2.4分解因式法

精典专题训练第三讲（2.4分解因式法）

一、课前训练10分钟

1、用公式法解下列一元二次方程

（1）0232=--x x （2）01322

=-+x x

（3）091242

=+-x x （4）091242

=+-x x

2、用公式法解下列方程

（1）051362

=--x x （2）017122

=++x x

（3）x x 34432

=+ （4）

022)12(22=+++x x

（5）4)3)(12(=--x x

二、知识点回顾

1、分解因式法解一元二次方程的根据：“如果0=?b a ，那么_______,=a 或______=b

2、分解因式法解一元二次方程的过程中体现了“将次”的思想：即把一个一元二次方程转化为两个一元_____来解，这种思想在以后处理高次方程时非常重要。

3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为________

（2）将方程的左边分解成两个_________的乘积； （3）令每个因式分别为零，得到两个____________；

（4）解这两个一元一次方程，它们就是原方程的__________. 三、专题讲解 （一）精典例题

例1 用因式分解法解下列方程：

（1）0532=+x x （2）

0922=-x

（3）

)5(2)5(32

x x -=- （4）0762=--x x

例2 用适当方法解下列一元二次方程：

（1）032)32(2=+--x x （2）2

2)32(9)32(+=-x x

（3）0162

=+-x x （4）10)1)(2(=-+x x

（5）

0682=+-x x

例3 解关于x 的方程

（1）

0)(222=++-mn x n m mnx

（2）

x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-

（二）变式训练

1、用分解因式法解下列方程：

（1）0)2()52(22=---x x （2）

015)35(2

=+++x x

（3）060162=+-x x （4）

24)2)((22=-++x x x x

2、用分解因式法解方程：

（1）2

2)1812(3625)32(49-=+x x （2）)22(5)2(x x x -=-

（3）17)6()3)(5(-=+++-x x x x （4）431414522+=-

-x x x

3、用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）0144252

=-x （2）22)1(3-=-x x x

（3）0232

=++x x （4）022322

=-+x x

（5）02)12(2=--x （6）

0)23(32)23(2

=-+++x x

（7）

02)12(3)12(2

=++++m m

四、巩固练习 （一）填空题

1、方程

43)43(2

-=-x x 的根是________ 2、方程x x =2

的两根之和与两根之积分别是________

3、若分式

1

8

72---x x x 的值为0，则_____=x

4、当_____=x ，时，分式3212

-++x x x 没有意义

5、方程

)32(2)23(2

x x -=-的根是________ 6、当_____=x 时，代数式6542++x x 与

632+x 的值相等 7、若要使5322

--x x 的值等于x 64-的值，则x 应为________ （二）选择题

1、若0=ab ，则下列结论正确的是（）

A 0=a

B 0=b

C 0=a 或 0=b

D 0=a 且0≠b

2、方程

)1()1(2

-=-x x 的根是（） A 1 B 2 C 1或2 D 0或1 3、方程022

=-x x 的根是（）

A 2,.021==x x

B 2,.021-==x x

C 0\

=x D 2\=x

4、一元二次方程012

=-x 的根为（）

A 1,121-==x x

B 1=x

C 1,021==x x

D 1-=x 5、方程9)1(2

=+x 的解时（）

A 2=x

B 4-=x

C 4,221-==x x

D 4,221==x x

6、一元二次方程

0342=++x x 的根为（） A 3,121-==x x B 3,121=-=x x C 3,121-=-=x x D 3,121==x x （三）解答题 1、当x 为何值时，等式0

232222=--+--x x x x 成立

2、已知12+a 和a 231

-都有意义，且a 是整数，试解关于x 的一元二次方程

2)2(52--=-ax x x

3、解方程：0

22=--x x

五、拓展练习

解方程：

24

)4

)(

3

)(

2

)(

1

(=

+

+

+

+x

x

x

x

六、课后总结与反思

(完整版)因式分解练习题(公式法)

因式分解习题(二)公式法分解因式 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 7、2240.019m b - 8、2219 a x - 9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、 44411681a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1、22()()x p x q +-+ 2、 22(32)()m n m n +-- 3、2216()9()a b a b --+ 4、229()4()x y x y --+ 5、22()()a b c a b c ++-+- 6、224()a b c -+

题型(三)：把下列各式分解因式 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 7、324x xy - 8、343322x y x - 9、4416ma mb - 10、238(1)2a a a -++ 11、416ax a -+ 12、 2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2、计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910 - --???--

因式分解16种方法

因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

因式分解法解一元二次方程教案

2.4分解因式法解一元二次方程教案 本课的教学目标是： 1、知识与技能目标：1、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。 2、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。 1、方法与过程目标： 1、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; 2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。 通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转 化”“降次”的数学思想方法。 3、情感与态度目标：通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二 次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高 了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从而培养 学生主动探究的精神与积极参与的意识。 教学重点与难点 教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。 教学难点：发现与理解分解因式的方法。 1．复习提问 如果AB=0，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零． “至少”有下列三层含义 ①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0 三、教学过程设计 1：复习：将下列各式分解因式（为新知识学习做铺垫） 将下列各式分解因式： (1)5X2-4X (2)X2-4X+4 (3)4X(X-1)-2+2X (4) X2-4 (5) (2X-1)2-X2 理由是：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。 2．新课讲解 引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法 例1 解方程5x2＝4x． 解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步 ∴x＝0或5x-4＝0……第二步 ∴x1=0，x2=-4/5． 教师提问、板书，学生回答． 分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法． 例2 用分解因式法解方程解方程x-2＝x（x-2）

因式分解法

《因式分解法》教学设计 第四师74团中学陈平 一、内容和内容解析 1．内容 用因式分解法解一元二次方程． 2．内容解析 教材通过实际问题得到方程，让学生思考解决方程的方法除了之前所学习过的配方法和公式法以外，是否还有更简单的方法解方程，接着思考为什么用这种方法可以求出方程的解，从而引出本节课的教学内容． 解一元二次方程的基本策略是降次，因式分解法将一个一元二次方程转化为两个一次式的乘积为零，是解某些一元二次方程较为简便灵活的一种特殊方法．体现了降次的思想，这种思想在以后处理高次方程时也很重要． 基于以上分析，确定出本节课的教学重点：会用因式分解法解特殊的一元二次方程．二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）了解用因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程； （2）学会观察方程特征，选用适当方法解决一元二次方程． 2．目标解析 （1）学生能理解因式分解法的概念，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会利用因式分解求解特殊的一元二次方程； （2）学生通过对比一元二次方程的结构类型，选用适当的方法合理的解方程，增强解决问题的灵活性． 三、教学问题诊断分析 学生在此之前已经学过了用配方法和公式法求一元二次方程的解，然后通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，符合学生的认知规律． 在实际的教学中，学生在利用因式分解法解方程式往往会在因式分解上存在着一定的困难，从而不能将方程化成两个一次式乘积的形式．另外在面对一元二次方程时，缺乏对方程

数学24分解因式法教案北师大版九年级上

2.4分解因式法 分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一 元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后 处理高次方程时非常重要． 这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解 某些一元二次方程． 由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能 解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示 一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某 些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一 元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零， 分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是 用分解因式法解一元二次方程的重点． 通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让 学生体会解决问题的多样性． 教学目标[来源:学,科,网] (一)教学知识点 1．应用分解因式法解一些一元二次方程． 2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法． (二)能力训练要求 1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的 多样性． 2．会用分解因式法(提公因式法、公式 法)解某些简单的数字系数的一元二次方程． (三)情感与价值观要求[来源:学|科|网] 通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中 应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之， 体会“降次”化归的思想． 教学重点 应用分解因式法解一元二次方程． 教学难点 形如“x2＝ax”的解法． 教学方法 启发引导式归纳教学法． 教具准备 投影片五张． 第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A) 第二张：引例(记作投影片§2．4 B) 第三张；议一议(记作投影片§2．4C) 第四张：例题(记作投影片§2．4 D) 第 五张：想一想(记作投影片§2．4 E) 教学过程 Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[来源:学#科#网] [师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、 公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)[来源:] 解下列方程：

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是: （1）移项 把方程的右边化为0; （2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; （3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; （4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 例1. 用因式分解法解方程:x x 32=. 解:032=-x x ()03=-x x ∴0=x 或03=-x ∴3,021==x x . 例2. 用因式分解法解方程:()()01212 =---x x x . 解:()()0211=---x x x ()()()()0 11011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x ∴1,121-==x x . 例3. 解方程:121232-=-x x . 解:0121232=+-x x ()()0230 44322=-=+-x x x ∴221==x x . 例4. 解方程:332+=+x x x . 解:()0332=+-+x x x ()()()()0310 131=-+=+-+x x x x x

∴01=+x 或03=-x ∴3,121=-=x x . 因式分解法解高次方程 例5. 解方程:()()013122 2=---x x . 解:()()031122=---x x ()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x ∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x ∴2,2,1,14321=-==-=x x x x . 例6. 解方程:()()034322 2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x ()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x ∵032>+x ∴()()011=-+x x ∴01=+x 或01=-x ∴1,121=-=x x . 用十字相乘法分解因式解方程 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=?≥0且?的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程. 例7. 解方程:0652=+-x x . 分析:()124256452 =-=?--=?,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x ∴02=-x 或03=-x ∴3,221==x x .

分解因式法

分解因式法 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了分解因式，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 教科书基于用分解因式法解一元二次方程是解决特殊问题的一种简便、特殊的方法的基础之上，提出了本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x －a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《分解因式法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。” 同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：知识与技能目标 1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的 多样性； 2、会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次 方程；

几种常见的因式分解方法

几种常见的因式分解方法 1． 提取公因式法 2． 分组分解法 3． 应用公式法，常用的公式有： （1）222)(2b a b ab a ±=+± （2）))((22b a b a b a -+=- （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）33223)(33b a b ab b a a ±=±+± （5）2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ （6）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 公式（5）证明如下： ac bc ab c b a 222222+++++ 222)22()2(c bc ac b ab a +++++= 22)(2)(c c b a b a ++++= 2)(c b a ++= 公式（6）证明如下： abc c b a 3333-++ abc ab b a c b ab b a a 333332233223---++++= )333(])[(2233abc ab b a c b a ++-++= )(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]3)())[((22ab c c b a b a c b a -++-+++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= 在特殊情况下，当c b a ++＝0时，就有abc c b a 3333-++＝0，

于是， （7）abc c b a 3333=++ 这就是说，如果三个整式的和为零，那么这三个整式的立方和等于这三个整式乘积的三倍． 4．十字相乘法 （1）有二次三项式q px x ++2，如果常数q 能分解成两个因数a 、b 的积，并使a ＋b ＝p ，则有 ))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ （2）有二次三项式c bx ax ++2，如果二次项系数a 分解成两个因数a 1和a 2，常数项c 分解成两个因数b 1和b 2，并且使b b a b a =+2211，则有 c bx ax ++2211221221)(b b x b a b a x a a +++= ))((2211b x a b x a ++= （3）二元二次多项式f ey dx cy bxy ax +++++22的因式分解． 设f ey dx cy bxy ax F +++++=22 ))((222111c y b x a c y b x a ++++= 则])][()[(222111c y b x a c y b x a F ++++= 211122212211)()())([(c c y b x a c y b x a c y b x a y b x a +++++++= 可以看出，a 1、a 2、b 1、b 2是由22cy bxy ax ++确定的，这样可对22cy bxy ax ++先进行因式分解，再把f 分解成因数c 1和c 2．如果 ey dx y b x a c y b x a c +=+++)()(112221 则F 就可分解成两个一次因式111c y b x a ++和222c y b x a ++的积．这种分解方法可视为双十字相乘法． 对一个较复杂的多项式进行因式分解时，经常要综合运用以上方法，有时需要拆项和增减项，但在拆项和增减项时，要注意和原来的多项式保持相等．

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

因式分解的四种方法

45因式分解的四种方法（讲义） 课前预习 1. 平方差公式：___________________________； 完全平方公式：_________________________； _________________________． 2. 对下列各数分解因数： 210=_________； 315=__________； 91=__________； 102=__________． 3. 探索新知： （1）39999-能被100整除吗？ 小明是这样做的： 32299999999991 99(991) 99(991)(991)999800 9998100 -=?-?=?-=?+-=?=?? 所以39999-能被100整除． （2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？ （3）3m m -能被哪些整式整除？

1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解的四种方法 （1）提公因式法 需要注意三点： ①___________________________； ②___________________________； ③___________________________． （2）公式法 两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________． 运用公式法的时候需要注意两点： ①___________________________； ②___________________________． （3）分组分解法 多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________． （4）十字相乘法 十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是： 2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 3.因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目 前我们是在______范围内因式分解．

因式分解法教案

因式分解法 【教学目标】 1．知识与技能 1）、掌握因式分解法的基本步骤； 2）、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。 2．过程与方法 1）、在灵活选择方程的解法中，体会解决问题方法的多样性； 2）、会用因式分解法解一元二次方程。 3．情感、态度与价值观 1）、通过探讨一元二次方程的解法，了解因式分解法是一元二次方程解法中较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度； 2）、体会“降次”化归的思想。 【教学重点】 熟练掌握用因式分解法解一元二次方程 【教学难点】 能灵活地应用因式分解法解一元二次方程 【教学方法】 启发引导式归纳教学法 【教学过程】 一、引入新课 问：我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 ? [生]直接开平方法、配方法、公式法 [师]很好，我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便。因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法。 公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程。 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，判断b2-4ac的值是否大于或等于0，然后求解。 一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他简便的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法。 二、新课讲解 [师]下面我们共同来解一道一元二次方程： 解方程：x2=9（师生互动，共同探究） 这个方程化成一般形式为：x2—9=0， 方程的左边可以因式分解吗？因式分解，得 (x+3)(x-3)＝0 我们知道：如果两个因式中有一个等于0，（问：）那么它们的积也就等于0，反过来，两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；因此，有 x+3＝0或x-3=0。 这样，就把一元二次方程降次转化为一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 x1=-3，x2=3 口算检验：它们是否是方程的根？ 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫

因式分解常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c） 二、运用公式法? 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ; (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之 间的联系。 式分解中常用的公式，例如： (1)(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ------- a (2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ------- a ⑶(a+b)(a 2 -ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ； 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ； a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )； a 3 _b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ab bc ca ,

(完整版)高中数学因式分解方法大全(十二种)

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x x -2x –x =x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、求根法

24分解因式法

课题2．4 分解因式法课型新授课 教学目标1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。 教学重点掌握分解因式法解一元二次方程。 教学难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。 教学方法讲练结合法 教学后记 教学内容及过程学生活动 一、回顾交流 [课堂小测] 用两种不同的方法解下列一元二次方程。 1. 5x2-2x-1=0 2. 10(x+1) 2-25(x+1)+10=0 观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 分析小颖、小明、小亮的解法： 小颖：用公式法解正确； 小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。 小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。 分解因式法： 利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。 二、范例学习 例：解下列方程。 1. 5x2=4x 2. x-2=x(x-2) 想一想 你能用几种方法解方程x2-4=0,(x+1)2-25=0。 三、随堂练习 随堂练习1、2 [拓展题] 分解因式法解方程：x3-4x2=0。 四、课堂总结 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，

通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。 五、布置作业 P62 习题2.7 1、2 板书设计： 学生练习。 注：课本中，小颖、小明、小亮的解法由学生在探讨中比较，对照。 概念：课本议一议，让学生自己理解。 解：（1）原方程可变形为： 5x2－4x=0

因式分解法解一元二次方程教案(公开课)

分解因式法解一元二次方程教案（公开课教案） 一、教学内容分析 本节课选自九年级上册《一元二次方程的的解法》一章，在初中数学新课程标准中，关于一元二次方程的要求是：理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。课本重点讲配方法，因为它是初中需要掌握的三种重要的数学方法之一。对九年级的学生来说，部分学生会进入高中继续学习，但高中数学对学生的要求会更高，教材中许多题目用因式分解法比较简单，虽然都可以用万能法—公式法解。作为老师也比较矛盾，一方面不能增加学生的负担，另一方面还要为学生的进一步发展考虑，于是，我和王爱武老师沟通并合作设计了这节课，不到之处敬请批评指正。 二、学情分析与学法指导 对于一元二次方程的解法学生基本掌握。大多数学生喜欢用求根公式，但存在的问题是部分学生根式的化简不熟练导致方程的求解不彻底。在本节初三复习课中，结合学生的实际，让学生通过复习教材，完成课前导学知识，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.。 三、设计意图 1．设计课前导学旨在引导学生逐步养成自主预习的学习习惯，有针对性的学习课本；2．设计答疑解惑环节旨在结合学生自主预习中找出的疑惑点，更有针对性的解答学生的疑惑； 3．设计回顾反思环节旨在逐步引导学生及时总结规律方法，逐步养成解题后反思的学习习惯。 4．设计补充十字相乘法旨在渗透初高中衔接的相关内容。 教学目标： 1、知识与技能目标： (1)、会应用分解因式的方法求一元二次方程的解。 (2)、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择一元二次方程的解法。 2、过程与方法目标： (1)、理解分解因式法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; (2)、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法。 3、情感与态度目标： 通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。再之，体会“降次”化归的思想。从 而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。 教学重点与难点： 教学重点：运用分解因式法解一些能分解因式的一元二次方程。 教学难点：发现与理解分解因式的方法。 一、教学过程：

2.4分解因式法

强湾中学导学案 学科：数学 年级：九年级 主备人：张晓霞 辅备人: 王花香 审批: ________________ (2) X -2= X (X — 2) 活动探究 2 (3) (X + 1) — 25= 0. 总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤 ： 1） 将方程的右边化为 _____ ; 2） 将方程左边分解成两个 _______ 的乘积； 3） 令每个因式分别为零，得两个 ____________ 方程； 4） 解这两个 _____________ 方程，它们的解就是原方程的解 ? 3.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项， 交叉相乘 再相加等于一次项系数 . 例1把m2+4m-12分解因式. 分析：本题中常数项-12可以分为-1 XI2 , -2 0, -3用,-4 >3 , -6疋, -12 X 当常数项-12分成-2 X5时，才符合本题. 解：因为1 -2 启发指导 1 x 6 所以 m2+4m-12= （m-2 ） （m+6 ） 例2把5X 2+6X -8分解因式 分析：本题中二次项系数 5可分为1X5,常数项-8可分为-1 X8, -2 >4, -4 X2, -8 X.当二次项系数5分为1X5，常数项-8分为-4 X 时，才符合 本题. 解：因为1 2 5 X -4 所以 5x2+6x-8= （ X +2 ） （ 5X -4 ） 教师活动 （环节、措施） 学生活动 （自主参与、合作探究、展示交流） （1） 5 x 2 =4X

教师活动（环节、措 施） 学生活动 （自主参与、合作探究、展示交 流） 教师活动 （环节、措 施） 学生活动 （自主参与、合作探究、展示交 流） 课堂练习交流指导 【随堂练习】 用分解因式法解下列方程 （1）4x（2x+1）=3 （2x+1） 2 (2) (2x+3) = 4(2x+3); 2 2 (3) 2(x-3) = x-9 ; 2 2 (4) (x-2) = (2x+3); 2 (5) 2y +4y=y+2 (6)6x 2-5x- 25=0 提高训练 检测学习 【随堂检 测】 1.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ A.(2x — 2)(3x — 4)=0 B.(x+3)(x —1)=1 C.(x — 2)(x — 3)=2 X 3 ??? 2x — 2=0 或 3x — 4=0 /? x+3=0 或 x — 1=1 ? x— 2=2 或 x— 3=3 D.x(x+2)=0 2. 一兀二次方程 （ ? x+2=0 2 m-1) x +3mx+(m+4)(m-1)=0 有一个根为 0，求 m 的 【感悟收获】 1.分解因式法解一元二次方程的基本思路. 2.在应用分解因式法时应注意的问题. 3.分解因式法体现了怎样的数学思想？ 【拓展延伸】 1.方程 ax（x — b）+（b — x）=0 的根是（） 1 1 2 2 A.x 1=b,x 2=a B.x 1=b,x 2=a C.x 1=a,x 2= b D.x 1=a ,x 2=b 2.公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分栽种鲜花 （如 图），原空地一边减少1m,另一边减少2m,剩余空地面积为12帘，求原正方

因式分解 公式法(一)

因式分解——公式法（一） 一、教学目标： （一）知识与技能： 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义； 2.会用平方差公式进行因式分解； 3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． （二）过程与方法： 1.发展学生的观察能力和逆向思维能力； 2.培养学生对平方差公式的运用能力。 （三）情感与态度： 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。 二、教学重点和难点： 1.教学重点：利用平方差公式分解因式． 2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，?对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来． 三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维． 四、教学用具：多媒体 五、教学过程： 一知识回顾： 1 什么叫多项式的分解因式？ 2 分解因式和整式乘法有何关系? 3 我们学了什么方法进行因式分解？

练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 练习2把下列各式进行因式分解 （1）. a3b3-a2b-ab （2）. -9x2y+3xy2-6xy 二观察探讨，体验新知 在横线内填上适当的式子，使等式成立： （1）（x+5)(x-5)= - (2)(a+b)(a-b) = （） （3） x2-25 = （4） a2-b2= 知识探索 平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）． 评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）． 公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解 下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。 (1) m2－1 (2)4m2－9 (3)4m2+9 (4)x2－25y 2