线性代数第三章向量复习题.doc

向量复习题（ 3）

一、填空题：

1. 当 t _______时，向量 1 (1,2, 2)T , 2

(4, t,3) T ,

3

(3, 1,1)T 线性无关 .

2.. 向量

(1,2,1)T , 则

T

T

，

3. 如 果 1

, 2

,

,

n 线 性 无 关 ， 且

n 1 不 能 由

1, 2

,

, n 线 性 表 示 ， 则

1

,

2 , ,

n 1

的线性

4.

T

,

， T a

2 线性相关 .

设 1 ( 2,5) 2

a)

，当

时， 1,

(1

5. 一个非零向量是线性

的，一个零向量是线性

的.

6. 设向量组 A:

1

, 2

,

3 线性无关，

1

3

，

2

1

，

2

3 线性

7. 设 A 为 n 阶方阵，且 r ( A) n 1， 1

, 2 是 AX=0的两个不同解，则 1，

2

一

定

线性

8. 向 量 组 1,L , l 能 由 向 量 组 1,L , m 线 性 表 示 的 充 分 必 要 条 件 是

R( 1, 2,L

m

)

R( 1,

2 ,L

m

, 1

,

2,L ,

l ) 。( 填大于，小于或等于 )

9. 设向量组

1

1,1,1 ,

2

1,2,3 ,

3

1,3,t 线 性 相 关 ， 则 t 的 值

为

。

二、选择题：

1. .

n

阶方阵 A 的行列式

A 0

,则 A 的列向量（

）

Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ． R(A) 0 Ｄ． R( A) 0

2. 设 A 为 n 阶方阵， R( A) r n ，则 A 的行向量中（

）

A 、必有 r 个行向量线性无关

B 、任意 r 个行向量构成极大线性无关组

C 、任意r 个行向量线性相关

D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示

3.设有n 维向量组（Ⅰ）：1, 2,L,

r 和（Ⅱ）： 1 , 2,L, m (m r ) ，则（）．

A、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关

B、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关

C、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关

D、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关

4. 下列命题中正确的是 ( )

(A) 任意 n 个n 1维向量线性相关(B) 任意n个 n 1维向量线性无关

(C) 任意 n 1个n 维向量线性相关(D) 任意 n 1个n维向量线性无关

5. 向量组1, 2, , r线性相关且秩为 s，则 ( )

（ A）r s (B) r s (C) s r (D) s r

6. n 维向量组1，2，，s (3? s? n ）线性无关的充要条件是（）. (A）1，2，，s 中任意两个向量都线性无关

(B) 1，

2，，s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示

(C) 1，

2，，s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D) 1，

2，，s 中不含零向量

7. 向量组1, 2, , n 线性无关的充要条件是（）

A 、任意i 不为零向量

B 、 1 , 2 ,,n 中任两个向量的对应分量不成比例

C 、 1 , 2 ,,n 中有部分向量线性无关

D 、 1 , 2 ,,n 中任一向量均不能由其余n-1 个向量线性表示

8.设A为n阶方阵，R( A)r n ，则A的行向量中（

）

A、必有 r 个行向量线性无关

B、任意 r 个行向量构成极大线性无关组

C、任意 r 个行向量线性相关

D 、任一行都可由其余 r 个行向量线性表示

9. 设 A 为 n 阶方阵，且秩 ( A) n 1. 1 ,

2 是非齐次方程组

AX B 的两个不同的解

向量,则 AX

0的通解为 ( )

A 、 k

1

B 、 k 2

C 、 k ( 1 2 )

D 、 k ( 1

2 )

10. 已知向量组 1

1,1, 1,1 , 2 2,0, t,0 , 3

0, 2,5, 2 的秩为 2，则 t （ ）.

A 、3 B

、 -3

C

、2

D

、-2 11. 设 A 为 n 阶方阵， R( A) r

n ，则 A 的行向量中（

）

A 、必有 r 个行向量线性无关

B 、任意 r 个行向量构成极大线性无关组

C 、任意 r 个行向量线性相关

D 、任一行都可由其余 r 个行向量线性表示

12. 设向量组 A:

1 ,

2 ,

3 线性无关，则下列向量组线性无关的是（

）

A 、

B 、

1 2

3

，2132

23，31 22 33

1

2

， 23

，3

1

C 、 1 22，22 33，331

D 、- 1

2

，

2

3

，

1

2

2

3

13. A 、 B 均为 n 阶方阵， X 、Y 、b 为 n O B X O 1 阶列向量，则方程

O Y

有

A b

解的充要条件是（ ）

A 、 r (B) n B

、 r ( A) n

C 、 r ( A) r ( A b)

D 、 r ( A) n

14. 已知向量组 A 线性相关，则在这个向量组中 ( )

(A) 必有一个零向量 . (B) 必有两个向量成比例 .

（ C)必有一个向量是其余向量的线性组合 .

(D) 任一个向量是其余向量的线性组合 .

15. 设 A 为 n 阶方阵，且秩 R( A) n 1 , a 1 , a 2 是非齐次方程组 Ax b 的两个不同的 解向量 , 则 Ax

0 的通解为 ( )

（ A ） k( a 1 a 2 ) （ B) k(a 1 a 2 )

（C) ka 1 (D)ka 2

16. 已知向量组1 ,K , m 线性相关，则（）

（ A ）该向量组的任何部分组必线性相关 . （ B) 该向量组的任何部分组必线性无关 . （ C) 该向量组的秩小于 m .

(D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的 .

17．已知 R( 1, 2 , 3

) 2, R(

2

, 3, 4) 3,则 (

)

（A ） 1 , 2 ,

3

线性无关

（B)

2

,

3

, 4 线性相关

（ C)

1

能由

2 ,

3

线性表示

(D)

4 能由 1, 2, 3 线性表示

k 1 1 3 k

18. 若有 3 0

1 k 6 , 则 k 等于

0 2

1

3

5

(A) 1

(B) 2 (C)

3 (D) 4

第三题

计算题：

1

0 2 1 1 1 , 3

5 5 2 1. 已知向量组 1

2

, 3

, 4

, 5

2 1

3

4 2

4

2

6

8

（1）求向量组 1 , 2

, 3, 4,

5 的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

2. 求向量组 A ： ? 1 (-2,6,2,0)T

， 2 (1,-2,-1,0)T ， 3 (-2,-4,0,2 )T ? ，

4

(0,10,2， 2)T ，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示 .

3. T , 2 T T

设 1 1,4,3 2, a, 1 , 3

2,3,1

1) a 为何值时 , 1

, 2, 3 线性无关 .

2) a 为何值时 ,

1

,

2, 3 线性相关 .

4. 求向量组 A: 1

T T T

1,2, 1,1 、 2 2, 3,1, 2 、3 4,1, 1,0 的极大无关

组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

5.已知11,4,2 T , 22,7,3 T , 30,1,a T ,3,10,4 T，问a为何值时，可由1 , 2 , 3唯一线性表示？并写出表示式

2 1 1 1 2

6. 设矩阵

1 1

2 1 4 A

6 2 2

?

4 4

3 6 9 7 9

求矩阵 A 的列向量组的一个极大无关组 ? 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 ?

7. 求向量组 A : 1 (1, 1,2) T，2 (0,3,1)T，3 (1,5,4)T， 4 (1, 2,2)T，

(2, 3,4) T的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.

5

8.试求向量组 1 =(1,1,2,2)T, 2 =(0,2,1,5)T, 3 =(2,0,3,-1)T, 4 =(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。

9. 求向量组1 =(1,-2,3,-1,2) T, 2 =(3,-1,5,-3,-1) T,

3 =(5,0,7,-5,-4) T ,

4 =(2,1,2,-2,-3) T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。

四、证明题：（10 分）

1.设向量组a1, a2, a3线性无关，证明a1a2 , a1a2 , a3也线性无关。

2.设向量组A：1,2,3线性无关，求证：122，22 3 3，331线性

无关 .

3. 已知向量组, ,线性无关，1, 2, 3，试证明向量组1, 2, 3线性无关.

4. 已知向量组a1, a2, a3线性无关，1+ 22,2+23,1 2 3线性无关.

5.若向量组1,2,3线性无关，而1123，21223，31 22 33，试证：1,2,3线性无关。

6. 已知向量组 A? a1 (0,1,1)T， a2 (1,1,0)T，向量组B ? b1 ( 1,0,1)T，b2 (1,2,1)T， b3 (3, 2, 1)T，证明：向量组A与向量组B等价?

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数期末试题及答案

工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷 一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。 、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （ ） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是 （ ） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

线性代数 第三章向量

n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设　，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii)　对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。

例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

第三章线性代数方程组

第3章 线性代数方程组 3.1.1 矩阵秩的定义 定义1 矩阵A 的k 阶子式 在n m ?矩阵A 中任取k 行，k 列()()n m k ,m in 1≤≤，位于这k 行，k 列交叉点处的元素按原来次序组成的行列式，称为A 的一个k 阶子式。 定义2矩阵A 的秩 设在矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，且所有的r ＋1阶子式（如果有的话）全等于零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为)(A rank ，简记为()A r 。 定义3 满秩阵 设A 为n 阶方阵，若()A r ＝A ，则称A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1）()();A r A r T = （2）()(),A r A r =λ其中0≠λ； （3）()0=A r 等价于0=A ； (4)()()n m A r n m ,m in ≤?； （5）设A ，B 为同阶矩阵，则 ()()()B r A r B A r +≤+ （1） 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则 ()()()() ()()()n B r A r AB r B r A r AB r -+≥≤,min 特别当AB ＝0时，()()n B r A r ≤+成立。 （7）()()()()()()B r A r B D A r B r A r B C A r B r A r B A r +≥?? ????+≥??????+=??????0000 3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若A ∽B,则()()B r A r =

（2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A 可逆时，有 ()()B r AB r =；()()B r BA r = (3) 设A 为n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 () ()()()?? ? ??-≤-===2 011 *n A r n A r n A r n A r (4)设A 为方阵，则()n A r A =?≠0。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求b Ax =的解，其中0≠A 。 方法（1） 克莱娒法则 ()n i A D x i i ,2,1== ，其中i D 为右端列b 取代A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 b A x 1 1 --=，其中A A A *1 =-或用()()1-?→?A I I A 行求1 -A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G －J 法 将增广矩阵()b A 经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 0=?x A n m （1）齐次线性方程组有解的条件 0=x 为0=Ax 的平凡解。 当()n A r =时，0=Ax 只有零解。 ()n A r 时，0=Ax 有含()A r n -个参数的无穷多组解。 注0=Ax 有非零解()n A r ?。 （2）齐次线性方程组解的求法

线性代数期末考试试卷

本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页

5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页

四川大学2014级线性代数期末测验题(A卷)

四川大学2014级线性代数期末测验题(A 卷) 姓名:__________,学号:___________________，学院:___________,教师:杨荣奎 分） 分填空题一1553(.=×._______3A 2500230052A 3.123=?? ?????????A ，则相似于矩阵阶矩阵若.______003,14042531.2==≠? ?????????=a AB B a A ，则，满足阶矩阵若存在设. ____83344),,(.32322212332223121321=?+=?+?+?=a y y y QY X x x ax x x x x x x x x f ，则化为标准形变换可经过正交 设实二次型._________32,211-101.421212的过渡矩阵为到基，的基从?? ????=??????=??????=??????=ββααR . ___,2),,(,),1,1,2(,)2,0,1,1(,01-21.532132T 1=====a rank a T T 则若），，，（设αααααα分 分选择题二1553(.=×). ().(;)().(); ().(;).(. 0][)0(,,,2)(,4.132132122113221132211321βββββββββββββββββ?++?+++?+=≠==×k D k k k k C k k B k k A AX AX A rank m A 的通解为向量，则的三个线性无关解为矩阵是设.,,,).(;,,,).(; ,,,).(;,,,).(][ ,,,.2144332211443322114433221144332214321αααααααααααααααααααααααααααααααααααα??++?+++????++++D C B A 线性无关。线性无关，则向量组已知向量组. )().(;)2()5(n ).(;)2-(5-().(;25).(]. [,0103:A .32n A rank D n E A rank E A k ra C n E A rank E A rank B E A E A A E A A n ==++?=?++?===??）或则下列结论不正确的是满足阶矩阵设.3).(; 2).(;1).(;0).(]. [)2(,)(3,23.421D C B A A E rank A A A =?==则相似于对角阵，若一重（二重）的特征值为阶矩阵，为设λλ; ).().A ].[ .5合同矩阵等价合同矩阵的秩相同；（下列命题中不正确的是B

四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

第 页 共6页 1 四 川大学期末考试试卷(A ) 科 目：《大学数学》（线性代数） 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 2 32 32 3 a a a b b b c c c = __abc()_____. 2． 向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性___ ____. 3． 设A =378012002?? ??-????-?? , A *是A 的伴随矩阵, 则 |1 5-A*| = _________. 4． 当t 满足______的条件时, 2 2 2 12311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5． 设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.

第 页 共6页 2 二、选择题（每小题3分，共15分） 1． 设矩阵,23?A ,32?B 33?C , 则下列式子中, ( )的运算可行. (A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -. 2． 设D=123 012247 -, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333 A A A ++= ( ) .(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3． 设A 为4m ?矩阵, 秩(A)=2, 123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性 无关解向量, 则( )为AX =0的通解. (A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +- (C) 1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+ 4． 设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ). (A) 1 1 --=BC A X ; (B) 1 1 --=C BA X ; (C) 1 1 --=A BC X ; (D) 1 1 --=BA C X . 5． 设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值. (A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件 三、计算下列各题(每小题10分，共30分) 1． 计算行列式 1112 0132.1223 1 420 ------

线性代数期末试卷及解析(4套全)2019科大

线性代数期末试卷（一） 一、填空题（每小题3分） （4）设12243311t -?? ? = ? ?-?? A ， B 为3阶非零矩阵，=AB 0，则t =_________. 解：3-. 若||0≠A ，则A 可逆，由=AB 0知，=B 0，与B 为非零矩阵矛盾， 故 有||0=A . 122||0 811(8)77117(3)0 7 7 t t t -==-=-?+?=+-A 行 ， 所以 3t =-. 二、选择题（每小题3分） （4）设111122232333,,a b c a b c a b c ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ??????? ααα，则三条直线 1110a x b y c ++= 2220a x b y c ++= （其中22 0,1,2,3i i a b i +≠=） 3330a x b y c ++= 交于一点的充要条件是 （A ）123,,ααα线性相关； （B ）123,,ααα线性无关； （C ）秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα； （D ）123,,ααα线性相关，12,αα线性无关. 解：（D ）正确. 1 12 2123 3(,)a b a b a b ?? ?== ? ???A αα，1 1 12 221233 33(,,)a b c a b c a b c -?? ? =-=- ? ?-??A ααα 三条直线交于一点的充要条件是方程组3x y ?? =- ??? A α有唯一解，当且仅当()()r r =A A ，且r n =时成 立，即()()2r r ==A A ，这说明12,αα线性无关，123,,-ααα线性相关，也就是123,,ααα线性相关， 12,αα线性无关，故选（D ）. 仅123,,ααα线性相关，不足以保证()()r r =A A ，可能无解，故（A ）不对. 123,,ααα线性无关，()2()3r r =<=A A ，无解，（B ）不对. 当12312(,,)(,)r r =ααααα，说明方程组有解，但无法确保解唯一，故（C ）不对. 七、（本题共2小题，第（1）题5分，第（2）题6分，满分11分） （1）设B 是秩为2的54?的矩阵，T T 12(1,1,2,3),(1,2,4,1),==--αα T 3(5,1,8,9)=--α是齐次 线性方程组=Bx 0的解向量，求x =B 0的解空间的一个标准正交基.

大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ①n 2②1 2 -n ③1 2 +n ④4 2. n 维向量组s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ①s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关

大一线性代数期末试卷试题附有答案.docx

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? ? ? ? ? ?诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！ ?线性代数期末考试试卷及答案 ? ? ? 号?注意事： 1.考前将密封内填写清楚； 位? 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ； 座? 3．考形式：开（）卷； ? 4.本卷共五大，分100 分，考 120分。 题号一二三四五总分? ?得分 ?评卷人 ? ? ? ?一、（每小 2 分，共 40 分）。 ? 业? 专?1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是? ?【】 ? ? ) ? 封A B. ABC C . BCA D. CAB ?. BAC 2 答?＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】 2. n 方 A 足 A 院不 ? A.矩 A 不是矩 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 ? 学内 ? ? 封?3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密 ? (? A. －2－2 n－2n ? B. C. D. 1 ? ?4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】? ? A. 必存在一个行向量零向量 ? ? B. 必存在两个行向量，其分量成比例 ? C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合 号? 密 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合 学 ? ? 5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】? ?A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2 ? C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1 ? D. ? ? 名? 6. 向量 (I):a1 ,, a m (m 3) 性无关的充分必要条件是【】 姓? ? ? ? ? ?

线性代数期末考试试卷+答案(单美静)

2008年线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共1０分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ_＿__＿___＿_。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 ３.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 ４.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 ５.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ) 3. 向量组m a a a ，， ， 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ，，， 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。（ ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题２分,共１0分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2?② 1 2 -n ?③ 1 2 +n ?④ ４ 2. n 维向量组 s ααα，，， 21(3 ≤ s ≤ n)线性无关的充要条件是( ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示