ct原理及发展历程

第一讲概论

目录

第一讲概论 (1)

一、CT简介 (1)

1.1 什么是CT (1)

1.2 CT设备的构成 (2)

1.3 CT分类及部分性能指标 (3)

1.4 CT成像的特点 (3)

1.5 CT应用领域 (4)

1.6 CT发展简史 (4)

1.7 检测成像工程中心简史 (6)

二、X射线成像物理学 (8)

2.1 X射线的产生 (8)

2.2 X射线与物质相互作用 (8)

三、CT成像的数学模型 (10)

3.1 Beer定律 (10)

3.2 CT成像的连续数学模型 (11)

3.3 CT成像的离散数学模型 (12)

四、附录 (13)

4.1 CT图书 (13)

4.2 CT杂志 (14)

4.3 CT 会议 (15)

4.4 在线资源 (16)

一、CT简介

1.1 什么是CT

CT是Computerized Tomography或Computed Tomography的缩写。“C”就是“计算机化的”或是“计算的”。

我们看“T”或“Tomography”。

Tomography=tomos(slice, section)+graphein(draw)

所以，“Tomography”就是对断层进行绘图（成像）。Tomography是内视技术，即不打开物体就能看到物体内部的结构。具体的讲：

●目标：希望得到被测物体内部物理量B的分布。

●信息获取：用探测器探测一组物理量A。

●信息处理：根据物理量A与物理量B之间的物理关系A=F(B)，求解出物理量B

的分布。

CT就是计算机断层成像。广义上讲，以下技术均属于计算机断层成像技术：

●X射线（γ射线）断层成像技术（即狭义CT）

●激光CT成像（Optical Computer Tomography）

●核磁共振断层成像技术（Magnetic Resonance Imaging, MRI）

●超声成像技术（Ultrasonic Tomography, UT）

●电阻抗成像技术（Electrical Impedance Tomography）

●红外成像技术（Infrared Imaging）

●……

而本课程主要介绍X射线（γ射线）断层成像技术（即狭义CT，XCT）。即便是狭义的XCT，根据射线产生方式、获得信息内容、所关心物理过程等的不同，又分为

●透射式CT （Transmission CT）

◆吸收衬度CT成像（Attenuation contrast CT, 即通常CT）

◆相位衬度CT成像（Phase contrast CT）

●发射式CT（Emission CT）：PET，SPECT

●散射式CT（Scattering CT）

本课程仅介绍吸收衬度CT。

1.2 CT设备的构成

前面提到，CT成像涉及“信息获取”和“信息处理”两个过程，根据需要，无论是工业CT或是医用CT，都包含以下组成部分：

●射线发生器

●射线探测器

●机械及控制系统

●计算机（控制/存储/处理）

1.3 CT分类及部分性能指标

可根据不同准则对CT进行分类：

●纳米焦点CT：对象10-30um，分辨率30-160nm

●微焦点CT：对象1-30mm，分辨率0.5-5um

●医学CT：对象(人)300-800mm，分辨率0.3mm-3mm

●工业CT：对象(构件)100-500mm，分辨率0.1-0.5mm

●大型工业CT：构件300-1000mm，分辨率0.5-1.0mm

●超大型工业CT：构件1000-2000mm，分辨率1.0mm左右

●工程CT：桥梁、隧道等，分辨率1米-几米

●地学CT

●天体CT

著名的医学影像厂商：GPS（GE，Philips，Siemens），Toshiba 著名的工业CT厂商：YXLON，GE，SkyScan，ZEISS(XRadia)，岛津

1.4 CT成像的特点

●非接触、无损成像

●无影像重叠

●密度和空间分辨率高

●数字图像，易于处理、存储、传输

1.5 CT应用领域

●医疗生物（医疗诊断、小动物成像）

●工业（国防：导弹、炮弹、飞机发动机叶片、火箭推进器、气缸...；民用：机

械部件、电子器件、陶瓷、…）

●材料（分子结构、岩心、管道、…）

●安全检查（非金属武器、毒品、炸药…）

●化石成像（古动植物三维结构成像）

●CT原理也用于：天体成像、地学成像（地震、地质构造）、工程成像（桥梁、

隧道、水坝、物探）

1.6 CT发展简史

国内情况

1980’s初期开始CT理论与应用研究

较早开始CT研究的单位：

上海交通大学（庄天戈）

北京信息工程学院（邱佩璋）

清华大学（安继刚、王经谨、张朝宗）

东南大学，东北大学，重庆大学

目前活跃的研究单位：

清华大学（康克军、陈志强、李元景、刘以农、张丽、邢宇翔、赵自然等，威视），东北大学（郑全录、江根苗，东软），重庆大学（王珏、曾理，ICT中心），中北大

学（韩炎、潘晋孝、桂志国等），北京大学（姜明、杨建生、周铁），首都师范大学，中科院高能物理所（魏龙、姜晓明、朱佩平、单保慈、魏存峰等），上海交通大学（赵俊），西安交通大学（牟轩沁），北京交通大学（渠刚荣），北京信息科技大学（邱钧），大连理工大学（孙怡），北京航空航天大学（杨民、傅健），西北工业大学。还有一些搞PET、光CT的单位：中科院高能所、华中科技大学（骆清铭、谢庆国）等。

1.7 检测成像工程中心简史

●2003年，张朋研究员调入首都师范大学，建设检测成像实验室

●2007年，完成实验室多功能锥束/扇束工业CT系统的搭建，国内率先实现GPU

加速图像重建，对外做了大量的服务工作

●2009年，自主研发成功显微CT设备，分辨率为10-20um

●2010年，获批检测成像北京高校工程中心

●2012年，与东营三英工程中心联合成功研制研发光耦合显微CT，分辨率到达亚

微米

●2013年，成立天津三英精密仪器有限公司

●2013年，与中科天悦公司联合开发口腔CT

●2015年，自主研发成功国内首台双能谱显微CT设备，分辨率达到亚微米

二、X射线成像物理学

2.1 X射线的产生

X射线本质上是一种电磁波，波长介于0.001纳米到10纳米之间，X射线的能量与波长成反比。

X射线通常由高速电子轰击高原子序数的金属靶（如钨、钼等）而产生。图1是由X光管产生X射线的示意图。

图 1 X光管产生X射线示意图

高速运动的电子打到靶上（如钨、钼等），受靶中原子核库仑力的作用，速度骤减而发出X射线，称此种X 射线为轫致辐射。以这种方式产生的X 射线光子的能量分布从接近零的能量到电子的最高能量。若电子的能量足够大，还可以把靶面材料原子中的内层电子撞击出去，使原子处于不稳定的激发状态；为使原子恢复至稳定的低能态，邻近层的高能态电子立即自发地填补其空穴，该电子出发地能级扣除空穴处能级后多余的能量以辐射形式释放，即特征X射线。

如上所述，加速电子轰击金属靶而产生的X射线由不同能量（或波长）的轫致辐射光子和特征光子组成。组成X射线的各个能量的光子个数的概率分布曲线称为X 射线谱。图2是电压为100kV时电子以夹角13度轰击钨靶产生的X射线谱。

图 2 X射线能谱示意图

2.2 X射线与物质相互作用

X射线穿过物质时，会与物质发生作用而衰减。在通常CT系统所用的X射线能量范围内，X射线与物质的相互作用主要有三种形式：光电效应（Photoelectric effect）、康普顿散射（Compton scatter）和电子对效应（Electron pair effect）。三种作用所占的比例与X射线的能量和被照射物体的原子序数有关，如图3所示。下面分别介绍这三种作用的物理机制。

图 3 X 射线与物质作用中光电效应、康普顿散射和电子对效应起主导

作用的范围

1）光电效应：射线光子与成像介质的原子（作为整体）相互作用时，整个光子被原子吸收，其所有能量传递给原子中的一个电子（多发生于内层电子）。该电子获得能量后离开原子而被发射出来，称为光电子。光电子的能量等于入射X 射线光子的能量减去电子的结合能。

图 4 光电效应示意图

2）康普顿散射：X 射线光子与成像介质原子的外层电子（可视为自由电子）发生非弹性碰撞，光子只将部分能量传递给原子外层电子，使该电子脱离核的束缚从原子中射出，并按一定的概率分布产生一个与入射光子方向间夹角为θ的散射光子。散射角θ分布由0到180度。散射光子还会以一定概率发生二次或多次散射。

图 5 康普顿散射示意图

3）电子对效应：能量大于1.02MeV 的X 射线光子从成像介质的原子核旁经过时，在原子核的库仑场作用下，光子转变成一个电子和一个正电子。所发射出的电子还能继续与介质产生激发、电离等作用；正电子与介质中的电子相结合湮没而产生两个能量为0.51MeV 的X 射线光子。

图 6 电子对效应示意图

X 射线光子与物质的作用是随机的。通常我们用衰减系数（包括线性衰减系数和质量衰减系数）来刻画物质对X 射线光子的阻挡本领。线性衰减系数μ表示光子穿过单位路径与物质发生作用的概率。量纲是长度的倒数（常用1cm -）。质量衰减系数m μ是指每单位质量厚度光子和介质发生作用的概率。常用单位是2cm /g 。质量衰减系数和线性衰减系数间的关系如下： (1) m μμρ

= 其中ρ为物质的密度。注意，通常物质的线性衰减系数μ和质量衰减系数m μ还跟X 射线光子的能量E 有关。

三、CT 成像的数学模型

3.1 Beer 定律

按照线性衰减系数的定义，可以推导出著名的Beer 定律。

图 7 单色X 射线穿过物体衰减示意图

用能量为E 的单能（也叫单色）X 射线照射材质均匀的物质。设物质对能量为E 的X 射线的线性衰减系数为μ。X 射线由一端射入物体，记初始强度为0I 。设X 射线穿过物质厚度η后的强度为()I η，如图 7所示。则按照线性衰减系数的定义有

(2) ()()()()I I I ηηηηημ=?-+?

经过简单的整理，有

(3) ()()()I I I ηηηηη

μ-=-?+? 式(3)中令0η?→，可得到如下微分方程

(4)

()()()0lim I I dI I d ηηηηηηη

μ?→-==-?+? 求解该方程有

(5) ()C I e ημη-+= 由初始条件()00I I =可以计算出式(5)中的0ln C I =。于是有

(6) ()0I I e μηη-=

式(6)称为Beer 定律。该定律是光吸收的基本定律，适用于所有的电磁辐射和所有的吸光物质。

对于非均匀非单一物质，其在每一点的衰减系数与位置有关，记为()x μ。(6)式可改写为

(7) ()()00x dx I I e η

μη-?= 若X 射线不是单色的，其归一化能谱记为()S E ，同时衰减系数与X 射线能量是有关的，记为(),x E μ。则上式进一步化为

(8) ()()()00,x E dx I I S E e dE η

μη-?=? 3.2 CT 成像的连续数学模型

在理想条件下，即假设X 射线由单一能量的光子组成，忽略射线源焦点及探测器尺寸，考虑X 射线穿过不均匀物体发生衰减。设物体的线性衰减系数分布为()()123,,,x x x μ=x x 。以()0I L 和()I L 表示X 射线沿路径L 穿过物体前和穿过物体后的强度，则由Beer 定律有

(9) ()()()0L dl I L I L e μ-?=x

上式两端同时除以0I ，再经过对数变换和简单的整理有

(10) ()()()()0ln L

I L p L dl I L μ-=?x @ 称()p L 为()μx 沿路径L 的投影。

CT 成像问题就是利用X 射线探测器探测沿不同路径L 的()0I L 和()I L ，进而由这些值重建被测物体线性衰减系数分布()μx 的值或近似值。或者表述为：由一系列()p L 重建()μx 的值或近似值。

图 8 Radon 变换示意图

考虑二维情况。平面内任意一条射线路径（直线）L ，可以由原点到L 的有向距离r 和L 的法方向与x 轴的逆时针夹角φ表示，如图 8所示。利用这两个变量，L 的方程可以表示为：

(11) r ?Φ=x

其中()(),,cos ,sin x y φφ=Φ=x 。因此()p L 又可以写做

(12) ()():,L r p r dl φμ?Φ==

?x x

式(12)在数学上称为函数()μx 的二维Radon 变换。下文中对()μx 的Radon 变换也记为()?,r μ

φ。 固定角度φ，r 变化时，r ?Φ=x 表示一系列平行射线，简称为平行束（parallel

beam ），称(),p r φ为平行束投影。于是，当射线用参数(),r φ表示时，CT 成像问题就是“由一组平行束投影(),p r φ重建()μx 的问题”。

3.3 CT 成像的离散数学模型

图 9 CT 成像的离散模型

以下以断层以下以断层CT 成像为例介绍离散模型。如图 9所示，设()μx 在圆域Ω之外为零。将包含圆域Ω的正方形区域等分成J 个小区域,1,2,,j J j Ω=L ，每个小区域称为一个像素。设()j χx 为j Ω的特征函数或示性函数，即()j χx 在j Ω内为1，在j Ω外为0。令

(13)

()()1j j J J j c χμ==∑x x 其中 (14) ()1j j j c d μΩ=Ω?x x

j Ω为j Ω的面积。()J μx 称为()μx 的数字化图像。显然()()J μμ≈x x 。设i L 为与图像相交的射线，()μx 在沿射线i L 的投影为

(15)

()()()1,,1,2,i i J J ij i j j L L p L dl dl a i I c μμ∈=∈=≈==∑??x x x x L 式中

(16) ()i ij x j L a dl χ∈=?x

即第i 条射线i L 与第j 个像素j Ω的交线长。在离散CT 问题中j c 是未知量。习惯上以j x 代替j c ，记 ()i i b p L =。于是得方程

(17) 1,,1,2,J j

j i j i a x b i I ===∑L

该式可以写成矩阵形式

(18) A =x b

其中，()12,,,T

J x x x =x L 是待求的()μx 的数字化图像()J μx 的图像向量；12(,,,)T I b b b =b L 是实测数据的投影向量；,()ij I J A a =是投影矩阵。 所谓离散CT 问题就是：已知投影矩阵A 和投影向量b ，求(18)式的广义解x 。离散CT 模型的求解方法可分为直接方法和迭代方法。直接方法有消元法、LU 分解、奇异值分解方法等，其主要缺点是所需的存储量和计算量过大，例如图像像素数为1024x1024，投影角度数为720，每个角度的采样数为1024时，A 的行数为1024x1024，列数为720x1024。即使仅存储A 的非零元也需要约5.6GB 。此外，直接方法还会遇到由于数据误差造成方程不相容的问题。因此，就现有计算机能力，直接方法很难求解离散CT 模型。

四、附录

4.1 CT 图书

1) Herman G T. Fundamentals of computerized tomography: image reconstruction from projections[M]. Springer Science & Business Media, 2009.

2) Kak A C, Slaney M. Principles of computerized tomographic imaging[M]. Siam, 1988.

3) Hsieh J. Computed tomography: principles, design, artifacts, and recent advances[C]. Bellingham, WA: SPIE, 2009.

4) Natterer F. Mathematical methods in image reconstruction[M]. Siam, 2001.

5) Zeng G L. Medical Image Reconstruction[M]. Heidelberg: Springer, 2010.

6) Buzug T M. Computed tomography: from photon statistics to modern cone-beam CT[M]. Springer Science & Business Media, 2008.

7) Scherzer O. Handbook of Mathematical Methods in Imaging: Vol. 1[M]. Springer Science & Business Media, 2011.

8) 庄天戈. CT 原理与算法[M]. 上海交通大学出版社, 1992.

9)张朝宗, 郭志平, 张朋, 王贤刚. 工业CT 技术和原理[M]. 科学出版社, 2009.

10)闫镔,李磊.CT图像重建算法[M]. 科学出版社, 2014.

4.2 CT杂志

1)IEEE Transactions on Medical Imaging

2)International Journal of Biomedical Imaging

3)Journal of X-Ray Science and Technology

4)Computerized Medical Imaging & Graphics

5)Applied Radiology

6)Medical Physics

7)Academic Radiology

8)Journal of Nuclear Medicine Technology

9)Biomedical Engineering Online

10)Journal of Biomedical Imaging

11)IEEE Signal Processing Letters

12)Medical imaging

13)Journal of Computers and Mathematics

14)Journal of CT Theory and Applications

15)Journal of Mathematical Analysis and Applications

16)Physics in Medicine and Biology

17)IEEE Transactions on Biomedical Engineering

18)IEEE Transactions on Image Processing

19)Biomedical Physics

20)Journal of CT Theory and Applications

21)Computed Tomography Theory and Application

22)Electronic Imaging

23)Applied Optics

24)Optical Engineering

25)IEEE Signal Processing Letters

26)Microscopy and Microanalysis

27)IEE Electronics Letters

28)SIAM Journal on Applied Mathematics

29)Journal of Scanning Microscopy: SCANNING

30)Journal of Diagnostic Radiography and Imaging

31)Journal of Radiotherapy in Practice

32)Computerized Medical Imaging and Graphics

33)Journal of Electronic Imaging

34)Inverse Problems

35)CT理论与应用研究

36)中国体视学与图像分析

37)电子学报

4.3 CT 会议

●Fully3D

●International Conference on Image Formation in X‐Ray Computed Tomography

●SPIE Medical Imaging

●SPIE Developments in X‐Ray Tomography

●Industrial Computed Tomography Conference

●RSNA Annual Meeting

●中国体视学学会

●全国射线数字成像与CT新技术研讨会

4.4 在线资源

●Fessler教授主页https://www.wendangku.net/doc/6511151952.html,/~fessler/

●CTSim软件：https://www.wendangku.net/doc/6511151952.html,/

●RTK：https://www.wendangku.net/doc/6511151952.html,/

●OSCaR ：https://www.wendangku.net/doc/6511151952.html,/~nrezvani/OSCaR.html

●STIR：https://www.wendangku.net/doc/6511151952.html,/

●

●……

●