数学建模练习题

数学建模习题

题目1

1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：

（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s

均无关的成本。又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示

为（α，β，γ为大于0的常数）。

（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。说明大

包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：

题目2

2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。又设单位时间的销售量为(p为价格)。今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为,

再求,的最优值。

解答：

由题意得：总利润为

,=+

=

由=0，，可得最优价格

,

设总销量为，

在此约束条件下的最大值点为

,

题目3

(与数量无关)，随3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c

机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利

加什么限制？

润为正值，需要对订购费c

解答：

设订购量为u，则平均利润为

u的最优值满足

最大利润为.为使这个利润为正值，应有

.

题目4

4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

解答：

雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，

，可得。雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以=，而.由以上关系得.

题目5

5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解答：

（1）设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为（百万元），按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型

s.t.

，即

，即

用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。

（2）由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投

资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分

别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

（3）由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改

变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C

的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

题目6

6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。问应如何安排生产？

解答：

设分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，分别是产品B中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为.优化目标是总利润最大，即

约束条件为：

1）原料最大供应量限制：

2）产品最大需求量限制：

3）产品最大含硫量限制：

对产品A，，即

对产品B，类似可得

4)其他限制：

用LINGO求解得到结果为：，其余为0；目标函数值为450.

题目7

7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？

解答：

设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量

确定，不妨设,则方程可离散化为

,可取或，N和k可由最小二乘法估计。

题目8

8.在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

（1）设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T

和E，使从T开始的捕获量最大。

解答：

（1）尾数n(t)满足得.每尾鱼重w(t)满足，不妨近似设w(0)=0，得. （2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则t T时有，

因此得，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重

w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是

，问题为求

使y最大，可用数值法求解。

题目9

9.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。

解答：

设,量纲表达式：，解得，故(是无量纲常数)。

题目10

10.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。

解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作.若不考虑自然资源对植物生长的限制，则模型为

平衡点为P

（0，0,0），.

1

题目11

11.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度

和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

最终的回归方程为,且

(如模型中加入项，其回归系数

置信区间均含零点)。表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身对他们投保的人寿保险额有显著影响。

题目12

12.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。

不同关系，引入一个虚拟变量D，令建立线性回归模型

，得到

产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。

从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型.

题目13

13.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.

比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2）直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例与折扣比例的logit模型。与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？

解答：

（1）记x为折扣比例，为使用折扣券人数比例，做logit变换

,普通的一元线性回归模型为,这里没有给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出

，通过检验，高度显著。

（2）利用glmfit命令可以得到,

拟合程度也非常好。（1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检验时，需要对误差项作较强的限制，而logit回归克服了这一缺陷。

又由,解得，故想要使用折扣券人

数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为10%。

题目14

14.“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。

（1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。

解答：

（1）这个故事中还隐含了以下信息：田忌的每一等级的马都不如齐王的同等级的马，但田忌的上等马胜过齐王的中等马，田忌的中等马胜过齐王的下等

马。每人每一等级的马只允许出场一次(例如每人每一等级的马只有一匹，且每匹马只允许出场一次)。此外，

1)如果齐王的马的出场顺序总是固定的（或者出场顺序在比赛开始前

就已经决定了且不可改变），而田忌知道这一点，那么齐王的行动

就已经是完全给定了，这时只有田忌需要决策，是一个简单的单决

策者的决策问题，可以用一般的优化方法进行建模和求解。不妨假

设齐王的马的出场顺序为（上、中、下），则田忌最优的应对行动

就是（下、上、中），这与孙膑给出的战略是一致的。

2)如果齐王的马的出场顺序并不总是固定的，每场比赛时齐王首先决

定自己派哪个等级的马出场，然后田忌才决定派自己的哪个等级的

马与之对抗，是一个完全信息动态博弈。田忌必须见机行事，根据

齐王出哪种马，决定自己出哪种马（孙膑给出的战略仍是田忌的最

优战略）

3)比赛开始前双方同时决定马的出场顺序并且以后不可改变。假设齐

王和田忌在决策时所拥有的信息是一样的，这时就构成一个完全信

息静态博弈。

（2）双方的行动空间为{（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、下、上），（下、上、中），（下、中、上）}。不存在纯战略纳什均衡。混

合战略纳什均衡为：双方各以1/6概率选择6个行动之一。

题目15

15.我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？

解答：

博弈参与人集合N={1,2，…，n}，每人的行动集合为A={0,1}，其中1为干预，0为不干预。若有人出面干预（这是参与人都希望的），设对每个参与人的价值为v（如由于不文明行为或违法行为得到阻止的心理安慰等）；若自己出面干预（这是参与人不希望的），设对每个参与人的成本为c（如遭到报复等）。可设v>c>0.假设所有参与人完全相同，每个参与人都希望最大化自己的效用v-c。如果没有人干预，每个人的效用均为0.

对每个参与人来说，如果其他人不出面干预，自己应该出面干预；如果有人出面干预，自己就不用出面干预了。因此，这个博弈存在纯战略纳什均衡：有且只有一个参与人出面干预，其他人不出面干预，从所有参与人整体上看这也是最优的方案。

但是，如果参与人之间没有信息的交流与行动上的合作，这一均衡是很难发生的，很可能要么没有人出面干预，要么有多人出面干预，这都不是纳什均衡。对这个问题，在不存在合作的情况下，假设所有参与人采用相同的战略是比较合理的，这样的战略组合如果构成纳什均衡，则称为对称纳什均衡。显然，这个博弈不存在纯战略对称纳什均衡，所以考虑混合战略对称纳什均衡：每个人的战略为以概率p采取行动1（以概率1-p采取行动0）。对一个参与者来说：如果他出面干预（采取行动1），其效用为v-c。

如果他不出面干预（采取行动0），有两种可能：其他人也都不出面干预（可能性为），其效用为0；其他人至少有一人出面干预（可能性为

），其效用为v。因此他不出面干预时的期望效用为

。

当出面干预与不出面干预的效用相等时，他就没有动机改变他的战略了。所以，纳什均衡满足的条件可以很简单的从等式得到，即.

题目16

16.同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？

解答：

将海滨浴场的海滩近似看成一条线段，售货亭位置的选择空间记为[0,1]区间。设两售货亭的位置分别位于，其中点为

.假设顾客是均匀分布的。则售货亭1会吸引m左侧的顾客，售

货亭2会吸引m右侧的顾客。于是售货亭1、2的效用（份额）分别是：

。

容易证明唯一的纯战略纳什均衡为.即双方“扎堆”于区间中点。

题目17

17.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。

解答：

设三派的席位分别为,记（奇数）。任一派不能操纵表

决，即，于是，即任两派的席位过半数。显然三派的权重都是一样的，各占1/3.

题目18

18.在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd），混种H（dr）和劣种R（rr）。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。

解答：

状态定义为，用混种交配时，转移概率矩阵为

由P2>0知，马氏链是正则链，稳定状态向量为w=(1/4,1/2,1/4).优种（D）和混种（R）出发的首次平均转移次数分别为4和2.

用优种交配时，转移概率矩阵为，i=1(D)是吸收状态，，马氏链是吸收链。

由.知由i=2(H),i=3(R)出发，变为i=1(D)的平均转移次数分别为2和3.

题目19

19.一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。

（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。

（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。

解答：

（1）记时刻t的贮存量x(t),单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u(t)和v(t),则

设预先给定的生产率和贮存量分别为和，则在时间T内u(t)和x(t)与和

误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为

若设t=0和T=0的贮存量为0，则

化简得

(2)当销售量（常数）时，欧拉方程为

解得

化简得

在T很大的情况下，最后一项可忽略，于是

即生产率u可以由贮存量x直接确定。

题目20

20.遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。

解答：

仅仅北极冰盖融化对海平面的直接影响可能较小，而引起其他冰块融化的间接影响会是决定性的。可以分别对各个冰块提升海平面的影响建模，用常微分方程预测发生改变的速度。

对于小的冰盖和冰川用全球平均温度对海平面改变影响的模型，参数为融化对温度的敏感度等，对参数的不同取值计算50年后海平面的升高。对于大冰原考虑受热体积膨胀引起海平面的升高。一种计算结果是50年后升高20-30cm。

对佛罗里达州沿岸海平面升高1个单位等价于海沿岸水平损失100个单位。在最坏的情况下，到2058年几乎将损失27m陆地，会失去大多数较小的岛屿及沙滩，许多城市的港口都会遭到损失。讨论对物种和生物多样性、气候、旅游业、食品业及全球变暖的影响。

题目21

21.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。

解答：

假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系

是，所以饲养食物量.

题目22

22.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。

解答：

（1）设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为人，4个季度开始时保姆总数量分别为人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整。4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15,0,59人。

上面的模型中没有要求取整数，是因为保姆数量较大，可以近似看做实数处理。此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求

为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超过实际

需要的数量，从而难以找到合理的整数解。

由以上结果中约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800人日和936人日。

（2）设4个季度开始时公司招聘的保姆数量分别为人，4个季度结束时解雇的保姆数量分别为人，4个季度开始时保姆总数量分别为人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整得到，第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解聘15人；第4个季度开始时新招聘72人。目标函数值为465.1218，比不允许解聘时数量略有减少。

题目23

23.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。

（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。

解答：

设t时刻采用新技术的人数为x(t).

(1)指数模型

(2)Logistic模型,N为总人数。

(3)广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技

术的人数成正比，在模型（2）的基础上，有.

题目24

24.考虑阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

解答：

记阻尼摆周期t，摆长l，摆的质量m，重力加速度g，阻力系数k，[k]=MT-1.

设,可得，做物理模拟的比例模型时，设g 和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,,l,,m,,那么只要,就有.

题目25

25.某电力公司经营两台发电站，发电站分别位于两个水库上。已知发电站A可以将水库A的的水转换为400千度电能，发电站B只能将的水转换为200千度的电能。发电站A,B每个月的最大发电

能力分别是60000千度、35000千度。每个月最多有50000千度电能够以200元/千度的价格售出，多余的电能只能够以140元/千度的价格售出。

水库A,B的其他有关数据如表5.（单位）.

请你为该电力公司制订本月和下月的生产经营计划。（千度是非国际单位制单位，1千度=）

假设水源流入水量是在每个月开始发生的，根据题中的数据，水库中的水应允许不发电而直接放走。

设分别为本月和下月水库A,B供应电站A,B发电的水量，

分别为本月和下月从水库A,B直接放走的水量，

分别为本月和下月结束时水库A,B的蓄水量。用分别表示本月和下月以高价（200元/千度）售出的电量，分别表示本月和下月以低价（140元/千度）

售出的电量。

优化目标为

约束条件有

1）每个月的发电量等于当月卖出的电量：

2）水量守恒约束：

3）发电能力限制：

4）水库蓄水量限制：

5）高价电量的限制：

注意到总发电量中尽量以高价卖出，以上约束可以保证只有时才有可能有，只有.

水库A供应电站A发电的水量本月和下月均为，水库B供应电站B发电的水量本月和下月分别为和；本月和下月以高价售出的电量均为50000千度，本月和下月以低价售出的电量分别为45000和189000千度；总收入527.6元。

大学生数学建模竞赛组队方案

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：成都纺织高等专科学校 参赛队员(打印并签名) ：1. XXX（机电XXX） 2. XXX国贸XXX） 3. XXX（电商XXX） 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 06 月 06 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

目录 一、问题的重述 (1) 1.1 背景资料与条件 (1) 1.2 需要解决的问题 (1) 二、问题的分析 (2) 2.1 问题的重要性分析 (2) 2.2问题的思路分析 (3) 三、模型的假设 (4) 四、符号及变量说明 (4) 五、模型的建立与求解 (4) 5.1建立层次结构模型 (4) 5.2构造成对比较矩阵 (5) 5.3成对比较矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法 (6) 5.4一致性检验 (7) 5.5层次分析模型的求解与分析 (8) 5.5.1 构造成对比较矩阵 (8) 5.5.2计算25优秀大学生的综合得 (9) 六、模型的应用与推广 (11) 七、模型的评价与改进 (12) 7.1模型的优点分析 (12) 7.2模型的缺点分析 (12) 7.3模型的进一步改进 (12) 八、参考文献 (13) 附件一 (14) 附件二 (16)

大学生数学建模技能测试题

大学生数学建模技能测试题 考虑现实世界问题(不要求解答): 在一条新公共汽车路线上，要沿路设置公共汽车站且每个车站都需要遮雨棚。公交公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过公交车的要求。请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？ 在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要? A.假设仅仅能建一个遮雨棚 B.假设路是平直的 C.假设晴天是雨天的两倍 D.假设公共汽车运行的是半小时的时间表 E.假设顾客不会走很远的路去乘车 2考虑现实世界问题(不要求解答): 沿一条新电车路线，安置电车站。且每个车站都需要遮雨棚。电车公司希望这种服务既要满足顾客的需求同时又不能超过电车的要求。请问车站设置在什么位置，才能使尽可能多的人享受到这种服务？ 在设计一个简单的数学模型时，您认为以下的假定哪个最不重要? A.假设顾客不会走很远的路去乘电车 B.假设电车运行的是20 分钟的时间表 C.假设电车线是单轨道 D.假设电车司机能从电车的前后都可以驾驶 E.假设电车站可以设置在任何位置。 3考虑现实世界问题(不要求解答): 一个步行者要穿过一条交通繁忙的马路，假设马路是一条直的单行机动车道。 在设计一个是否需要设置人行横道的简单数学模型时，您认为以下假定哪个最不重要? A 横穿马路将由行人通过按钮来控制 B 交通流量是恒定的 C 车流速度是常数并且等于限制速度 D. 行人以恒定的速度通过马路 E. 行人不会走很远路来由此穿过马路 4考虑现实世界问题(不要求解答) 自行车轮子的最佳尺寸是多少? 以下哪个问题最能说明骑车的稳定性？ A 轮子与脚蹬间有链条相连吗? B 骑车人有多高? C 自行车传动装置吗? D 能骑上去的最高路缘是多少？ E. 地形情况怎样？

数学建模练习题

数学建模试题 1、新工人的学习曲线 在电冰箱、电视机、汽车等行业中，装配工人的工作是一种重复性的熟练劳动。在这些行业中，新工人的学习过程如下：刚开始时由于技术不熟练，生产单位产品需要较多的劳动时间，随着不断的工作，新工人的熟练程度逐步提高，生产单位产品所需的劳动时间越来越短；当工人达到完全熟练程度以后，生产单位产品所需要的劳动时间就会稳定在一个定值。 纺织厂招收一批新工人学习1511型织布机的操作。观察工人的学习过程发现，当累计织完25匹布以后，工人织每匹布需要用16小时；当累计织完64匹布时，工人织每匹布用10小时.已知熟练工人织每匹布用8小时，是确定出新工人的学习曲线，并计算新工人用多少时间才能达到熟练工人的程度。 2、乙酸回收的最好效果 在,A B 两种物质的溶液中，我们想提取出物质A ，可以采取这样的方法：在,A B 的溶液中加入第三种物质C ，而C 与B 不互溶，利用A 在C 中的溶解度较大的特点，将A 提取出来。这种方法就是化工中的萃取过程。 现有稀水溶液的乙酸，利用苯作为溶剂，设苯的总体积为m 。进行3次萃取来回收乙酸.问每次应取多少苯量，方使从水溶液中萃取的乙酸最多？ 3、陈酒出售的最佳时机 某酒厂有批新酿的好酒，如果现在就出售，可得总收入050R =万元，如果窖 藏起来待来日（第n 年）按陈旧价格出售，第n 年末可得总收入为0R R =元。而银行利率为0.05r =。试分析这批好酒窖藏多少年后出售可使总收入的现值最大。 4、电子游戏中的数学 近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。 在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。下面是一份典型的奖金分配表： 牌型 奖金（元） 同花大顺（10到A ） 800 同花顺 50 四张相同点数的牌 25 满堂红（三张同点加一对） 8 同花 5

全国大学生数学建模竞赛的准备方法

全国大学生数学建模竞赛的准备方法 全国大学生数学建模竞赛于每年9月上旬（今年是9月7日）举行。但是在此之前，需要做好哪些准备，让各个参赛队员在竞赛中做到有备无患呢？在总结过去多年培训指导各种数学建模竞赛的基础上，仅就个人观点，介绍一些关于如何准备数学建模竞赛的经验和体会，仅供参考。在这里主要向大家介绍竞赛的基本情况，包括如何组队、如何选题以及在竞赛中如何合理分配时间。通过本次学习，希望大家能够了解数学建模竞赛的基本情况，为全国大学生数学建模竞赛以及其他各类数学建模竞赛做好准备。 一、如何组建优秀数学建模队伍 进入大学阶段参加各种科技竞赛，可以体会到一种和中学竞赛不同的感受，这种感受来自团队合作。以前的各项赛事都是以个人为单位参加竞赛，它们都是考查个人的能力。但是在大学中，由于难度和任务量的加重以及对团队合作精神的关注，因此大部分的赛事都是以团队为单位参加的。竞赛在考查个人能力的同时，还考查团队成员的合作精神。在数学建模竞赛中，团队合作精神是能否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要分工合作、相互支持、相互鼓励。从历年的统计数据可以看出，竞赛成绩优秀的队员往往并不是每个人在各个方面都特别擅长的队伍，而是团队相处得最融洽的队伍。从这一点也可以看出团队合作的重要性。 在竞赛的过程中，切勿自己只管自己的那一部分，一定要记住这是一个集体的竞赛。很多时候，往往一个人的思考是不全面的，只有大家一起讨论才有可能把问题搞清楚。因此无论做任何事情，三个人一定要齐心才行，只靠一个人

的力量，要在3天之内写出一篇高水平的论文几乎是不可能的。让三人一组参赛一方面是为了培养合作精神，其实更为重要的原因是这项工作确实需要多人合作，因为一个人的能力是有限的，知识掌握也往往是不全面的。一个人做题，经常会走向极端，得不到正确的解决方案。而三个人相互讨论、取长补短，可以弥补一个人所带来的不足。 在队伍组建的时候，需要强调“队长”这个名词概念。虽然在全国大学生数学建模竞赛中并没有设立队长，作为队长在获得的证书上也没有特别标注。但是在队内设立“队长”是非常有必要的。因为在比赛中可能会碰到各种突发状况，队长是很重要的，他的作用就相当于计算机中的CPU，是全队的核心。如果一个队的队长不得力，往往影响一个队的正常发挥。竞赛是非常残酷的，在3天3夜（72h）的比赛中，大家睡眠时间都得不到保障，怎样合理安排团队时间就是队长需要做的事情。在比赛过程中，由于睡眠不足，大家脾气都会很急躁。在这种情况，往往会为了一些小事而发生争吵，如果没有适当的处理，有些队伍将会放弃比赛，而队长就应该在这个时候担起责任。 在明确“队长”这个概念后，接下去谈谈怎样科学选择队友。在数学建模竞赛中，题目要求完成的工作量是很大的，因此这项任务是必须分工完成的，各有侧重、相互帮助，这样才能获得好成绩。而科学地选择队友则显得非常重要，也是走向成功的第一步。一般情况下选择队友可以从以下几个方面考虑着手： 1. 在组队的时候需要考虑队伍成员的多元化，尽量和不同专业、不同特长的同学组队。因为同系同专业甚至同班的话大家的专业知识一样，如果碰上专业知识以外的背景那会比较麻烦的。所以如果是不同专业组队则有利的多。因为数学建模题有可能出现在各个领域，这也是数学建模适合各个专业学生参加的原因所在，也是数学建模竞赛赛事的魅力所在。

大学母亲节活动策划书(完整版)

大学母亲节活动策划书 大学母亲节活动策划书 我们在拥抱明天,母亲却在积累沧桑 而我们是那么容易疏于向那暖暖的三春阳光颔首致意 …… 活动宗旨： 用一颗感恩的心来回报母亲 活动目的： a.了解母亲节的由来 b.为母亲送上祝福 .想像母亲为你做的一切，记得要爱自己的妈妈 活动5月14日 活动地点:孝感学院 参与人员： 全体学生（自愿参加，不作要求） 负责部门： 校学生会 咨询电话： 活动实施流程： 1.5月14日 7： 00 东区体育场举行升国旗仪式，并宣布“母亲 节大学校园活动”正式开始。 2．5月14日 8： 00 每个人都有很多想对母亲说而没有说出的话，

在这样一个日子里，每个人都有那么的爱需要表达，每个人都有那么多 的祝福需要表达，我们将用思念之情写满爱和祝福的卡片帖在林荫道两 边的树上，来见证我们对母亲的爱和祝福。 3．5月14日 8： 40 东区体育场演讲活动表达对母亲的思念 之情，感激之情 4．5月14日 10： 40 东区体育场亲情连线活动现场抽号器随 机抽取10个学号，被抽中者可以用中国联通孝感分公司提供的电话给 自己的母亲打电话，要求在十分钟之内将自己内心最想对母亲说的话告 诉母亲 5．5月14日 14： 00 东区篮球场羽毛球比赛参赛选手由各院 系，12个名额。冠军奖励面值200元的中百仓储购物券，亚军奖励面值100元的中百仓储购物券，季军奖励面值50元的中百仓储购物 券 6． 5月14日 14： 00 东区体育场书法大赛，参赛选手由各院系

，3 0个名额。一等奖一名，奖励面值200元的中百仓储购物券。 二等奖两名，奖励面值100元的中百仓储购物券。三等奖三名，奖励 面值50元的中百仓储购物券 7. 5月14日 14： 00 西苑食堂互动有奖问答活动 8.5月14日： 00 东区篮球场观看由中国联通孝感分公司举 办的大型歌舞晚会。 学生会成员工作原则： 团结奉献务实高效 细则： 1.整个活动中不要提及他人隐私，对他人隐私进行保密 整个 活动要本着公平公正原则 3.周到服务，人性化服务 4.他人的疑难迅速 解决 5.做好与助商之间的协调工作 前期工作： a.收集给母亲写的信，并由中百仓储助寄出 b.准备好活 动中要用到的所有器材、资料 .活动宣传，在各处的宣传栏贴出宣传

数学建模习题

数学建模与数学实验课程练习 练习集锦 1简述数学建模的一般过程及建模过程中需要注意的问题。 2 简述数学模型及数学建模的特点。 3 简述数学建模的常用分类方法。 4求方程 06 /12 625 .05 .04 )(=------=x x x x f 的模最大的根的近似 值（精确到小数点后两位）。 5在抢渡长江模型中，如果水流速度 1.8/v m s =为常数，人的游泳速度 1.5/u m s =为常数，江面宽度为1200H m =，终点位置在起点下游 1000L m =处的条件，确定游泳者的最佳游泳路径及最短游泳时间。 6沿江的某一侧区域将建两个水厂，在江边建一个取水口。现需要设计最优的管线铺设方案，通过管线从取水口向水厂送水。水厂与江岸的位置见右图。 如果不用共用管线，城区单位建设费用是郊区的2倍。 （1） 对于最优方案，用α表示,βγ。 （2） 求最优取 水口位置。 7在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是成对比较矩阵 (,0) P x

31/52a b P c d e f ?? ??=?? ???? ， （1）确定矩阵P 的未知元素。 （2）求P 模最大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 8在层次分析法建模中，我们介绍了成对比较矩阵概念，已知矩阵P 是三阶成对比较矩阵 322P ? ???=?????? ，（1）将矩阵P 元素补全。 （2）求P 模最 大特征值。 （3）分析矩阵P 的一致性是否可以接受（随机一致性指标ＲＩ取）。 9考虑下表数据 (1)用曲改直的思想确定经验公式形式。 （2）用最小二乘法确定经验公式系数。 10考虑微分方程

全国大学生数学建模竞赛论文

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。

大学生数学建模练习题

课题1. 计划生育政策调整对人口数量的影响 人口的数量和结构是影响我国经济和社会发展的重要因素。从20世纪70年代以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。经过30多年的努力，我国有效地控制了人口的增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。 针对我国老龄化比例不断提高等情况，2013年12月，第十二届全国人大常委会第六次会议表决通过了《关于调整完善生育政策的决议》，开放单独二胎政策。2015年10月，十八届五中全会决定，全面放开二胎政策。至此，实施了30多年的独生子女政策正式宣布终结。只要是合法的夫妻就享有生育二胎的权利，不再受“单独二孩”政策或“双独二孩”政策的限制。 收集数据，建立模型，根据已经出台的具体政策、独生子女人数、婚姻情况、生育意愿等分析和预测计划生育政策调整后对我国或某一个省、市、自治区人口数量变化的影响。 课题2. 学生下课时间调整对就餐压力的影响 科技大学现有在校生4万余人，目前能供学生就餐的餐厅只有三个：学者餐厅、学海餐厅、学苑餐厅，想必大家都有过在餐厅排队就餐以及找座难的经历，就餐人员流动情况决定着餐厅的总接纳量。同学们在下课后大都会第一时间奔向餐厅，这就使得本就人满为患的餐厅更加超负荷运转。如果同学们的下课时间不同，就餐时间自然不同，必然加快餐厅的人员流动，进而大大缓解餐厅的运转压力。 下面请你建立数学模型解决以下问题： 1.选择合理的指标，构建评价体系，衡量目前我校餐厅的运转压力。 2.以缓解餐厅运转压力为目标，合理设置不同教学楼的下课时间。 3.试分析在你设置的各教学楼下课时间情况下，我校餐厅运转压力将发生

的变化。（模型所需数据可自行调查也可进行程序仿真） 课题3. 麻疹模型的分析 本世纪初期，在伦敦曾观察到这种现象：大约每两年爆发一次麻疹传染病。生物学家H. E. Soper 试图解释这种现象，他认为易受传染病的人数因人口中增添的新的成员而不断补充，因此，他假设： ???????+-=+-=)()()()((t)I(t))(t I t S t I dt t dI S dt t dS αβμα 其中α、β和μ都是正的常数。 1. 找出方程的平衡解； 2. 证明方程的初始值足够接近这个平衡解的每一个解(t)S 、I(t)，当t 趋于 无穷大时，都趋近于平衡解； 3. 当t 趋于无穷大时，方程的每一个解(t)S 、I(t)都趋于平衡解。所以，得 到结论：方程组不能解释是重复发生麻疹传染病这种现象。相反，它表明。这种疾病最终将趋于稳定状态； 4. 试改进该模型说明该周期现象。找一组相关的数据进行模拟，拟合方程的 参数使疾病爆发的周期与现实一致； 5. 对于麻疹考虑一些控制措施，对于每种控制措施给出相应的数学描述，研 究该系统的基本的动力学性质，最后比较各个措施的优缺点。 课题4. Fibonacci 数列的推广 Fibonacci 数列是一个很早的生态学模型，它的背景是兔子数量的增长。在描述兔子数量变化时有以下假设： ? 第一个月有一对刚出生的兔子； ? 兔子从第三个月后就可以生育；

数学建模 练习题1

2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。

二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重

从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重

通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为

数学建模练习试题

2011年数学建模集训小题目 1.求下列积分的数值解 ? +∞ +-?23 2 2 3x x x dx 2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ?=10 ),()(，画出 ]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。 3.画出16)5(2 2=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。 4.画出下列曲面的图形 （1）旋转单叶双曲面 14 92 22=-+z y x ； （2）马鞍面xy z =； 5.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。 6.（1）求函数x x y -+=12 ln 的三阶导数； 法一：syms x y dy; >> y=log((x+2)/(1-x)); >> dy=diff(y,3) dy = (6/(1-x)^3+6*(x+2)/(1-x)^4)/(x+2)*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)^2*(1-x)-2*(2/(1-x)^2+2*(x+2)/(1-x)^3)/(x+2)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^3*(1-x)+2*(1/(1-x)+(x+2)/(1-x)^2)/(x+2)^2 （2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。 7.求解非线性方程组 （1）?????=-+=-+060622x y y x （2）???=+=++5 ln 10tan 10cos sin y x y e y x 8.求函数186)(2 3-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。 9.某单位需要加工制作100套钢架，每套用长为2.9m ，2.1m 和1m 的圆钢各一根。已知原料长6.9m ，问应如何下料，使用的原材料最省。 10. 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A ，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目B ，从第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；

数学建模题目及答案

09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，

()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；

为什么要参加大学生数学建模竞赛

为什么要参加大学生数学建模竞赛 大学生数学建模竞赛是培养学生创新能力和竞争能力的极好的、具体的载体。 1.对于学校的领导(校长、教务处长等)来说，全心全意把学校搞好(高质量的教学、高百分比的就业率、高水平的教师队伍以及提高知名度等)肯定是他们追求的办学目标而且会采取各种措施。但是就选派学生参加大学生数学建模竞赛来说，不少领导(甚至数学教师)会非常犹豫：我们数学课时少，教学任务重，即使参加了，拿不到奖的话，不但不能提高学校的知名度，甚至会招致一些负面的议论等等。实际上，领导们有三个问题考虑不够，它们是： ⑴对数学的极端重要性要有充分的认识。学生将来的发展和成就是和他们坚实的数学基础密切相关的。但是现在的数学教学确实有许多不足之处有待改革，特别是怎么做到不仅教知识，而且要教知识是怎样用来解决实际问题的能力是有待加强的。让部分师生参加到数学建模活动，特别是大学生数学建模竞赛肯定是有利于推动教学改革的。 ⑵ 办好学校的关键之一是提高教师的教学水平。怎样提高呢？鼓励教师组织学生参加大学生数学建模竞赛等数学建模活动，既可以帮助教师进一步了解怎样用数学来解决实际问题，更有助于数学教师到其他专业系科了解他们要用什么样的数学以及怎样用这些数学，互相学习，进行切磋，从而对怎样提高自己的教学水平，数学教学怎样更好为其他专业后继课，甚至对专业课题研究服务产生具体的想法，提出切实可行的措施，最终能够提高教师的专业水平和教学水平，从而也就提高了学校的水平。 ⑶ 学生要求参加大学生数学建模竞赛的积极性是很高的，关键是怎样组织好，培训好。实际上，即使是高职高专院校，也一定有一部分学生的数学基础是相当坚实的，他们之间又有一部分对数学，特别是用数学来解决实际问题有强烈的兴趣。为什么不组织他们参赛呢？培养一些数学基础好对应用又有能力的高职高专院校的学生，今后他们在工作中做出好成绩的可能性肯定会比较大。毕业生事业有成者多也标志了学校办得好、有水平。此外，对于怎样贯彻因材施教也会产生一些很好的想法。 2.对于数学教师来说，组织、指导学生参加大学生数学建模竞赛对自己也会有极大的好处。

全国大学生数学建模建模竞赛国家二等奖获得者心得体会

全国大学生数学建模建模竞赛国家二等奖获得者心得体会 来自09级金融工程一班的王景虹、朱婷婷、鲍坤三个同学参加了由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的“2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛”。最终在1251所高校，19490个对的近六万名大学生中脱颖而出，获得了国家二等奖和省级特等奖。 对于数学建模竞赛，我们的总体感觉这是一场勇敢者的游戏。竞赛的题目都有不小的难度，解决起来遭遇到的困难很多，敢于参加比赛，接受挑战的人都是勇敢者。数学建模的题目往往是从日常生活生产中提炼、抽象出来的。尽管题目已经得到了相关程度的简化，但是对于我们这些仍在学校里求学而并未遇到过如此复杂问题的学生来讲，并不简单。有时我们需要对海量的数据进行处理，有时我们面临的却是零数据，无论何种情形，问题的解决都很让人头疼。不过这并不要紧，因为我们是勇敢者，既然已经选择了挑战，无论多艰难都要坚持下去，绝不退宿。我们在纷繁复杂的题目中寻找规律，运用合适的数学工具加以解决；我们利用编写的计算机程序处理海量数据，利用从网络及各种文档中获得的资料对零数据问题进行数据扩充；我们对问题进行有效地分类，并逐个击破。虽然这是一件不轻松的任务，我们却应当有轻松的心态。我们要做到微笑的面对，冷静的分析，大胆地决策，干净利索地把活干完。对我们而言，参加数学建模竞赛是一次全方位的锻炼，我们非常珍惜这样的机会，努力使自己得到提高。 以上简单谈了我们对数学建模竞赛总体感受，下面我们从三个方面总结了一些心得体会，希望能够给今后的参赛者以借鉴。 一、团队协作精神 众所周知，数学建模竞赛要求三人组参加，而非个人参加，因此组建一个结构合理的团队显得非常重要。对于团队成员的构成，每个人都有不同的看法，很难说何为最佳，这里我们只是提点建议：如果一个队伍能够理工结合，成员中既有数学程度较好的，又有计算机应用水平较高的，这样的团队在竞赛中会比较有优势。原因其实很简单，即对数模问题的分析需要运用数学工具进行抽象，而问题的解决往往是用计算机编程来实现。除了有擅长数学和计算机的成员，我们认为，拥有较好写作能力的成员也是非常必要的。能写的人越多越好，因为竞赛时间紧张，而大家最终的成果就是一篇论文，所以大家都能写就会节省很多时间，使取得一个不错的成绩成为可能。论文不能只由一个人来写，而应由队伍中的所有同学共同完成，以体现每个人的特点、反映每个人的智慧，当然行文风格的统一也是必要的。 我们的团队构成是这样的：朱婷婷同学由于文字功底较强，在比赛中主要负责撰写论文；鲍坤同学由于思维活跃，在比赛中主要负责数学建模；王景虹同学由于计算机水平突出，在比赛中主要负责处理数据。虽然我们三个是同一个专业的，但是我们的思维并没有因此而局限，反而由于长期的配合，默契十足。遇到问题时，大家共同讨论，发表自己的见解并理解同伴的想法。最后将意见统一起来。有的时候即使感觉别人不对，若多数人意见统一了，也最好能同意别人的看法，这需要对队友充分的信任且具备否定自己的魄力。竞赛中的合作是一种艺术，只有大家不断的磨合，才能使得合作达到默契的程度。 二、练习 对于确定参加数学建模竞赛的队伍来说，练习是一种极为重要的事，必需非常重视。MIT有一句名言，叫做“Learning by doing “这句话很好的概括了练习的意义：我们要在不断的练习中学习并成长，使队伍得到磨合。练习时，如果能把几类常见的问题都训练到是比较好的，而且练习的时间能和竞赛基本保持一致就更理想了。 我们在大二上学期选修了数学建模的课程，通过一次竞赛选拔，进入了学校的建模队，大二下学期每周末到校本部学习了MATLAB和Lingo两个数学软件的应用，论文的写作等。

数学建模习题及答案

第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。

对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测

2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题

2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；

数学建模习题指导

数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-

第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p

数学建模入门练习题

《数学建模入门》练习题 练习题1：发现新大陆！ 发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？ 练习题2：棋盘问题 有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？ 练习题3：硬币游戏 如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B

地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？、 练习题5：登山问题 某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？ 练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。 此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答