB y AB S S ANB AMB ==?? )3,3 1 (∈∴??ANB AMB S S ……………15分 22．（本小题满分１5分） 解：（Ⅰ） ln ln t x x x -≤恒成立，0x > ，2ln t x x ≤， ……………2分 令()2ln h x x x =，则' ()2(1ln )h x x =+， ……………4分 当1(0,)x e ∈时，'()0h x <，()h x ∴在1(0,)e 上是减函数，当1(,)x e ∈+∞时，' ()0h x >， ()h x ∴在1 (,)e +∞上是增函数， ……………6分 min 12()()h x h e e ∴==- 2 t e ∴≤- ……………7分 （Ⅱ）由（I ）知，22ln x x e ≥-1ln x ex ∴≥- ()()ex e x f x F x 2 1+-=①， ()121111ln ()x x x x F x x ex ex x e e e e ∴=- +≥-=-， ……………10分 令()1x x G x e e = -，则()()1-='-x e x G x ， ……………12分 则(0,1)x ∈时，()'0G x <， ()G x ∴上是减函数，(1,)x ∈+∞时，()'0G x >， ()G x ∴上是增函数， ()(1)0G x G ∴≥= ②， ……………14分 ()121111ln ()0x x x x F x x ex ex x e e e e ∴=-+≥-=-≥， ①②中等号取到的条件不同， ()0F x ∴>，∴函数()F x 不存在零点. ……………15分 分 分 即则令得分 （得 消由方程组）令（15)3,3 1(,21 21 13.331 ,31012,43316 3104381011,,4 342)2/()1(9)2(,439 )1(,436, 096)43,, 1,1243), ,(),,(22121 222212 212212 2 212 2122222211 ∈∴ ==<<<+≤∴+-=++=+=+=+-=+++-=+-=+∴=-++???+==+????ANB AMB ANB AMB S S t y AB y AB S S t t t m m m t t t t y y t m m y y y y m y y m m y y m y y m x m y x y x y x N y x M .