高考数学选填压轴题(理科)含答案
高考理科数学选填压轴题训
题型一：集合与新定义
(2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝N
B ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}
C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝R
D ．A ＝Z ，B ＝Q
(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( )．B
A ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)?S
B ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈S
C ．(y ，z ，w)?S ，(x ，y ，w)∈S
D ．(y ，z ，w)?S ，(x ，y ，w)?S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。 题型二：平面向量
（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若
()c a b λμλμ=+∈R ，，则
λ
μ
= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |
＝1，则|c |的取值范围是( )．A
A ．
1
1] B ．
1
2] C ．[1
1] D ．[1
2]
解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，|c |
可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以
1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO
1，P ′O
1，故选A ．
(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .
若
|OP |＜
1
2
，则|OA |的取值范围是( )．D A
．0,2? ?
? B
．,22? ?? C
．2? ? D
．2
? ? 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．
由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2
＋y 2
＝x 2
＋(y －b )2
＝1.
所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2
≥0.
由|OP |＜
12，得(x －a )2＋(y －b )2
＜14
， 即0≤1－x 2＋1－y 2
＜14.
所以74
＜x 2＋y 2
≤2，即2<≤所以|OA |
的取值范围是2
? ?，故选D ． (2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP
＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12
(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若
1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2
（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角
为
6π，则||||
x b 的最大值等于________
。2 解：由已知得到：2
2
2
2
2
2
12||()||22
b b xe ye b x y xy ==+?=++??
22
2
2
2||
x x b
x x
=
=
+，设
22
min 2
1(1)4||
y x t t x b =∴++=∴的最大值为4，所以答案是2。
（2013安徽理9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足
60BAD ?∠=
2,OA OB OA OB ===则点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμ
λμ=++≤∈
所表示的
区域的面积是( )D
（A ）
（B ）
（C ） （D ）【解析】考察三点共线向量知识:
1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若P C B A .
在本题中，3
2cos 4cos ||||π
θθθ=?==??=?OB OA OB OA .
建立直角坐标系，设
A(2,0),).
(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=?=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S
题型三：线性规划
（2013北京理8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>??
+?
，
，表示的平面区域内存在点
()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）C A ．43??-∞ ???， B ．13??-∞ ??
?， C ．23??-∞- ???， D ．53?
?-∞- ?
??， (2013广东理13)给定区域D ：44,
4,0.x y x y x +≥??
+≤??≥?
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)
是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．6
（2013广西理15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面区域为.D 若直线
()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .[1/2,4]
题型四：基本不等式
(2013山东理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2
－3xy ＋4y 2
－z ＝0，则当
xy
z
取得最大值时，212
x y z
+-的最大值为( )．B
A ．0
B ．1
C ．9
4 D ．3
(2013天津理14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,
取得最小值. -2 题型五：三角函数与三角形
（2013广西理12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中不正确的是（ ）C
1||
2||a a b
+
（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2
y f x x π
==的图像关于对称
（C ）(
)f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 （2013全国一理15）设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=
__5
-
(2013全国Ⅱ理15)设θ为第二象限角，若π1
tan 42
θ??+
= ??
?，则sin θ＋cos θ＝
__. (2013重庆理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．C
A
B
． C
D
．1
解析：4cos 50°－tan 40°＝
4sin40cos40sin40cos40??-?
?
＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40?-??-?=
?? ＝2sin(6040)sin40cos40?+?-??
＝
12cos402sin40sin4022cos40??+??-?
=?
. （2013浙江理7）设0,P ABC ?是边AB 上一定点，满足AB B P 4
1
0=
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC P B PC ?≥?。则（ ）D A. 090=∠ABC B. 090=∠BAC C. AC AB = D.BC AC = 解：利用特殊值法可以解决，如CP AB ⊥或PB PA =即可求出答案。
（2013浙江理16）ABC ?中，0
90=∠C ,M 是BC 的中点，若3
1
sin =
∠BAM ，则=∠BAC sin ________
(2013辽宁理9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3
)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )．C
A ．b ＝a3
B ．
31b a a =+
C ．331()0b a b a a ?
?---= ??? D ．3310
b a b a a -+--=
解析：若B 为直角，则0OB AB ?=，
即a 2＋a 3(a 3
－b )＝0，
又a ≠0，故31b a a
=+
； 若A 为直角，则0OA AB ?=，即b (a 3－b )＝0，得b ＝a 3
；
若O 为直角，则不可能．故b －a 3＝0或b －a 3
－1a
＝0，故选C.
（2013湖北理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，
，第n 个三角形数为
2(1)11
222
n n n n +=+. 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 211
(,3)22N n n n =+， 正方形数 2(,4)N n n =，
五边形数 231
(,5)22
N n n n =-， 六边形数 2(,6)2N n n n =-，
……………………… 可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_____. 1000
题型六：概率统计
(2013四川理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )C
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
(2013重庆理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．590
（2013湖北理9）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为
X ，则X 的均值()E X =（ ）B
A ．126
125
B ．6
5
C ．
168
125
D ．
75
(2013辽宁理16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本
数据互不相同，则样本数据中的最大值为__________．11
(2013四川理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )C A.14 B.12 C.34 D.78 题型七：数列
（2013安徽理14）如图，互不-相同的点12
,,,
n A A X 和
12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，
且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。设.n n OA a =若
121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是______。
32n a n =-
【解析】 22
10011011)(a a
S S S S A B B A S O B A n n n n =+?
?++的面积为，梯形的面积为设.
4
1
)(
,32210==?a a S S .)(13232.)(3431)()1(2122122100+++++=+-=++?=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面
1
31
)(13113231077441)()()()()(
21121121243232221+=?+=+-??==?+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n *,231,1311N n n a a n a n n ∈-=?=+=?+且
(2013福建理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *
)，则以下结论一定正确的是( )．C A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m
B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m
C ．数列{c n }为等比数列，公比为2m q
D ．数列{c n }为等比数列，公比为m
m q
(2013广东理12)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝__________.20
(2013湖南理15)设Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn ＝(－1)nan －1
2n
，n ∈N*，则
(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________.(1) 116-(2) 1001()123
-
(2013全国Ⅱ理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．-49
解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109
102
a d ?＋
＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514
152
a d ?+
＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，2
3
d =，
所以S n ＝2(1)2110
32333
n n n n n --+?=-.
令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220
'()3
f n n n =-.
令f ′(n )＝0，得n ＝0或20
3
n =.
当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203
n =时，f (n )取最小值，
而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.
（2013全国一理12）设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，
n =1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n
2
，c n ＋1＝
b n ＋a n
2
，则( )B
A 、{S n }为递减数列
B 、{S n }为递增数列
C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增
数列
提示：特殊三角形法，如边为3，4，5的直角三角形，极限思想。 【解析】B
1111111111202b a c c a c c a c =->>∴->∴>且b 111111111120b a a c a a c b a c ∴-=--=->∴>>
11111111111222a b c a a c c a c a c -<∴--<∴>∴>又
11111111
2(2)
22
n n n n n n n n b c c a b c a b c a ++++++=
+∴+-=+-由题意，b 1120222n n n n n n n n b c a b c a a b c a ∴+-=∴+==∴+=
11111112(2)22
n n n n n n n n n
c b a b b
b c b a b a b ++++----=
∴--==-又由题意，
1
11111111
()()()22
n n n n b a a b b a b a -+∴-=-∴-=-- 11
111111111
()(),2()()22n n n n n b a b a c a b a b a --∴=+--=-=---
21111111111111333311()()()()()222
222n n n a a a
a S a a
b a a b a --????∴=
------+--???????? 222122*********()()()0)
4444n a a a b a b a -????=---->????????
单调递增（可证
题型八：立体几何
（2013安徽理15）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）。①②③⑤ ①当1
02
CQ <<时，S 为四边形 ②当1
2CQ =
时，S 为等腰梯形 ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足111
3C R =
④当3
14CQ <<时，S 为六边形
⑤当1CQ =时，S 的面积为6
2
（2013北京理14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC
的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ．
25
5
（2013广西理16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，
3
602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，
则球O 的表面积等于 .
16π (2013湖南理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．C
A ．1
B ．2
C ．21-
D ．21+
(2013辽宁理10)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝
E
P D C
B 1
B 1
A 1
4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )．C
A
． B
．．13
2 D
．（2013浙江理10）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。设
βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ）A
A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为060 解：设(),(),f P C f P D αβ==所以12(),()Q f C Q f D βα==，由已知得到：PC α⊥于
C ，P
D β⊥于D ，1CQ β⊥于1Q ，2DQ α⊥于2Q ，且12PQ PQ =恒成立，即1Q 与
2Q 重合，即当αβ⊥时满足；如图2所示：
题型九：平面几何
(2013福建理14)椭圆Γ：22
2
21x y a b +=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为
2C ．若直线y
x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于
1
(2013广东理7)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3
2
，则C 的方程是( )．B
A
．2214x = B ．22145x y -= C ．221
25x y -=
D
．22
12x -=
（2013广西理11）已知抛物线
()2:82,2,C C y x M =-与点过的焦点，
k C 且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（ ）D
（A ）
1
2
（B
）2 （C
（D ）2
(2013辽宁理15)已知椭圆C ：22
22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相
交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率e ＝_______.5/7
（2013全国一理10）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆
于A 、B 两点。若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )D A 、x 245＋y 2
36＝1
B 、x 236＋y 2
27
＝1 C 、x 227＋y 2
18
＝1 D 、x 218＋y 2
9
＝1
(2013全国Ⅱ理11)设抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以
MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．C
A ．y 2
＝4x 或y 2
＝8x B ．y 2
＝2x 或y 2
＝8x C ．y 2
＝4x 或y 2
＝16x D ．y 2
＝2x 或y 2
＝16x
(2013山东理11)抛物线C 1：y ＝
2
12x p
(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．D
A
．16 B
．8 C
．3 D
．3
（2013浙江理9）如图，21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是( ）D
A. 2
B. 3
C.
23 D.2
6 （2013浙江理15）设F 为抛物线x y C 4:2
=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C
于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线的斜率等于________。
1±
解：由已知得到：(1,0)F ，设:(1)l y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由
22222
122
2(1)2(2)2(2)=04y k x k k x x k k x x k y x
=+?-∴+-+∴+=?=?，所以 221212222222
,(1)(,)22x x x x k k k Q k k k k
++--=+=∴，由已知得到 22
222422211
||4(1)()401k QF k k k k k
-=?-+=?-=?=±，所以答案是1±
(2013湖南理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．D
A ．2
B ．1
C ．83
D ．4
3
解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．
则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．
设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33??
???
. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4
＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，
∴12P D P D k k =，
即44
43
344433
m m -+=
+-， 解得，m ＝4
3
或m ＝0.
当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝
43
. (2013全国Ⅱ理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．B
A ．(0,1) B
．11,22??- ? ??
? C
．11,23??- ? ?? D ．11,32??????
(2013四川理15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) ①④ 题型十：函数与导数
（2013安徽理8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间
[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是( )B （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
（2013全国一理11）已知函数f (x )＝?
??
??
－x 2
＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取
值范围是( )D
A 、（－∞，0]
B 、（－∞，1]
C 、[－2，1]
D 、[－2，0] (2013天津理7) 函数的零点个数为（ ）
2
0.5()2|log |1x f x x =-
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
（2013安徽理10）若函数3
2
()=+ax +b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程2
3(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是( )A （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【解析】 使用代值法。
设c x x x x f x x x x x f +-+
=?-+=+-=62
3)(633)2)(1(3)('2
32. ，令2
9)(2,10)('1121=?=?-==?=c x x f x x x f 1
)1()12()2,()(上单调递增，极小值为，上单调递减，在，上单调递增，在在∞+---∞?x f ..3)()(0))(('21个根解得有一个根，共解得有二个根，由x x f x x f x f f ==?= (2013福建理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．D A ．?x ∈R ，f(x)≤f(x 0) B ．－x 0是f(－x)的极小值点 C ．－x 0是－f(x)的极小值点 D ．－x 0是－f(－x)的极小值点
(2013四川理14)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2
－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．(-7,3)
(2013全国Ⅱ理10)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．C A ．?x 0∈R ，f(x 0)＝0 B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形 C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0
（2013浙江理8）已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k
x
，则( ）C
A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值
D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值
（2013全国一理16）若函数f (x )=(1－x 2)(x 2
＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.16
【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则 0=(1)(3)f f -=-=2
2
[1(3)][(3)3]a b ----+，
0=(1)(5)f f =-=2
2
[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15， ∴()f x =2
2
(1)(815)x x x -++，
∴()f x '=2
2
2(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=3
2
4(672)x x x -++-
=4(2)(22x x x -++++-
当x ∈(－∞
,2-∪(－
2, 2-时，()f x '＞0， 当x ∈
(2-－2)∪
(2-+∞)时，()f x '＜0，
∴()f x
在（－∞，2--
2--2）单调递减，在（－2
，
2-+）单调递增，在
（2-+，+∞）单调递减，故当x
=2-和
x
=2-+
(2f --
=(2f -=16.
(2013辽宁理11)已知函数f (x )＝x 2
－2(a ＋2)x ＋a 2
，g (x )＝－x 2
＋2(a －2)x －a 2
＋8.设
H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，
min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )．B
A ．16
B ．－16
C ．a 2
－2a －16 D ．a 2
＋2a －16 解析：∵f (x )－g (x )＝2x 2
－4ax ＋2a 2
－8 ＝2[x －(a －2)][x －(a ＋2)]，
∴()1(),(,2],(),(2,2],(),(2,],f x x a H x g x x a a f x x a ∈-∞-??
∈-+??∈++∞?＝
()2(),(,2],(),(2,2],(),(2,],g x x a H x f x x a a g x x a ∈-∞-??
∈-+??∈++∞?
＝
可求得H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝－4a ＋12， ∴A －B ＝－16.故选B.
(2013天津理8) 已知函数. 设关于x 的不等式 的解集
()(1||)f x x a x =+()()f x a f x +<
为A , 若, 则实数a 的取值范围是（ ）A
(A)
(B)
(C)
(D)
11,22A ??
-????
?
????
??
???
??? ?????
?
??- ??
∞
（2013湖北理10）已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）D
A ．1()0f x >，21
()2f x >-
B ．1()0f x <，21
()2f x <-
C ．1()0f x >，21
()2
f x <-
D ．1()0f x <，21
()2
f x >-
解析： ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率
01x k =
，切线方程为11
0-=
x x y . 切点在切线上，则010
00=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=?=x x ，即切点为（1，0），切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜
2
1
. .则这函数的两个极点21,x x 满足2110x x <<<，所以)()1()(21x f f x f <<，而)0,2
1
()1(-
∈-=a f ，即)()(21x f a x f <-<，所以2
1
)(,0)(21-> (2013四川理10)设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )A A ．[1，e] B ．[e －1 －1,1] C ．[1，e ＋1] D ．[e －1－1，e ＋1] 解析 由于f (x )＝ e x ＋x －a (a ∈R )在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数 f －1(x )存 在，由于y 0∈[－1,1]，且f (f (y 0))＝y 0，∴f －1(f (f (y 0)))＝f －1(y 0)，即f (y 0)＝f －1(y 0)，∴y ＝f (x )与y ＝f －1(x )的交点在y ＝x 上．即 e x ＋x －a ＝x 在x ∈[－1,1]上有解，即 e x ＋x －a ＝x 在 [0,1] 上有解．∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]，a ′＝e x －2x ＋1，当0 (2013辽宁理12)设函数f (x )满足x 2 f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝2 e 8 ，则x ＞0时， f (x )( )．D A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 解析：令F (x )＝x 2 f (x )， 则F ′(x )＝x 2 f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ， F (2)＝4·f (2)＝2 e 2 . 由x 2 f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ， 得x 2 f ′(x )＝e x x －2xf (x )＝2e 2x x f x x -()， ∴f ′(x )＝3 e 2x F x x -() . 令φ(x )＝e x －2F (x )， 则φ′(x )＝e x －2F ′(x )＝2e e (2) e x x x x x x --=. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2 －2F (2)＝0. ∴φ(x )≥0. 又x ＞0，∴f ′(x )≥0. ∴f (x )在(0，＋∞)单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值． (2013湖南理16)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0. (1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ， b ， c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；{|01}x x <≤ (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①②③ ①?x ∈(－∞，1)，f (x )＞0； ②?x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则?x ∈(1,2)，使f (x )＝0. (2013山东理16)定义“正对数”：ln ＋ x ＝0,01, ln ,1, x x x < ①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋ (a b )＝b ln ＋ a ； ②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋ b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋ a b ?? ??? ≥ln ＋a －ln ＋ b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋ a ＋ln ＋ b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号) ① ③ ④ 补充 1.设p ：f (x )＝x 3 ＋2x 2 ＋mx ＋1在R 上单调递增；q ：m ≥8x x 2＋4 对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )B A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y ∈S,必有xy ∈S ”,则当 2 211a b c b =??=??=? 时,b+c+d 等于( )B A.1 B.-1 C.0 D.i 3.已知复数z=x+yi 且 则 y x 的最大值是________;最小值是 ________. 4.设,1>m 在约束条件?? ? ??≤+≤≥1y x mx y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值 范围为（ ）A A.()21,1+ B. () +∞+,21 C. ()3,1 D. ()+∞,3 5．若直线)0,0(02>>=+-b a by ax 和函数)1,0(1)(1 ≠>+=+a a a x f x 的图象恒过同 一个定点，则当 b a 11+取最小值时，函数)(x f 的解析式是________．1)222()(1 +-=+x x f 6.在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，AC=2,设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，λ 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020 【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,，若1ABF ?为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x （其中321x x x <<），则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 （ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1- D ．1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点，记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??，则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== （1）求1n a 和4n a ； （2）设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. （1）求动点P 的轨迹方程； 学校 年级 姓名 装 装 订 线 一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足 ，则z= +的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3， 则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则 的取值范围是（ ） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．将函数 的图象向左平移 个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ] 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科） 目录（120题） 第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38 第十部分 算法（2 题）··········································21/40 第十一部分 交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分 参考答 案············································23/40 【说明】：汇编试题来源 河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。 第一部分 函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的 最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
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