导数练习题及答案
一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．已知某函数的导数为y′＝12(x－1)，则这个函数可能是 ()
A．y＝ln1－x B．y＝ln11－x
C．y＝ln(1－x) D．y＝ln11－x
2．(2009?江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 ()
A．4 B．－14 C．2 D．－12
3．(2009?辽宁)曲线y＝xx－2在点(1，－1)处的切线方程为 ()
A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2
C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ()
A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e22
5．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()
6．设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 ()
A．单调递增，单调递减
B．单调递增，单调递增
C．单调递减，单调递增
D．单调递减，单调递减
7．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是 ()
①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值．
A．①③ B．①②③C．② D．①②
8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)?f(n)＜0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上() A．至少有三个实根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实根 D．无实根
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－3或a＞6 D．a＜－1或a＞2
10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，其高应为 ()
A.2033cm B．100cm C．20cm D.203cm
11．(2010?河南省实验中学)若函数f(x)＝(2－m)xx2＋m的图象如图所示，则m的范围
为 ()
A．(－∞，－1) B．(－1,2) C．(1,2) D．(0,2)
12．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1.f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，则b＋2a＋2的取值范围是 ()
A．(13，12) B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3) D．(－∞，－3) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。) 13．(2009?武汉模拟)函数y＝xln(－x)－1的单调减区间是________．
14．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
15．(2009?南京一调)已知函数f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4，则实数a的值是________．
16．(2009?淮北模拟)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)?(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。) 17．(本小题满分10分)设a为大于0的常数，函数f(x)＝x－ln(x＋a)．
(1)当a＝34，求函数f(x)的极大值和极小值；
(2)若使函数f(x)为增函数，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)＝lnxx.
(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1e处的切线方程；
(2)求y＝f(x)的最大值；
(3)设实数a＞0，求函数F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．
19．(本小题满分12分)设a＞0，函数f(x)＝x－ax2＋1＋a.
(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)
(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；
(2)若当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整数k的最大值．
21．(2009?天津)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠23时，求函数f(x)的单调区间与极值．
命题意图：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．
22．(2010?保定市高三摸底考试)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnxx＋ax－1(a∈R)
(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)≤0在区间(0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围．
答案：
一、1答案：A
解析：对选项求导．(ln1－x)′＝11－x(1－x)′＝11－x?12(1－x)－12?(－1)＝12(x－1).
2答案：A
解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.
∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，
∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4.
3答案：D
解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，
∴k＝y′|x＝1＝－2.
l：y＋1＝－2(x－1)，则y＝－2x＋1.
4答案：D
解析：∵y′＝ex，∴y＝ex在点(2，e2)的导数为e2.
∴y＝ex在点(2，e2)的切线方程为y＝e2x－e2.
y＝e2x－e2与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0，－e2)，∴S＝12×1×e2＝e22.
5答案：D
解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当x＜x0时，由图象知f′(x)＞g′(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速度；当x＞x0时，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，
6答案：C
解析：y′＝16x－1x.
当x∈(0，14)时，y′＜0，y＝8x2－lnx为减函数；
当x∈(12，1)时，y′＞0，y＝8x2－lnx为增函数．
7答案：D
解析：由f(x)＞0?(2x－x2)ex＞0?2x－x2＞0?0＜x＜2，故①正确；
f′(x)＝ex(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±2，
由f′(x)＜0得x＞2或x＜－2，
由f′(x)＞0得－2＜x＜2，
∴f(x)的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
单调增区间为(－2，2)．
∴f(x)的极大值为f(2)，极小值为f(－2)，故②正确．
∵x＜－2时，f(x)＜0恒成立．
∴f(x)无最小值，但有最大值f(2)．
∴③不正确．
8答案：C
9答案：C
解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．
若f(x)有极大值和极小值，
则Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，
从而有a＞6或a＜－3
10答案：A
解析：设高为h，则半径为202－h2，
体积V＝13πr2h＝13π(202－h2)?h
＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，
V′＝－πh2＋2023π.
令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，
即当h＝2033时，V为最大值．
11答案：C
解析：f′(x)＝(x2－m)(m－2)(x2＋m)2＝(x－m)(x＋m)(m－2)(x2＋m)2
由图知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，
又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2
12答案：C
解析：由y＝f′(x)的图象知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，点(a，b)的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b＋2a＋2的意义为阴影部分的点与点A(－2，－2)连线的斜率，直线AB、AC的斜率分别为12、3，则b＋2a＋2的取值范围是(12，3)
二、13答案：(－1e，0)
14答案：32
解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3f′(x)＋ 0 － 0 ＋ f(x) 17
极值24
极值－8
－1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
15答案：92
解析：f′(x)＝a－4x3，x∈[12，1]，由题意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，则实数a的值是92.
16答案：(－1,0)
解析：结合二次函数图象知，当a＞0或a＜－1时，在x＝a处取得极小值，
当－1＜a＜0时，在x＝a处取得极大值，故a∈(－1,0)．
三、17解析：(1)当a＝34时，f′(x)＝12x－1x＋34，
令f′(x)＝0，则x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，
当x∈[0，14]时，f′(x)>0，当x∈(14，94)，f′(x)<0，
当x∈(94，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)极大值＝f(14)＝12，f(x)极小值＝f(94)＝32－ln3.
(2)f′(x)＝12x－1x＋a，若f(x)为增函数，则当x∈[0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，
即a≥2x－x＝－(x－1)2＋1恒成立，
∴a≥1.
18解析：(1)∵f(x)定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－lnxx2
∵f(1e)＝－e，又∵k＝f′(1e)＝2e2，
∴函数y＝f(x)的在x＝1e处的切线方程为：
y＋e＝2e2(x－1e)，即y＝2e2x－3e.
(2)令f′(x)＝0得x＝e.
∵当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上为增函数，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，则在(e，＋∞)上为减函数，
∴fmax(x)＝f(e)＝1e.
(3)∵a＞0，由(2)知：
F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min＝min{F(a)，F(2a)}，
∵F(a)－F(2a)＝12lna2，
∴当0＜a≤2时，F(a)－F(2a)≤0，fmin(x)＝F(a)＝lna.
当a＞2时，F(a)－F(2a)＞0，f(x)min＝f(2a)＝12ln2a.
19解析：(1)对函数f(x)求导数，得f′(x)＝1－axx2＋1.
要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，又要f′(x)＝1－axx2＋1≥0在(0,1]上恒成立，
即a≤x2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．
因为1＋1x2在(0,1]上单调递减，
所以1＋1x2在(0,1]上的最小值是2.
注意到a＞0，所以a的取值范围是(0，2]．
(2)①当0＜a≤2时，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函数，
此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)＝1＋(1－2)a.
②当a＞2时，令f′(x)＝1－axx2＋1＝0，
解得x＝1a2－1∈(0,1)．
因为当0＜x＜1a2－1时，f′(x)＞0；
当1a2－1＜x＜1时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，1a2－1)上单调递增，在(1a2－1，1)上单调递减．
此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1a2－1)＝a－a2－1.
综上所述，当0＜a≤2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1＋(1－2)a；
当a＞2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a－a2－1.
20解析：(1)f′(x)＝1x2[xx＋1－1－ln(x＋1)]＝－1x2[1x＋1＋ln(x＋1)]．由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln(x＋1)＞0，得f′(x)＜0.
因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(2)解法一：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立，令x＝1有k＜2[1＋ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3.
下面证明当k＝3时，f(x)＞kx＋1(x＞0)恒成立．
即证明x＞0时(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，
则g′(x)＝ln(x＋1)－1.
当x＞e－1时，g′(x)＞0；当0＜x＜e－1时，g′(x)＜0.
∴当x＝e－1时，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0.
∴当x＞0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．
因此正整数k的最大值为3.
解法二：当x＞0时，f(x)＞kx＋1恒成立．
即h(x)＝(x＋1)[1＋ln(x＋1)]x＞k对x＞0恒成立．
即h(x)(x＞0)的最小值大于k.
由h′(x)＝x－1－ln(x＋1)x2，记Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)
则Φ′(x)＝xx＋1＞0，
∴Φ(x)在(0，＋∞)上连续递增．
又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，
∴Φ(x)＝0存在惟一实根a，且满足：a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)，
由x＞a时，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a时，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：
h(x)(x＞0)的最小值为h(a)＝(a＋1)[1＋ln(a＋1)]a＝a＋1∈(3,4)．
因此正整数k的最大值为3.
21解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.
由a≠23知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论．
①若a＞23，则－2a＜a－2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：x (－∞－2a)，－2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f′(x)＋ 0 － 0 ＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，
在(－2a，a－2)内是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a＜23，则－2a＞a－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x)＋ 0 － 0 ＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
22解析：(1)因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1－(lnx＋a)x2，
∴k＝f′(1)＝1－a，
又f(1)＝a－1，即切点坐标为(1，a－1)，
所以，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为：
y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2(a－1)．
(2)结合(1)，令f′(x)＝0得x＝e1－a，由对数函数的单调性知：
当x∈(0，e1－a)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；
当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
(ⅰ)当e1－a＜e2时，a＞－1时，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1－1，
令ea－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，
(ⅱ)当e1－a≥e2即a≤－1时，f(x)在(0，e2]上是增函数，
∴f(x)在(0，e2]上的最大值为f(e2)＝2＋ae2－1，
令2＋ae2－1≤0，解得a≤e2－2，即a≤－1，
综上可知，实数a的取值范围是a≤1.
导数练习题 含答案
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
导数经典专题整理版
导数在研究函数中的应用 知识点一、导数的几何意义 函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是 例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.033=+-y x B.022=+-y x C.012=+-y x D.013=+-y x （2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ） A.),(e e B.)2ln 2,2( C.)0,1( D.),0(e 【变式】 （1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ） A.13+=x y B.12+=x y C.13-=x y D.12-=x y （2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.21 D.2 1- 知识点二、导数与函数的单调性 （1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.
例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值