几何经典模型：半角模型

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半角模型

已知如图：①∠2=12

∠AOB ；②OA =OB . O

A

B

E

F

123

连接FB ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E ，FE ，

可得△OEF ≌△OEF ′ 43

21F'F

E

B

A

O

模型分析

∵△OBF ≌△OAF ′，

∴∠3=∠4，OF =OF ′.

∴∠2=12

∠AOB ， ∴∠1+∠3=∠2

∴∠1+∠4=∠2

又∵OE 是公共边，

∴△OEF ≌△OEF ′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；

（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；

（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N ．

（1）求证：BM+DN=MN ．

（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．

证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．

在△ADE 和△ABM 中，

??

???=∠=∠=BM DE B ADE AB AD

∴△ADE ≌△ABM ．

∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM

∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．

∴ ∠MAN=∠EAN=45°．

在△AMN 和△AEN 中，

??

???=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA

∴△AMN ≌△AEN ．

∴MN=EN ．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．

（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．

∴S △AMN =S △AEN ．

即EN AD 2

1MN AH 21?=?． 又∵MN=EN ，

∴AH=AD ．

即AH=AB ．