久期和凸性
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度。久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券；在利率下降周期，要选择久期大的债券。凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，选择凸性较大的债券，对持有者越有利。
久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。
在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。
久期(也称持续期，duration)是1938年由F. R. Macaulay提出的，以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。
久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化
它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率。
债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。
由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。
案例：某只债券基金的久期是5年，如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。又如，有两只债券基金，久期分别为4年和2年
，前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。
久期的局限性在于运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的。因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似公式。当收益率变动幅度比较小时，久期的准确性较高，但对于收益率变化较大时，会产生较大的误差，这时就有必要引进凸性的概念。
凸性（convexity）是用来衡量债券价格收益率曲线的曲度。直观地讲，就是收益率每变化１％所引起的久期的变化程度。它是间接表明债券价格对收益率变动的敏感程度的指标。
由于债券价格与收益率之间成反比关系，而且是非线性的反比关系，当收益率上升或下降一个固定的幅度时，收益率下降引起的债券价格上升的幅度大于收益率上升引起债券价格下降的幅度，而且债券的凸性越大，这种效应就越明显。所以，当两个债券的久期相同时，它们所面临的风险不一定相同，这是由于它们不同的凸性引起的。
债券Ａ和债券Ｂ在某一点具有相同的久期，但是从这一点出发，收益率变动同样的单位时，债券价格的波动却不同：在收益率增加相同单位时，凸性大的债券Ｂ价格减少幅度较小；在收益率减少相同单位时，凸性大的债券价格增加幅度较大。因此，在久期相同的情况下，应选择凸性大的债券，其风险较小。
案例：债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。
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债券久期、免疫方法与凸性
债券久期、免疫方法与凸性 一、久期及其计算 多年以来，专家们运用资产到期期限作为利率风险衡量指标。例如，30年期固定利 率债券比1年期债券更具有利率敏感性。但是，人们已意识到期限只是提供的最后一笔现金流量的信息，并没有考虑到前期得到的现金流量（例如利息偿还）。通过计算持续期（久期）就可以解决这个问题。它是一个平均的到期期限，考虑了资产寿命早期所获得的现金流量因素。 有效持续期用公式表示则为： P y tC D n t t t ∑=+=1)1( 【例1】票面利率为10%，还有3年到期的债券。价格为95.2，当前利率为12%。求其持续期。 持续期=年728.22.9512.1110312.110212.110132=??? ???+??? ???+??? ??? 持续期是按照贴现现金流量的权重来加权的平均年数（1年、2年、3年）。 简单地说，持续期代表的是资产的平均到期期限。在本例中，2.728年的持续期与 3年比较接近，原因是在第3年得到一笔最大的现金流量110。 持续期与偿还期不是同一概念：偿还期是指金融工具的生命周期，即从其签订金融 契约到契约终止的这段时间；持续期则反映了现金流量，比如利息的支付、部分本金的提前偿还等因素的时间价值。 对于那些分期付息的金融工具，其持续期对于那些分期付息的金融工具，其持续期 总是短于偿还期。持续期与偿还期呈正相关关系，即偿还期越长、持续期越长；持续期与现金流量呈负相关关系，偿还期内金融工具的现金流量越大，持续期越短。 二、债券价格对利率变动的敏感程度 由金融工具的理论价格公式：∑=+=n t t t y C P 1)1( 两边对利率求导，可得出金融工具现值（理论价格）对利率变动的敏感程度： ∑=++-=n t t t y tC dy dP 11)1(∑=++-=n t t t y tC y 1) 1(11 两边同时乘以p dy 得
第十四章 债券投资组合管理-久期和凸性
2015年证券从业资格考试内部资料 2015证券投资基金 第十四章 债券投资组合管理 知识点：久期和凸性 ● 定义： 久期的性质和凸性计算 ● 详细描述： 1.附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期小于其到期期限。对于零 息债券而言，麦考莱久期与到期期限相同。在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大(这一特点不适用于长期贴现债券)。同时，假设其他因素不变，久期越大，债券的价格波动性就越大。具有相同麦考莱久期的债券，其利率风险是相同的。 2.债券投资者可以选择到期期限与目标投资期不同的债券进行投资，只 要麦考莱久期与目标投资期相同，就可以消除利率变动的风险，这被称为利息免疫。 3. 大多数债券价格与收益率的关系都可以用一条向下弯曲的曲线来表 示，这条曲线的曲率就是债券的凸性。由于存在凸性，债券价格随着利率的变化而变化的关系就接近于一条凸函数而不是直线函数。 4.凸性的作用在于可以弥补债券价格计算的误差，更准确地衡量债券价 格对收益率变化的敏感程度。凸性对于投资者是有利的，在其他情况相同时，投资者应当选择凸性更高的债券进行投资。尤其当预期利率波动较大时，较高的凸性有利于投资者提高债券投资收益。 5.凸性计算，凸性用cv表示。零息债券凸性cv=N（N+1)/(1+Y)的平方。 非零息债券cv=（P1+P2-2P0）/P0(Δr)的平方 6.流动性较强的债券在收益率上往往有一定折让，折让的幅度反映了债 券流动性的价值。 例题： 1.测算债券价格波动性的方法不包括（）。
久期与凸性的理解
久期与凸性的理解 (2010-12-22 10:43:20) 最近在研究企业债券的投资，对于某些术语了解了一下，在此与大家共同学习一下,我的心 得是，久期和凸性都是衡量利率风险的指标，衡量债券价格对利率的敏感程度；但久期具 有双面性，就是在利率上升周期，要选择久期小的债券，而在利率下降周期，要选择久期 大的债券；而凸性是具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，因此需要选择凸性较 大的债券。 久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜 率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引 入凸性参数。凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。 简单计算方法为：例如债券久期为3，那么当市场利率提高1%，那么债券价格就近似下跌3*1%=3%；凸性用于衡量债券久期对市场利率变化的敏感性，比如债券凸性为3，那么当市场利率提高1%，那么债券久期就近似上升3*1%=3%。 在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比例为权重计算 的加权平均到期日）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修 正久期。 什么是久期？ 久期（Ｄｕｒａｔｉｏｎ）—— 久期是衡量债券利率风险最常用的指标，反映的是市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 公式如下： 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 久期的分析方法 债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。 久期运用的局限性 久期运用的前提是假设债券价格与收益率之间的反比关系是线性的，因此，久期计算的收益率变动所引起价格变动的值，只是一个近似的公式。当收益率变动幅度比较小时，久期的准确性较高，但对于收益率变化较大时，会产生较大的误差，这时就有必要引进凸性的概念。一般情况下，久期（duration）就是麦考来持续期，这一概念最早由麦考莱为研究债券的期 限结构于1938年提出，因而被称为麦考莱久期。它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。 但是麦考莱久期不适用于具有隐含期权性质的金融工具，在久期模型研究中存在一个重要假设，即随着利率的波动，债券的现金流不会发生变化，然而这一假设对于具有隐含期权的金
久期与凸度-固定收益答案
固定收益证券练习题：久期与凸度 1、已知一种息票利率为6%的债券每年付息，如果它离到期还有3年且到期收益率为6%，求该债券的久期。如果到期收益率为10%，久期又为多少？ 答：题目没说债券面值，则默认为1000。当到期收益率=6%时，计算过程如下： 久期=2542.90/900.53=2.824 年。 2、把下列两类债券按久期长短排序。 a. 债券A：息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：息票利率8%，20年到期，折价出售。 b. 债券A：不可赎回，息票利率8%，20年到期，按面值出售；债券B：可赎回，息票利率9%，20年到期，也按面值出售。 答：两者均为A大于B。 a.债券B的到期收益率高于债券A，因为它的息票支付额和到期期限等于A，而它的价格却较低，因此，它的久期更短。 b. 债券A的收益率更低，息票率也较低，两者都使得它比B的久期更长。而且，A不可赎回，这将使得它的到期期限至少与B一样长，也使得久期随之增加。 3、一保险公司必须向其客户付款。第一笔是1年支付1000万元，第二笔是5年后支付400万元。收益率曲线的形状在10%时达到水平。 a. 如果公司想通过投资于单一的一种零息债券以豁免对该客户的债务责任，则它购买的债券的期限应为多久？ b.零息债券的市场价值应为1157 万元，与债务的市场价值相等，因此，面值: 1.856 ?=万元 1157 1.11381 4、a. 对拟定发行的债券附加赎回条款对发行收益有何影响？ b.对拟定发行的债券附加赎回条款对其久期和凸度有何影响？
a.1）提供了较高的到期收益率，因为赎回的特性给发行人提供了一个有价期权，因为它可以按既定的赎回价格将债券买回，即使计划中的利息支付的现值比赎回价格要高。投资者因此会要求，而发行人也愿意支付一个较高的收益率作为该特性的补偿。 （2）减少了债券的预期有效期。利率下降，债券可被赎回；利率上升，债券则必须在到期日被偿付而不能延后，具有不对称性。 （3）缺点在于有被赎回的风险，也限制了利率下降导致的债券价格上涨的幅度，对价格收益率曲线影响体现在价格压缩。 b.附加赎回条款后如果利率下降，则债券不会经历较大的价格上升。而且作为普通债券的特征的曲率也会因赎回特性而减小。使其久期下降，小于其他方面相同的普通债券的久期。可以看成零息债券，久期即为赎回债券时所经历的期限。对其凸度的影响体现在一个负凸性区间的存在。 5、长期国债当前的到期收益率接近8%。你预计利率会下降，市场上的其他人则认为利率会在未来保持不变。对以下每种情况，假定你是正确的，选择能提供更高持有期收益的债券并简述理由。 a. i. 一种Baa级债券，息票利率8%，到期期限20年； ii. 一种Aaa级债券，息票利率8%，到期期限20年。 b. i. 一种A级债券，息票利率4%，到期期限20年，可以按105的价格赎回； ii. 一种A级债券，息票利率8%，到期期限20年，可以按105的价格赎回； c. i. 长期国债，息票利率6%，不可赎回，20年到期，YTM=8%； ii. 长期国债，息票利率9%，不可赎回，20年到期，YTM=8%。 答：根据久期判断，选择久期较长的债券，可以在利率下降中获益。 a. Aaa级债券的到期收益率较低而久期较长。 b. 息票率较低的债券久期较长，具有更多的赎回保护。 c. 选择息票率较低的债券，因为它的久期较长。 6、以下问题摘自CFA试题： 1）一种债券的息票利率为6%，每年付息，调整的久期为10年，以800元售出，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，利用久期的概念，估计价格会下降为： a. 76.56元 b. 76.92元 c. 77.67元 d. 80.00元 2）一种债券的息票利率为6%，半年付息一次，在几年内的凸性为120，以票面的80%出售，按到期收益率8%定价。如果到期收益率增至9%，估计因凸性而导致的价格变动的百分比为： a. 1.08% b. 1.35% c. 2.48% d. 7.35% 3）有关零息债券的麦考利久期，以下说法正确的是： a. 等于债券的到期期限。 b. 等于债券的到期期限的一半。 c. 等于债券的到期期限除以其到期收益率 d. 因无息票而无法计算。
久期和凸性
久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标，是衡量债券价格对利率的敏感程度。久期具有双面性，在利率上升周期，要选择久期小的债券；在利率下降周期，要选择久期大的债券。凸性具有单面性，就是凸性越大，债券的风险越小，选择凸性较大的债券，对持有者越有利。 久期描述了价格-收益率（利率）曲线的斜率，斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大，而凸性描述了这一曲线的弯曲程度，或者是由于该曲线的非线性程度较大，使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大，无法以统一的数字来判断，因此再次对斜率的变化进行衡量，引入凸性参数。凸性就是债券价格对收益率曲线的二阶导数，就是对债券久期（受利率影响，对利率敏感性）的再度测量。 在利率变化很小的时候，传统的久期（是以每期现金流现值占总体现值的比）可以近似衡量债券价格和利率之间关系，但是更为精确的衡量则是修正久期。 久期(也称持续期，duration)是1938年由F. R. Macaulay提出的，以衡量债券利率风险最常用的指标，反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲，就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均，其权重是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。久期的计算比较麻烦，一般投资者没有必要自己去计算它。久期取决于债券的三大因素：到期期限，本金和利息支出的现金流，到期收益率。 债券的久期越大，利率的变化对该债券价格的影响也越大，因此，该债券所承担的利率风险也越大。在降息时，久期大的债券价格上升幅度较大；在升息时，久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此，投资者在预期未来降息时，可选择久期大的债券；在预期未来升息时，可选择久期小的债券。 案例：某只债券基金的久期是5年，如果利率下降1个百分点，则该基金的资产净值约增加5个百分点；反之，如果利率上涨1个百分点，则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。又如，有两只债券基金，久期分别为4年和2年
债券的久期、凸性
债券的久期、凸性 久期和凸性是衡量债券利率风险的重要指标。很多人把久期简单地视为债券的到期期限,其实是对久期的一种片面的理解,而对凸性的概念更是模糊。在债券市场投资行为不断规范,利率风险逐渐显现的今天,如何用久期和凸性量化债券的利率风险成为业内日益关心的问题。 久期 久期(也称持续期)是1938年由 F.R.Macaulay提出的,用来衡量债券的到期时间。它是以未来收益的现值为权数计算的到期时间。其公式为 其中,P=债券现值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期数,M=到期支付的面值。 可见久期是一个时间概念,是到期收益率的减函数,到期收益率越高,久期越小,债券的利率风险越小。久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期的概念。 修正久期 修正久期是用来衡量债券价格对利率变化的敏感程度的指标。由于债券的现值对P 求导并加以变形,得到: 我们将的绝对值称作修正久期,它表示市场利率的变化引起的债券价格变动的幅度。这样,不同现值的券种就可以用修正久期这个指标进行比较。 由公式1和公式2我们可以得到: 在某一特定到期收益率下,P为常数,我们记作P0,即得到: 由于P0是理论现值,为常数,因此,债券价格曲线P与P /P 0有相同的形状。由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率为修正久期,而债券价格曲线P的斜率为P0×(修正久期)。 修正久期度量了收益率与债券价格的近似线性关系,即到期收益率变化时债券价格的稳定性。修正久期越大,斜率的得绝对值越大,P对y的变动越敏感,y上升时引起的债券价格下降幅度越大,y下降时引起的债券价格上升幅度也越大。可见,同等要素条件下,修正久期小的债券较修正久期大的债券抗利率上升风险能力强,但抗利率下降风险能力较弱。 但修正久期度量的是一种近似线性关系,这种近似线性关系使由修正久期计算得出的债券价格变动幅度存在误差。如下图,对于债券B′,当收益率分别从y上升到y1或下降到y2,由修正久期计算出来的债券价格变动分别存在P1′P1"和P2′P2"的误差。误差的大小取决于曲线的凸性。 市场利率变化时,修正久期稳定性如何?比如上图中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率风险呢?显然不同。当y变大时,B"价格减少的幅度要小,而当y变小时,B"价格变大的幅度要大。显然,B"的利率风险要小于B′。因此修正久期用来度量债券的利率风险仍然存在一定误差,尤其当到期收益率变化较大时。凸性可以更准确地度量该风险。 凸性 利用久期衡量债券的利率风险具有一定的误差,债券价格随利率变化的波动性越大,这种误差越大。凸性可以衡量这种误差。 凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。严格地定义,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。 根据其定义,凸性值的公式为:
久期和凸性
久期与凸性就是衡量债券利率风险的重要指标,就是衡量债券价格对利率的敏感程度。久期具有双面性,在利率上升周期,要选择久期小的债券;在利率下降周期,要选择久期大的债券。凸性具有单面性,就就是凸性越大,债券的风险越小,选择凸性较大的债券,对持有者越有利。 久期描述了价格-收益率(利率)曲线的斜率,斜率大表明了作为Y轴的价格变化较大,而凸性描述了这一曲线的弯曲程度,或者就是由于该曲线的非线性程度较大,使得衡量曲线斜率的这一工具变化较大,无法以统一的数字来判断,因此再次对斜率的变化进行衡量,引入凸性参数。凸性就就是债券价格对收益率曲线的二阶导数,就就是对债券久期(受利率影响,对利率敏感性)的再度测量。 在利率变化很小的时候,传统的久期(就是以每期现金流现值占总体现值的比)可以近似衡量债券价格与利率之间关系,但就是更为精确的衡量则就是修正久期。 久期(也称持续期,duration)就是1938年由F、R、Macaulay提出的,以衡量债券利率风险最常用的指标,反映市场利率变化引起债券价格变化的幅度。直观地讲,就就是收益率变化１％所引起的债券全价变化的百分比。 久期＝价格的变化幅度／单位收益率的变化 它就是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重就是各期现金流现值在债券价格中所占的比重。久期的计算比较麻烦,一般投资者没有必要自己去计算它。久期取决于债券的三大因素:到期期限,本金与利息支出的现金流,到期收益率。 债券的久期越大,利率的变化对该债券价格的影响也越大,因此,该债券所承担的利率风险也越大。在降息时,久期大的债券价格上升幅度较大;在升息时,久期大的债券价格下跌的幅度也较大。 由此,投资者在预期未来降息时,可选择久期大的债券;在预期未来升息时,可选择久期小的债券。 案例:某只债券基金的久期就是5年,如果利率下降1个百分点,则该基金的资产净值约增加5个百分点;反之,如果利率上涨1个百分点,则该基金的资产净值要遭受5个百分点的损失。又如,有两只债券基金,久期分别为4年与2年,前者资产净值的波动幅度大约为后者的两倍。