专业题材七不等式(学生版)
4.公式：
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 3.解不等式 (1)一元一次不等式
(2)一元二次不等式：
1.两实数大小的比较
??
?
??<-?<=-?=>-?>0b a b a 0b a b a 0b a b a 专题七 不等式
3.基 本不等式定理
?
??
?
?
???????
?
?????????????????-≤+?<≥+?>≥+
???
????+≤+≥+??
??
????????
?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a
a b )
b a (2b a ab 2
b a 2b a ab 2b a ab )b a (2
1b a ab 2b a 222222
2
222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形
式11
22a b
a b --+≤≤≤+??
??
?
<<>>≠>)
0a (a b
x )
0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.
一元二次不等式的求 解流程：
一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
(3)解分式不等式：
?????
?????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0)
x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )x (f
(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0
（2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0；
（3）2x 2 +ax +2 > 0；
注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：
1、讨论a 与0的大小；
2、讨论⊿与0的大小；
3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想：
1、分类讨论的思想；
2、数形结合的思想；
3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题：
???
??用图象
分离参数后用最值函数、、、3
21
例1．已知关于x 的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a 的取值范围．
例2．关于x 的不等式
对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围.
20,
31
x
x a x x >≤++恒成立，
例3.若对任意 则 的取值范围.
a 2
2(3)210
x a x a +-+-<)
1(log 22++-=ax ax y
(5)一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、
函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论：
4． k 1 < x 1 < x 2 < k 2 5． x 1 < k 1 < k 2 < x 2
()020
f k b
k a >???
-??1．x 1< x 2< k
()020
f k b k a >???
->???>??2．k < x 1< x 2
()0
f k <3．x 1< k < x 2
x
x
1212()0()002f k f k b k k a >??
>??
??>?
?<-
12()0
()0
f k f k >??
>? 6． k 1 122 ()0 ()0()0f k f k f k >?? ? 4解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P + ∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。 z ax by =+2 2y x z +=y z x = 221 2.()2log (01)log f x x x x =++ <<求函的最大值； 4.求函数 的最小值. 5.已知两个正数 满足 求使 恒成立的 的取值范围. 一、求取值范围 1、已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，求y x -3的取值范围。 1 4.f(x)=x+1 x ≥+（x 4）的最小值 2(1)4 ()(1)1 x f x x x ++=>-+19 x y 1.已知x>0,y>0，且+=1，求x+y的最小值.4,a b +=,a b 28m a b +≥m 6 3 2、已知c b a >>，且0=++c b a ，求c a 的取值范围。 3、正数y x ,满足12=+y x ，求11x y + 的最小值。 4、设实数y x ,满足1)1(2 2 =-+y x ，当0≥++c y x 时，求c 的取值范围。 5、已知函数2 ()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。 6、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1 b b β=+，求αβ+的最小值 7、已知集合{} 045|2 ≤+-=x x x A 与{} 022|2 ≤++-=a ax x x B ，若A B ?，求a 的取值范围。 8、若关于x 的方程0124=++?+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围。 二、解不等式 1、032)2(2≥---x x x 2、03 22 32 2≤--+-x x x x . 3、)0(,112>≤-+a ax x 4、0)2)(2(>--ax x 5、关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()+∞,1，求02 >-+x b ax 的解集。 6、已知0>a 且1a ≠，关于x 的不等式1x a >的解集是{ } 0x x >，解关于x 的不等式 1 log ()0a x x -<的解集。 三、线性规划的八种问题 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0)取得最 小值的最优解有无数个，则a的值为（） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值 和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， 4 5 D 、 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则 m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 七·比值问题 当目标函数形如y a z x b -= -时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例 已知变量x ，y 满足约束条件? ??x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值范围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，9 5]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6] 单元练习1 1．如果01,0<<-> B ．a ab ab >>2 C ．2ab a ab >> D ．a ab ab >>2 2．若b a >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ． 1>b a B ． b a lg lg > C ．b a 22> D ．22b a > 3.下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．x x x f 4)(+ = B ．x x x f cos 4cos )(+ = C ．x x x f -?+=343)( D 10log lg )(x x x f +=． 4．若10,10<<<>b a b a ，则 b a 1 1+的取值范围是 。 6．若不等式022>++bx ax 解集为???? ?? <<-3121|x x ，则b a +的值为 。 7．当0>a 时，解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax 。 8．如果不等式)0(02≠<++a c bx ax 解集为?，那么（ ） A ．0,0>? B ．0,0≤? C ．0,0≤?>a D ．0,0≥?>a 9． 设123)(+-=a ax x f ，若存在)1,1(0-∈x ，使0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是 10．不等式02>++k x x 恒成立，则k 的取值范围是 。 11．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年所需费用为12万元，从第二年起包括各种费用在内，每年所需费用均比上一年增加4万元。该船每年捕捞收入为50万元。 （1）该船几年开始获利？ （2）该船经过若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利最大时，以26万元价格卖出；②当盈利总额达到最大时，以8万元卖出。问那种方案合算？说明理由。 ,. 单元练习2 1、若,0< A 22b a < B ab a <2 C