全等三角形复习
八年级上几何知识复习
知识点三角平分线与垂直平分线性质
知识点四等腰三角形的性质
典例讲解：
专题训练一：拐点问题
1.如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等
于（）
A．19°B．38°C．42°D．52°
2．如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE∥BC交BE于点E，∠DAE=56°，则∠E的度数为（）
A．56°B．36°C．26°D．28°
3．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）
A．30°B．32°C．42°D．58°
4.如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？
（2）若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．
2题
5.问题情境：如图1，AB ∥CD ，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数． 小明的思路是：过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质来求∠APC ． （1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 度；
（2）问题迁移：如图2，AB ∥CD ，点P 在射线OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问∠APC 与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出∠APC 与α、β之间的数量关系．
专题训练二：全等三角形
1．如图，已知：AB ∥CD ，∠BAE=∠DCF ，AC ，EF 相交于点M ，有AM=CM ． （1）求证：AE ∥CF ；
（2）若AM 平分∠FAE ，求证：FE 垂直平分AC ．
2.善于思考的小鑫同学，在一次数学活动中，将一副直角三角板如图放置，A ，B ，D 在同一直线上，且EF ∥AD ，90BAC EDF ∠=∠=?，
45C ∠=?，60E ∠=?，量得DE=12cm ，求BD 的长．
3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．
②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
4．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA=DB=DC．
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．
5.已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．
6．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G 是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．
7．如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别为AB、CD的中点．求证：MN⊥CD．
8．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E为AC中点，点F为BD中点．求证：EF⊥BD．
9．如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ=∠BAC．
（1）①如图1，探索∠PAC与∠PQC的数量关系并证明；②如图1，求证：AP=PQ；（2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB=AC）”，其他条件不变，求证：AP=PQ；
（3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC（AB=AC）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．
10．如图1，已知△ABC 中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转． 点E 、BC 的延长线于点F ，AC 于EF 交于点O ． （1）求证：∠3=∠B ；
（2）连接OD ，求证：∠B +∠ODB=180°．
11.在Rt ACB ?中，90ACB ∠=?，AC=BC ，D 为AB 上一点，连结CD ，将CD 绕C 点逆时针旋转90?至CE ，连结DE ，过C 作CF ⊥DE 交AB 于F ，连结BE. （1）求证：AD=BE ；
（2）求证：2
2
2
AD BF DF +=； （3）若15ACD ∠=?
，1CD =，求BF.