新人教高考数学总复习专题训练集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑
【知识网络】
【学法点拨】
集合与简易逻辑是近代数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具．集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支，有关简易逻辑常识与原理无不贯穿在数学的分析推理、计算与探索之中．复习巩固有关知识，对于提升数学语言素养，增强解决数学问题能力、提高思维能力等都会产生一定的影响，同时也为今后进一步学习高等数学打好基础．
解决集合问题时一要注意吃透概念，准确表示，善于推理判断，并留心元素互异性的特征的利用、所给集合能否为空集的讨论、所求特定系数的取舍；二要注意集合与函数、方程、不等式、三角、解几、立几等知识的密切联系与综合应用；三要注意灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合、补集法等思想方法解题．
在面临与命题相关的具体问题中，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．为了加深对于逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，可联系集合运算中的“交”、“并”、“补”对应地理解．尤其应注意，对逻辑联结词“或”的理解是难点；
在研究四种命题及其相互关系时，应注意逆命题、否命题、逆否命题都是相对于原命题而言的．另应注意区分“否命题”与“命题的否定”的不同含义：前者是同时否定条件和结论，而后者只否定结论；
反证法是一种重要的证题方法，其理论基础是互为逆否命题的等价性，证明步骤应分为三步：反设、归谬、结论．具体证题时，应注意书写的规范性、步骤的完整性以及导出矛盾时推理的严密性；
判断条件的充要关系时，究竟是充分非必要条件，还是必要非充分条件？还是既充分又必要条件？还是非充分又非必要条件？应当判断到位．在寻求充要条件或证明充要性命题时，应准确运用相关概念，防止误把“充分”当“必要”，或把“必要”当“充分”．
第1课 集合的概念
【考点指津】
理解集合、子集、全集、交集、并集、补集等基本概念的内涵，了解属于、包含、相等
关系的意义；正确识别与使用集合的有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
【知识在线】
１．设集合A ?
?????
∈==N m x x m ,21|，若,,21A x A x ∈∈则必有 （ ） A ．A x x ∈+21 B ．A x x ∈21 C ．A x x ∈-21 D ．A x x ∈2
1 ２．给出6个关系式：（1）0∈?，（2）?∈{?}，（3）{}
0φ，（4）{}φφ≠，（5）φ {}φ，（6）{}0φ≠.其中正确的个数是 （ ）
A ．6
B ． 5
C ． 4
D ． 3
3．设Ｓ为全集，,B A S ??则下列结论中不正确的是 （ ）
Ａ．S S A B ? Ｂ．A B B = Ｃ．()S A B =? Ｄ．()S A B =?
4．已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{< 值范围是 5．满足{1,2}X ? {1,2,3,4,5}的集合X 的个数为 ． 【讲练平台】 例１．（2002年全国高考）设集合1,24k M x x k Z ??==+∈????，1,42k N x x k Z ??==+∈???? ，则 （ ） A ．M ＝N B 。M ?≠N C 。M N D 。M N φ= 法一 从赋值入手，令k ＝0、1±、2±等，列举部分元素后观察分析知选B ． 法二 从缩小代表元素表示形式差异入手，M 中代表元素4 12+=k x ，N 中代表元素4 1)1(42++=+=k k x ，通过比较化归为判断{}{})(12Z k k k ∈+与间的关系，选B ． 法三 从函数思想入手，),2(4 1214),12(41412+=++=+k k k k 而Z k ∈时，函数12)(+=k k f 的值域是奇数集，函数2)(+=k k g 的值域是整数集Z ，故选B ． 点评 不同的解题思路可以区分具有不同层次基本功与能力水平的考生，可谓平淡之 中见功底． 变题 与角集? ????? ∈+==Z k k M ,42ππαα相等的集合是 （ ） ≠ ?≠? A ．? ????? ∈±=Z k k ,42ππαα B ．?????? ∈+=Z k k ，＋＝或432k ,4 2ππαππαα C ．? ????? ∈-=+=Z k k k ,44ππαππαα或 D ? ????? ∈--=Z k k k ,43242ππαππαα＝或 提示 可借鉴以上几种思路选C ． 例２ （1）分别用列举法表示集合：{} 21,2,A y y x x x Z ==-≤∈=_____________, (){}2,1,2,B x y y x x x Z ==-≤∈=__________________________； （２） 已知{}{}21,0,2,,0,3P a Q a a =-=-，且Ｐ=Ｑ，则a ＝ ； （３）设{}{} 222,4,5,2,2I a M a a =-=-+，当{}1I M =-时，则a ＝ ． 分析 （1）关键在于分清集合A 、B 的不同含义；（２）、（３）均含有待定系数，应 在准确领会集合的相等、全集与补集等概念的基础上进行分析与转化． 解 （1）A 表示当x=012±±、、时函数21y x =-的值域，从而{}1,0,3A =-；B 则表示曲线2 1y x =-当0,1,2x =±±时对应的点集，因而易得 ()()()()(){}23,011023B =--，，-1,0，，，，， . （２）P Q = ， 2132a a a =-?∴?-=?（Ⅰ） 或 2231 a a a =??-=-? （Ⅱ） 由（Ⅰ）得：1a =-，而（Ⅱ）无解. 1a ∴=-. （３）,1I M I I ?∴-∈， 2512a a ∴-=-=±得． 当a=2时，{}2,4,I M M M I ==，符合要求． 当2a =-时，{}2,8,M =Ｍ I ，不合题意，舍去，故a=2为所求． 点评 解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全 部条件，合理取舍，谨防增解． 例３ 设集合()()(){}1212124,1,1A f x f x f x x x x x =-≤-≤≤，又 ()221g x x x =+-，试判断()g x 与A 的关系． 分析 本题属于研究元素与集合的关系，关键在于转化为当121,1x x ≤≤时，判断 ()g x 是否满足条件()()12124g x g x x x -≤-． 解 121,1x x ≤≤， 1212224x x x x ∴+-≤++≤ ()()()()()2222121122121221212g x g x x x x x x x x x ∴-=+--+-=-+- ()()1212121222x x x x x x x x =-+-=-+-124x x ≤-， ()g x A ∴∈． 例４ 关于x 的等式22 (1)(1)22 a a x +--≤与23(1)2(31)0x a x a -+++≤（其中a R ∈）的解集依次记为A 与B ．求使A B ?的a 的取值范围． 分析 先求出两不等式的解集，也就是化简集合A 和B ，然后对字母参数a 进行讨论，再结合数轴求出使A B ?的a 的取值范围． 解 由2211(1)(1)22x a a -+≤-，得222111(1)(1)(1),222a x a a --≤-+≤- 2222 (1)(1)(1)(1)22 a a a a x +--++-≤≤, ∴{} 221A x a x a =≤≤+． 由23(1)2(31)0x a x a -+++≤，得(2)[(31)]0x x a --+≤， 当312,a +≥即13 a ≥ 时，得{}|231B x x a =≤≤+． 当312,a +<即13a <，得{}|312B x a x =+≤≤． 当13a ≥时，若使A B ?，只要222131 a a a ≤??+≤+?，得13a ≤≤． 当13a <时，若使A B ?，只要231212a a a +≤??+≤? ，得a ＝－1． 综上，使A B ?的a 的范围是{}|131a a a ≤≤=-或． 点评 （１） a ＝－1容易漏掉，由312a a +≤，得1a ≤-，由212a +≤，得11a -≤≤， 那么1a ≥-又要1a ≤-，只有a ＝－1．（２）利用条件A B ?时，借助数轴进行数形对照转 化有助于增强解题的直观性． 变题 设集合A={}2<-a x x ，B ＝? ?????<+-1212x x x ，若A ?B ，求实数a 的取值范围． 提示 A={} 22+<<-a x a x ，B={}32<<-x ． 由A ?B ，得???≤+-≥-3 222a a ，从而0≤a ≤1 ． 【知能集成】 1．集合的基本概念、分类及其表示 某些指定的对象集在一起就形成一个集合，其中每个对象就是这个集合的元素． 集合的元素有三个重要特性：确定性、互异性、无序性. 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性 分类可分为：数集、点集等．应当特别注意空集?是一个特殊而又重要的集合，解题时切 勿忽视?的情形． 集合的常用表示方法有：列举法、描述法、图示法、区间表示法． 2．元素与集合、集合与集合之间的关系 （1） 元素与集合的关系包括属于（∈）和不属于（?），反映了个体与整体之间的 从属关系，但应注意元素与集合的关系是相对的． （2） 集合与集合之间的关系有：包含关系（子集、全集）、真包含关系、相等关系. 应当理解与熟记以下结论：①空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； A B ?是ＡＢ的必要而非充分条件．②含有n 个元素的集合的子集共有n 2个，真子集共 有12-n 个，非空真子集共有22()n n N +-∈个． 【训练反馈】 １．已知集合A ?≠ {2，3，7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 ２．已知集合Ａ＝{}{}0,2,3,,,,B x x a b a b A ==?∈则Ｂ的子集的个数是 （ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 ３．设集合1,,,,22n A x x n Z B x x n n Z ???? ==∈==+∈????????则下列图形中能表示Ａ与Ｂ的关系的是 （ ） ４．设有集合A={2≤∈x R x }，B={022<+-∈a x x R x }，且A B ?，则实数a 的取 值范围是 ( ) A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a ≤1 D ．0≤a ≤1 A A A B B A B B A ．B ． C ． D ． ５．已知集合{}{} 2230,10A x x x B x mx =--==-=，若B ?≠A ，则m 的值为 . ６．含有三个实数的集合可表示为? ????? 1,,a b a ，又可表示为{}0,,2b a a +，则20032004a b -= . ７．已知集合,,,2m n A a a m n N b A c A +? ?==∈∈∈???? 、，试证b+c 与bc 均属于A. 8．已知关于x 的不等式052<--a x ax 的解集为M ． （Ⅰ）当4=a 时，求集合M ； （Ⅱ）若3∈M 且5M ?，求实数a 的取值范围． 9．已知集合{}{},,lg(),0,,,x xy xy B x y =且A=B,求x,y的值. １０．设函数 ()()(){} {}2,,,[()],f x x px q p q R A x x f x x R B x f f x x x R =++∈==∈==∈、 （1）证明 A B ?； （2）当{}1,3A =-时，求B . 第2课 集合的运算 【考点指津】 掌握集合的“交”、“并”、“补”运算的法则，强化运用集合语言、集合思想解决数学 问题的意识． 【知识在线】 １．集合=∈==∈-==N M R y x y x N R y x x y y x M 则},,1|),{(},,,1|),{(2 （ ） A ．{（1，0）} B ．{y|0≤y ≤1} C ．{1，0} D ．φ ２．设全集I=R ，A=｛x | f(x)＜0}，B=｛x|g(x)＞0｝ ，则集合M=｛x|f(x)≥0且g(x)≤0｝等于 （ ） A ．（)()A B B ．()A B C ．)()A B D ．()A B ３．已知集合A 、B 、C 满足A B A C =，那么下列各式中一定成立的是（ ） A ． A B A C = B ． B = C C ． ()()R R A B A C = D ． ()()R R A B A C = 4．全集 I=R ，集合}12|{-==x y x A ，)}22lg(|{2+-==x x y y B ，则I A B = ． 5．已知集合{}2(,)|247,25P x y y x x x ==++-≤≤，{}(,)|,Q x y x a y R ==∈，则P Q 中所含元素的个数为 ． 【讲练平台】 例１(1)设集合P 、Q 都是全集{}1,2,3,4I =的子集，若 (){}{}()(){}1,3,2I I I P Q P Q P Q ===，则P=___________,Q=____________. (２)设有两个命题：①不等式|x|+|x-1|＞m 的解集是R ；②函数x m x f )37()(--=是减函 数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 ． (３)已知三个不等式2430x x -+<①，2680x x -+<②，2290x x a -+<③ ，要使同时满 足①和②的所有x 的值都满足③，则实数a 的取值范围是 ． 解 （１）法一 推理分析（较繁）可得{}{}3,4,1,3P Q ==. 法二 利用“韦恩图”直观分析易得{}{}3,4,1,3P Q ==. （２） 由①为真，得m <1；由②为真，得7-3m >1，即m <2． 于是当①、②同为真时，m<1．故要使①、②有且只有一个为真，则12m ≤<． 注 实质是以集合(),2I =-∞为全集，求集合(,1)A =-∞的补集． （３）设不等式①、②、③的解集分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，则本题转化为求满足A B C ?的 实数a 的范围．而{}{}{}132423,A B x x x x x x =<<<<=<<设2()29,f x x x a =-+则a 应 满足(2)0,(3)0f f ≤??≤?即10,9a a ≤??≤? 于是所求范围是(,9].-∞ 例２ 设{}{}220,1,A x x x B x x y y A =--<==+∈，求：R B ，A B ， ()R A B ，()R A B ，()()R R A B ． 简解 ()1,2A =-； 对于B ，由12013y y -<<<+<得， 即() ()03,0,3x <<故B=-3,0． 结合数轴可知 (]{}[),303,R B =-∞-∞； ()3,3A B =-； (){}0R A B =； ()()()(][),33,R R R A B A B ==-∞-+∞． 点评 研究不等式的解集之间的包含关系或“交”、“并”、 “补”运算时，充分利用数 轴的直观性，往往更便于分析与转化． 变题 已知全集Ｕ＝Ｒ，集合 {}260,A x x x =--<{}{} 222280,430.B x x x C x x ax a =+->=-+< （１）试求实数a 的取值范围，使();C A B ? （２）试求实数a 的取值范围，使()().U U C A B ? 提 示 Ｕ＝Ｒ，(2,3),(,4)(2,),A B =-=-∞-+∞故(2,3),(,2][3,),(4,2),()()(4,2).U U U U A B A B A B ==-∞-+∞=-=-- 22430x ax a -+<即(3)()0,x a x a --<∴当0a <时，(3,)C a a =；当0a =时，C =? ； 当0a >时，(,3)C a a =． （1） 要使(),C A B ?结合数轴知0,2,33,a a a >??≤??≥? 解得12a ≤≤； （2） 类似地，要使()(),U U C A B ?必有0,34,2,a a a ,234P x y x y =++-≤，()()()221,1,4Q x y x y m P Q Q ??=++-<=????且，求m 的取值范围. 分析 集合Ｐ、Ｑ都表示点集，且分别对应着圆面，故可利用平面几何知识与数形 结合思想求解． 解 点集P 表示平面上以（-2，3）为圆心，2为半径的圆面，记为1C ，点集Q 表示 以（-1，m ）为圆心， 12 为半径的圆面（不含圆周），记为2C ，由P Q Q =得Q P ?,此表明2C 在1C 122-， 即2424310 m m -+≤ ，得3322 m -≤≤ +， 所以，所求m 的范围是3322 m -≤≤+． 点评 本题关键在于理解集合的意义，将集合语言化为平几语言，再转化为代数语言． 例４ 已知集合I ＝｛不超过5的正整数｝，集合{} 2|50A x x x q =-+=， {}2|120B x x px =++=，且{}()1,3,4,5.A B =求,p q 的值，并求()()I I A B ． 解 I ＝｛1,2,3,4,5｝，设方程250x x q --=的二根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝5，x 1?x 2＝q . 设方程2120x px ++=的根为x 3、x 4，则x 3＋x 4＝－p ，x 1?x 2＝12． ∵34,,12,A I B I x x ??=且 ∴34{3,4},()(34)7.B p x x ==-+=-+=-从而 又(){1,3,4,5},1,5A B A A =∴??． 而A 仅有两个元素，且x 1＋x 2＝5，∴A ＝{2,3}，126q x x ==． 从而p ＝－7，q ＝6，A ＝｛2,3｝，B ＝｛3,4｝，()(){1,5}I I A B =． 变题 已知全集S={x|x|<8,x ∈N}，A 、B 是S 的子集，若①C S A ?C S B={0,1,2,4,5,6,7}； ②C S A ?B={2,6}；③C S B ?A={1,7}．求满足上述条件的集合A 、B. 解 由 ①知{}{}()0,1,2,4,5,6,7,3,S A B A B =∴=即3,A ∈且3;B ∈ 由②知,2,6,B B ∈∈但2,6;A A ?? 由③知，1,7,A A ∈∈但1,7.B B ?? {}{}1,3,7,2,3,6.A B ∴== 说明 另可借助韦恩图直观推理分析． 【知能集成】 １．集合的运算有交集（）、并集（）、补集（U ）三种．集合的运算结果仍然是 集合．进行集合的运算时应当注意：（1）勿忘对空集情形的讨论；（2）勿忘集合中元素的互 异性；（3）对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集；（4）对于含参数（或待定 系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍． ２．与集合运算相关的几个重要关系式： （1）B A A B A ??= ； （2）A B A B A ??= ； （３）若)(,,C B A C A B A ???则； （4） ()U U U A B A B =； （5）()U U U A B A B =． ３．在集合运算过程中应力求做到“三化”： （1） 意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示 函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？ （2） 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等； 不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式． （3） 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从 而借助数形结合思想解决问题． 【训练反馈】 １．设},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==，则 （ ） A ．Q=P B ．P Q ? C ．{2,4}P Q = D ．{(2,4)}P Q = ２．设集合2{|0},{|(1)1,},M x x m N y y x x R M N =-≤==--∈=?若,则实数m 的取值范 围是 ( ) A ．m ≥ -1 B ．m ＞ –1 C ．m ≤ -1 D ．m ＜ -1 ３．已知集合M={0|=-a x x }，N={01|=-ax x }，若M ∩N=N ，则实数a 的值是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．0或1或－1 ４．已知a ＞b ＞0，全集I=R ，集合M={b x |＜x ＜ 2b a + ，N={ab x |＜x ＜a ， P={b x | ＜}x ≤ ，则P 与M 、N 的关系为 （ ） A ．P=M ()I N B ．P=()I M N C ．P=N M D ．P=N M ５．已知M={x| |x|≤1}，N={x| x - p>0},要使得M ∩N=?，则p 的取值范围是 ． 6．已知A=｛（x ，y ）∣x 2+y 2=4，x ≥0｝，B=｛（x ，y ）∣y=x+m ｝，A ∩B ≠φ，则m 的取值 范围是 ． ７．设R +表示正实数集，集合{}2(2)10,,A x x p x x R A R φ+=+++=∈=且，实数p 的取值范围是_____________________________. ８．已知I ＝R ，{} 2|4A x x =≥，{}60,||1|31x B x C x x x -??=≥=- ９．已知2{|0,,0},{0,2,3,5,9},A x x px q p q R q B =++=∈<=、且{3,0,2,3,5,7}C =-，又 ,A B A C A =?=，试求p 、q 的值． 第3课 逻辑联结词和四种命题 【考点指津】 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；正确区分简单命题与复合命题，会判断简 单命题与复合命题的真假；掌握四种命题的构成及其内在关系，会用反证法证明简单的数学 问题． 【知识在线】 } } １．下列命题中为简单命题的是 （ ） A ．8或6是30的约数 B ．菱形的对角线垂直平分 C D ．方程210x x -+=没有实数根 ２．有下列命题： ①面积相等的三角形是全等三角形； ②“若xy=0，则0||||=+y x ”的逆命题； ③“若a>b ，则a+c>b+c ”的否命题； ④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题． 其中真命题共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ３．已知命题p ：若实数x 、y 满足,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若11,.a b a b ><则 给出下列四个复合命题：①p 且q ，②p 或q ，③ ? p ，④ ? q . 其中真命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ４．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（ ） （A ）1或2或3或4 （B ）0或2或4 （C ）1或3 （D ）0或4 ５．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题 A 的等价命题 B 可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥． 【讲练平台】 例 1 已知命题p ：方程012 =++mx x 有两个不等的负实根, 命题q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围． 分析 先分别求满足命题p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与 讨论． 解 由已知p ，q 中有且仅有一为真，一为假． ?????>=?>?<-=+>?01200:2 121x x m m x x p ． 310:< （1）若p 假q 真，则2 1213m m m ≤??<≤?< （２）若p 真q 假，则2313 m m m m >??≥?≤≥?或． 综上所述：(][)+∞?∈,32,1m ． 点评 本题在利用复合命题的真假条件时，实质上涉及到化归思想、分类讨论思想和集 合的“交”、“并”、“补”运算． 例２ 分别写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的复合命题， 并判断其真假： （1）p ：3是9的约数，q ：3是18的约数； （2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相垂直． 解 （1）p 或q ：3是9的约数或18的约数．此为真命题； p 且q ：3是9的约数且是18的约数．此为真命题； 非p ：3不是9的约数．此为假命题． （2）p 或q ：矩形的对角线相等或互相垂直．此为真命题； p 且q ：矩形的对角线相等且互相垂直．此为假命题； 非p ：矩形的对角线不相等．此为真命题． 点评 由p ，q 的真假，判断“p 或q ”的真值时，可简称为“有真即真”；判断“p 且q ”的真值时，可简称为“有假则假”． 例３ 已知命题p ：无穷数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若｛a n ｝是等差数列，则点列｛（n ，S n ）｝在一条抛物线上；命题q ：若实数m ＞1，则mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（― ∞，+∞），对于命题p 的逆否命题s 与命题q 的逆命题r ，下列判断正确的是 （ ） A ．s 是假命题，r 是真命题 B ．s 是真命题，r 是假命题 C ．s 是假命题，r 是假命题 D ．s 是真命题，r 是真命题 分析 对于命题p ，当｛a n ｝为常数数列时为假命题，从而其逆否命题s 也是假命题；由于使mx 2+(2m ―2)x ―1＞0的解集为（―∞，+∞）的m 不存在，故命题命题q 的逆命题r 是假命题，于是应选（Ｃ）． 例４．已知函数f (x )满足下列条件：（1）1 ()12 f =；（2）f (xy )= f (x ) +f (y )；（3）f (x )的值域为［－1,1］．试证： 14 不在f (x )的定义域内． 分析 用反证法． 证明 假设14在f (x )的定义域内，则1()4 f 有意义，且1()[1,1]4f ∈-． 又由题设，得1()4 f ＝[]1111()()()21,12222f f f ?=+=?-，此与1()[1,1]4f ∈-矛盾． 故假设不成立，从而14 不在f (x )的定义域内． 点评 运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”?“不在”；“是”?“不 是”；“都是”?“不都是”；“大于”?“不大于”；“所有的…”?“至少有一个不…”；“至少一个” ?“一个也没有”；“任意一个”?“存在某个不…”，等等． 变题 若三条抛物线()2222 443,1,22y x ax a y x a x a y x ax a =+-+=+-+=+-中至少有一条与x 轴有公共点，求a 的取值范围. 分析 若按一般思维习惯，对三条抛物线与x 轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x 轴无公共点的a 的范围”则很简单. 由 ()()()()2122223 444301404420a a a a a a ??=--+ 则所求a 的范围是 [)3,1,2R A ??=-∞--+∞ ???. 【知能集成】 １．领会逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，是正确判断复合命题的真假的前提，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词． ２．判断复合命题真假的基本程序是：（1）确定复合命题的构成形式（先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题）；（2）判断各个简单命题的真假；（3）结合真值表推断复合命题的真假． ３．四种命题反映了命题之间的内在联系 ，应结合具体问题理解其关系产生的过程，尤其是两个等价关系．在判定四种命题形式的真假时，应熟记以下结论： （1） 原命题为真，其逆命题可真可假； （2） 原命题为真，其否命题可真可假； （3） 原命题为真，其逆否命题必为真； （４）互为逆否命题同真同假，同一命题的逆命题与否命题也同真同假． 具体判断所给命题真假时，除可直接判定外，也可等价转化为互为逆否的命题的等价性进行判断． ４．反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法．当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，常可考虑运用反证法． 【训练反馈】 1．设方程（x －1）（y +2）= 0的实数解集为M ，方程（x －2）2 +（y +2）2 = 0的实数解 集为N ，则下列各式中正确的是 （ ） A ．M = N B ．M ∩N = {1，－2} C ．N = {1，－2} D ．M ∩N =? ２．有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是 （ ） A ．（1） B ．（2） C ．（3） D ．（4） ３．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的 （ ） A ．逆命题 B ．逆否命题 C ．否命题 D ．以上判断都不对 ４．下面三个命题：（1）“若3=b ，则92=b ”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等” 的否命题；（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题．其中真命题的个数是 （ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D.．3 ５． 已知直线l 1 ,l 2与平面α，有下列命题： ①若1l ∥α，1l ∥l 2 ，则l 2∥α；②若2121,,,l l A l l 则=??αα为异面直线； ③若1l ⊥l 2 ，1l ∥α，则l 2∥α；④若1l ⊥α，l 2⊥α，则1l ∥l 2 其中真命题有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 ６．（2001年高考新课程卷）在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是 (把符合要求的命题序号都填上). 7．命题{}{}{}{}:21,2,3,:21,2,3,p q ∈?则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或 q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是 （填上你认为正确的所有序号）． ８．关于x 的不等式22:(1)0p x a x a +-+>与指数函数2()(2),x f x a a =-若命题“p 的解集为 (,)-∞+∞ 或()f x 在(,)-∞+∞ 内是增函数”是真命题，求实数a 的取值范围． ９．若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+ =-+=-+，求证：a 、 b 、 c 中至少有一个大于0． 第4课 充分条件和必要条件 【考点指津】 掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义极其判定方法，并会证明简单的充要命题，进一步增强逻辑思维能力． 【知识在线】 １．直线1+=kx y 的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是 （ ） A ．k ＜0 B ．k ＜－1 C ．k ＜1 D ．k ＞－2 ２． 直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是 （ ） A ． 1l ，2l 都平行于同一个平面 B ． 1l ，2l 与同一个平面所成的角相等 C ． 1l 平行于2l 所在的平面 D ． 1l ，2l 都垂直于同一个平面 ３．函数y = x 2 + bx + c ([0,))x ∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ） A ．0≥b B ．0≤b C ．b > 0 D ．b < 0 ４．已知a 1，a 2，a 3，a 4是非零实数，则a 1a 4=a 2a 3是a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 ５．在ΔABC 中，条件甲：A cos 2 B,则甲是乙的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 ６． 1-=a 是直线03301)12(=++=+-+ay x y a ax 和直线垂直的 条件. 【讲练平台】 例１ （１）设p ：;:A B A q = A B ，则p 是q 的 条件；q 是p 的 条件． （2）设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么D 是C 的 条件，A 是B 的_______________条件． 分析 弄清概念、理清关系后再加以判断． （１）必要非充分；充分非必要． （２） 根据右边的示意图，易知D 是C 的充要条件；A 是B 的充分条件． 点评 对于相关因素较复杂的充要性判断问题，有时画出 并 利用“关系图”，可以更为形象、直观、简便地加以判断． 变题 设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件． 提示 由已知得甲?乙?丙?丁，且乙?甲，丁?丙，易知答案为：充分不必要． 例２ （１）给出下面四个命题：①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”； ②“直线l 垂直于平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a ⊥b ”的充分非必要条件是“a 垂直于b 在平面α内的射影”；④“直线a//平面β”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面β内的一条直线”．其中错误命题的序号是 （把你认为错误命题的序号都填上）． （2）（2002年上海春季高考试题）设曲线C 1和C 2的方程分别为F 1(x,y)＝0或F 2(x,y)＝0，则点P(a ，b )12C C ?的一个充分条件为 ． 分析 （１）根据充要条件的相关概念判断，可知①、③错，②、④正确 ．注意到题目的要求，应填写①、③． （２）由P(a ，b )12C C ?知，可能点P 不在曲线C 1上；可能点P 不在曲线C 2上；可能点P 既不在曲线C 1，也不在曲线C 2上；可能曲线C 1与2C 不存在交点．故答案可以为：()1,0F a b ≠；()2,0F a b ≠；()()12,0,0F a b F a b ≠≠且；12C C φ=；1P C ?等． 点评 对于题（１），除了概念清晰、基础知识扎实外，还应注意审清题目的要求，防止意外失误；题（２）则有较强的开放性与灵活性，利于考查思维的深刻性． 例３ 已知p ：23 11≤--x ； q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若p ?是q ?的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围． ≠? 分析 先通过解不等式将p 、q 具体化，然后写出p ?和q ?，再根据?? ?? ?????p q q p 进行推理分析，求出m 的范围． 解 由2311≤--x 解得：102≤≤-x ，则p ?：{} 102>-<=x x x A 或． 又当m>0时，由22210x x m -+-≤得m x m +≤≤-11， 则q ?：{} 0,11>+>-<=m m x m x x B 或． p ?是q ?的充分非必要条件， ∴A ?≠B ，结合数轴应有0, 12,110.m m m >??-≥-??+≤? 解得 03m <≤为所求． 点评 （1）应注意m>0的条件及区间端点值能否取到；（2）本题亦可先化为等价命题：q 是p 的充分而非必要条件，然后再分析、列式、转化． 例４ 试寻求使二次函数()2 f x ax bx c =++为偶函数的充要条件，并加以证明． 分析 若()f x 为偶函数，据偶函数的定义知，0b =；反之，若0b =，则()f x 为偶函数．故所求充要条件的为0b =． 解 使()f x 为偶函数充要条件的为0b =．证明如下： ①充分性 若b=0，则()2 (0)f x ax c a =+≠． 对于任意x R ∈，都有()() ()2f x a x c f x -=-+=， ()f x ∴为偶函数． ②必要性 若二次函数()2f x ax bx c =++为偶函数， 则对于任意x R ∈，都有()()f x f x -=，即()()2 2a x b x c ax bx c -+-+=++对x R ∈都成立， 亦即0bx =对任意x R ∈都成立，从而b=0． 综合①、②，命题得证． 点评 探求或证明充要命题时，一般应从充分性与必要性两方面验证，但有时在证明过程中若能保持每步之间的等价性，则可不必分开论证． 变题（2002年高考压轴题）已知a>0，函数()2f x ax bx =-． （Ⅰ）当b>0时，若对任意x R ∈都有()1f x ≤，证明a ≤ （Ⅱ）当b>1时，证明：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是1b a -≤≤ （Ⅲ）当01b <≤时，讨论：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件． 证明 （Ⅰ）依题设，对任意x R ∈，都有()1f x ≤， ()222,12424a a a a f x b x f b b b b ????=--+∴=≤ ? ?? ???. 0,0,a b a >>∴≤． （Ⅱ）①必要性 对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤()11f x ?-≤≤，据此可以推出()11f -≤，即1a b -≥-，1a b ∴≥-；对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤?()1f x ≤， 因为b>1，可以推出1f ≤，即11,1a a b a -≤∴≤∴-≤≤ ②充分性 因为1,1b a b >≥-，对任意[]0,1x ∈，可以推出()221ax bx b x x x x -≥--≥-≥-， 即21ax bx -≥-；因为1,b a >≤，对任意[]0,1x ∈，可以推出 221ax bx bx -≤-≤， 即()2 1,11ax bx f x -≤∴-≤≤．综上，当b>1时，对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的 充要条件是1b a -≤≤ （Ⅲ）因为0,1a o b ><≤时，对任意[]0,1x ∈，()2 1,f x ax bx b =-≥-≥-即()1f x ≥-；()()1111,f x f a b ≤?≤?-≤即1a b ≤+； ()()2,111a b f x b x bx ≤+?≤+-≤反之，即()1f x ≤． 所以，当0,01a b ><≤时，对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤的充要条件是1a b ≤+． 【知能集成】 1．充分条件与必要条件是四种命题关系的深化．应当深刻领会充分条件、必要条件、充要条件的内涵，防止概念混淆．尤其是“必要条件”这一概念较难理解，可借助“逆否命题”的概念来帮助理解．当p 为q 的必要条件时，应有q p ?，等价于p q ???，意即“若p 不成立，则q 不成立”，或“没有p ，就没有q ”，这就足见得p 的“必要性”了． ２．一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个． ３．寻求或证明充要命题时，通常分充分性与必要性两步验证，但若在证明过程中能保持每步之间的等价性，则可不必分开论证． ４．当直接判定命题条件的充要性较困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断． 【训练反馈】 １．αβ=是tan tan αβ=的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 ２．如果x 、y 是实数，那么xy>0是|x+y|=|x|+|y|的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 ３．（2000年上海春季高考题）“a ＝1”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也非必要条件 ４．“三条侧棱两两垂直且与底面所成的角都相等”是“三棱锥为正三棱锥”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 ５．已知a, b 为任意向量，下列三个条件：①|a |＝|b |；② a 2 = b 2；③a 2=a ?b ．其中可以作为 a = b 的必要非充分条件的是 （ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ① ６．（1）“p 且q 是真命题”是“p 或q 为真命题”的 条件； （2）“非p 是真命题”是“p 或 q 为真命题”的 条件； （3）“p 或q 为假命题”是“非p 为真命题”的 条件； ７．（１）已知两条直线0:1=++c by ax l ，直线2:0,l mx ny p an bm ++==则是直线21//l l 条件． （２）已知数列{}n a 的前n 项和(0,1)n n S p q p p =+≠≠,使数列{}n a 是等比数列的充 要条件是 ． ８．（1）设集合{}|2M x x =>，{}|3P x x =<，则“x M ∈或x P ∈”是“()x M P ∈”的什么条件？ （2）求使不等式24210mx mx --<恒成立的充要条件． ９． 已知集合(){}()() {}222,2,,9M x y y x N x y x a y ===-+=。求证：M N φ≠ 的充要条件是35a -≤≤． 单元练习一（集合与简易逻辑） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．方程组???-=-=+11y x y x 的解集是 （ ） A ．{}1,0==y x B ．{0，1} C ．{(0，1)} D ．(){}10|,==y x y x 或 2． 已知函数))((b x a x f y ≤≤=，则集合{}b x a x f y y x ≤≤=),(|),({}(,)|0x y x =中含有元素的个数为 （ ） A ．0 B ．1或0 C ．1 D ．1或2 3．设,M N φ=A ＝｛M 的子集｝，B ＝｛N 的子集｝，则下列等式成立的是 （ ） A ．A B φ= B ．{}A B φ= C ．A B M N = D ．A B M N 4．若A ＝｛1,3，x ｝，B ＝｛x 2，1｝，且A B ＝｛1,3,x ｝．则适合上述条件的实数x 的值有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．同时满足：（1）{1,2,3,4,5}M ?，（2）若a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ） A ．32个 B ．15个 C ．7个 D ．6个 6．集合,,,2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ????==+∈==+∈????????，则 （ ） A ．M N B ．M N C ．M ＝N D ．M N φ= 7．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab=0，则a=0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题．其中真命题的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 8．两直线ax +y －b ＝0与x +ay +1=0平行的充分非必要条件是 （ ） A ．1,1a b =-≠- B ．1,1a b =≠- C ．a ＝1，b ＝－1 D ．1,1a b =≠-或1,1a b =-≠ 9. 已知a , b 是非零向量且不共线，则| a | = | b |是 ( a – b ) 与 ( a + b ) 垂直的 ( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 10．若函数f (x )，g (x )的定义域都是R ，则()()()f x g x x R >∈成立的充要条件是 （ ） A ．有1个x R ∈，使得()()f x g x > B ．有无数多个x R ∈，使得()()f x g x > C ．对R 中任意的x ，使得()()f x g x >＋1 D ．R 中不存在x 使得()()f x g x ≤ 11．已知真命题“a ≥b ?c ＞d ”和“a ＞b ?e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又必不要条件 12．已知抛物线P ：2y x bx c =++及直线l ：1y x =+，P 的顶点坐标为2 4,24b c b ??-- ??? ， 则“24142 c b b -<-+”是“P 与l 有两个公共点”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． ≠?≠?≠? ≠? 13．若全集I 11,,,,24n n I x x n N A x x n N A ++????==∈==∈=????????则 ． 14．满足条件φ M {0，1，2}的集合共有 个． 15. 设:3p x <-或1>x ,:2q x <-或1>x ，则p ?是q ?的 条件． 16．设x 、y 、z 中有两条直线和一个平面，已知命题||x y x z y z ⊥??⊥??为真命题，则x 、y 、z 中可能为平面的是 ． 三、解答题：本题共6小题，共74分． 17．（本题满分12分） 已知数集A 满足条件：若a ∈A ，且a ≠1, 则11A a ∈-． （１）2A ∈,试求集合A ；（2）证明：若a ∈R ，则A 不可能是单元素集． 18．（本题满分12分） 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1） A ()A B ； （2）菱形对角线互相垂直平分 . 19．（本题满分12分）集合2{|60},{|10}A x x x B x mx =+-==+=，写出B A 的一 个充分不必要条件． 20．（本题满分12分） 已知{}{}{}22222190,log (58)1,280A x x ax a B x x x C x x x =-+-==-+==+-=，且A B ,A C φφ=，求a 的值． 21．（本题满分12分） 设{}{}{} 22,23,,,A x x a B y y x x A C z z x x A φ=-≤≤≠==+∈==∈，且C B ?．求实数a 的取值范围． 22．（本题满分14分）已知{}n a 是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ，设集合*221(,),(,)1,,4n n S A a n N B x y x y x y R n ????=∈=-=∈???????? ．试问下列命题是否是真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明． （1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A B 至多有一个元素； （3）当a 1≠0时，一定有A B φ≠． ≠?≠?≠? 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u ＝? ??100v ＋23，0 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 江苏高考数学专题练习——函数 1. 已知函数，，则的解集是 ． 2. 设函数，则满足的的取值范围为 ． 3. 已知函数，不等式对恒成立，则 ．* 4. 已知函数f (x )＝e x -1 －tx ，?x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ． 5. 已知函数f (x )＝2x 3 +7x 2 +6x x 2+4x ＋3，x ∈0,4］，则f (x )最大值是 ．* 6. 已知函数，若在区间上有且只有2个零点， 则实数的取值范围是 . 7. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为2 0am ????，，则实数a 的取值范围 是 . * 8. 若存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为 ． 9. 设函数，若关于的不等式在实数集上有解，则 实数的取值范围是 ．* 10. 已知函数f (x )＝???x 2 －1，x ≥0， －x ＋1，x ＜0． 若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 ． 11. 设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈1 2，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直 线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ． 2()||2 x f x x += +x R ∈2 (2)(34)f x x f x -<-???≥<-=1 ,21,13)(2x x x x x f 2 ))((2))((a f a f f =2()()()(0)f x x a x b b =--≠()()f x mxf x '≥x R ?∈2m a b +-=222101, ()2 1,x mx x f x mx x ?+-=?+>? ，，≤≤()f x [)0,+∞m 2e 2e 10x x a +≥-()33,2,x x x a f x x x a ?-<=?-≥? ，()4f x a >R2020高考数学专题复习----立体几何专题
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