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中考数学二次函数的综合复习含详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

PN?AG+

PN?BM=

PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

（x﹣6）（x+2）=﹣

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB 解析式为y=kx+b ，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

60b k b =??

+=?

，解得：16k b =-??=?

，

则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣

t 2

+2t+6）其中0＜t ＜6，则N （t ，﹣t+6），

∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN?AG+1

2PN?BM =1

PN?（AG+BM ） =

2PN?OB =12×（﹣1

2t 2+3t ）×6 =﹣3

2t 2+9t

=﹣32（t ﹣3）2+272

，

∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x轴、PD⊥x轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

则当y=6时，﹣1

x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．

（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．

（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．

（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1

，y1），D（

，y2）

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1

时，y1＞y2，②当b＝

时，y1＝y2，③当

＜b＜

时，y1＜

y2．

【解析】

【分析】

（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】

（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；

（3）如图2，

∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，

A（5，0），B（0，5）得

直线AB的解析式为y＝﹣x+5，

联立EF，AB得方程组

5 y x

y x

=-+

，

解得

，

∴点E（4

5，

），F（0，1）．

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜21

，

∴0＜b＜4

．

当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣1

＝

﹣b，∴b＝

，

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，

综上：①当0＜b＜1

时，y1＞y2，

②当b＝1

时，y1＝y2，

③当1

＜b＜

时，y1＜y2．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．

3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且

tan∠CAO=3．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二

次方程：y2－(m+3)y+1

(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连

接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．

【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)

3(03)

{

3(3)

d t t t

=-+<<

=->

；（3）t=1，2，2)和(12，

2). 【解析】【分析】

（1）当x=0时代入抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C 的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B 的坐标，在直角三角形AOC 中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；

（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；

（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】

（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3， ∴OC=3=n ．当y=0，

∴-x+3=0，x=3=OB ， ∴B （3，0）．

在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=3

3OC OA OA

==， ∴OA=1， ∴A （-1，0）．

将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得

9330{30

a b a b ++=-+=，解得：1

{

a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3； (2) 如图1，

∵P点的横坐标为t 且PQ垂直于x轴∴P点的坐标为(t，－t+3)，Q点的坐标为(t，－t2+2t+3).

∴PQ=|(－t+3)－(－t2+2t+3)|="|" t2－3t |

∴

3(03) {

3(3)

d t t t

=-+<<

=->

；

∵d，e是y2－(m+3)y+1

(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，

∴△≥0，即△=(m+3)2－4×1

(5m2－2m+13)≥0

整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，

∴△=0，m=1，

∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2

∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"

∴此时Q是抛物线的顶点，

延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，

∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，

∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，

∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，

∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，

∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x12，x2=12

综上：t值为1，M点坐标为2，2)和(12，2).

4．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点

的直线y=

﹣

x ﹣1交于点C ．（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使四边形ACPO 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为：y=211

184

x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣1

）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）【解析】

分析：（1）由待定系数法求解即可；

（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；

（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．

详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得

0421

01641a b a b --??

+-?

＝＝解得18

14a b ?

???

?-??

＝＝ ∴抛物线解析式为：y=

18x 2?1

x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=-1

41228

a -

=-?

＝1 （2）存在

使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=-1 2

∴y=-1 2 x

则P点坐标为（1，-1

）

（3）当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，-1

a-1）

由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，-5

a?1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，3

a?1）

把M代入y=1

x2?

x?1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

，

）或（

，﹣

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接D B′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

负倒数设直线PC的解析式为y=-1

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为

y=-1

x+3，再解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

p q

-+=

，解得

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

x+3，

解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

，解得

或

，则此时P点坐标为（

，

）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得1

+b=0，解得b=﹣

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3x﹣

，

解方程组

223

y x x

y x

?-++

＝

，解得

或

?=-

，则此时P点坐标为（

，﹣

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（7

，

）或（

，﹣

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

6．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

【答案】（1）213

y x x =

-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【解析】【分析】

（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；

（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1

y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，

直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12

22y x y x t

?=?

??=-?得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112

S 4t t t 223

?=??-??然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q 213m,

m m 42?

?- ???，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC

=时，△PQO ∽△COA ，则

213m m 2|m |42-=；当PQ PO

AC OC

=时，△PQO ∽△CAO ，则2131

m m m 422

-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【详解】

解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a?8?2＝4，解得a ＝1

， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32

x ；（2）设M （t ，0），

易得直线OA 的解析式为y ＝

x ，设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，

把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=??+=?，解得k 2

b 12=??=-?

，

∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，

∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，

解方程组12

22y x y x t ?=???=-?得43

23x t y t ?

=????=??

，则42N t,t 33?? ???， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM

112

4t t t 223

??-?? 21

t 2t 3

=-+

(t 3)33

=--+，

当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设213m,

m m 42??- ???

， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当

PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84

=， ∴PQ ＝2PO ，即213

m m 2|m |42

-=，解方程213

m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）；解方程213

m m 2m 42

-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当

PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝

PO ，即2131m m m 422-=，

解方程2131

m m m 422

-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；

解方程2131

m m m 422

-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

7．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．

【答案】（1）2

23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；

（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3?? ???或21,3??- ???

. 【解析】【分析】

()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐

标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；

()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=

-+-，

()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标．【详解】

解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2

y x bx c =-++中，

得：{

3b c c --+==，解得：{

3b c ==，

∴抛物线的解析式为223y x x =-++．

()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．

当0y =时，有2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，

∴点B 的坐标为()3,0．

抛物线的解析式为2

23(1)4y x x x =-++=--+，

∴抛物线的对称轴为直线1x =．

设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠，将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中，得：{

3k d d +==，解得：{

3k d =-=，

∴直线BC 的解析式为3y x =-+．

当1x =时，32y x =-+=，

∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．

()3设点M 的坐标为()1,m ，

则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-

分三种情况考虑：

①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，

解得：11m =，22m =，

∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；

②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，

解得：83

m =

，

∴点M 的坐标为81,3??

???

；

③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，

解得：23

m =-

， ∴点M 的坐标为21,.3?

?- ??

综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3??

???或21,.3??- ???

【点睛】

本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．

【答案】（1）y=3

8x 2﹣34

x ﹣3

（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是9

（3）K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）

【解析】【详解】

试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9

（t ﹣1）2+

．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3

x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征

可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣3

m ﹣3）．

如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =

4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK?m+12

?EK?（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣

34m 2+3m=9

4．易求得K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）．

解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得

4230

16430a b a b --=??

+-=?

，解得3834a b ?

=????=-??

，

所以该抛物线的解析式为：y=3

8x 2﹣34

x ﹣3；

（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．

由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．在Rt △BOC 中，

．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．

∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴

HB OC BG

=，即

Hb 35

=，

∴HQ=

t ． ∴S △PBQ =12PB?HQ=12（6﹣3t ）?35t=﹣910t 2+9

5t=﹣910（t ﹣1）2+910

．

当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，

S △PBQ 最大=

910

．答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910

；（3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得

3k c c +=??

=-?，解得3k 4c 3

?=???=-?，

∴直线BC 的解析式为y=3

x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．

∴设点K 的坐标为（m ，3

8m 2﹣34

m ﹣3）．

如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，

m ﹣3）．

∴EK=

34m ﹣3﹣（38m 2﹣34

m ﹣3）=﹣3

8m 2+32m ．

当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =9

． ∴S △CBK =

． S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK?m+1

?EK?（4﹣m ） =

×4?EK =2（﹣3

8m 2+32

m ）

=﹣34

m 2

+3m ．即：﹣34

m 2+3m=94．

解得 m 1=1，m 2=3．

∴K 1（1，﹣

278

），K 2（3，﹣158）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

9．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点

(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．

（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．

（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得

2DAC DCM S S ??=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．