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函数导数公式及证明

函数类型常量函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

原函数

f (x) C ，C为常量

f (x)x a

f (x)x m

f (x)a x

f (x)e x

f ( x)lo

g a x

f (x) ln x

f (x)sin x

f (x)cosx

求导公式

f ' ( x)0

( x a )'ax a 1

( x a )( n)a(a 1)...(a n1)x a n

( a 0,1,2..., n1)

( x m )( n) m! x m n, (n m)

(m n)!

( a x )' a xln a

( a x )( n) a x ln n a , (0 a 1)

(e x )'e x

(e x )(n ) e x

(log a x)' 1

x ln a

(log a x)(n ) ( 1)n 1 (n 1)! ,(0 a 1)

x n ln a

(ln x)' 1

(ln x) (n ) ( 1)n 1 (n 1)!

x n

(sin x)' cosx

(sin x)( n) sin(x n )

(cosx)' sin x

反三角函数双曲函数反双曲函数f (x)tan x

f (x)cot x

f (x) arcsinx

f (x)arccosx

f (x) arctanx

f (x)arccot x

f ( x)sinh x

f ( x) coshx

f (x)tanh x

f ( x)coth x

f (x)arsinh x

f (x) arcoshx

f (x)ar tanh x

(cosx)( n) cos(x n )

(tan x)' sec2 x 1

1 (tan x)2

cos2

(cot x)' csc2 x 1 1 (cot x)2

sin2 x

(arcsin x) '

(arccos x)' 1

1 x2

(arctan x)' 1

1 x2

(arccot x)'

(sinh x)' coshx

(cosh x)' sinh x

(tanh x)' 1

cosh2 x

(coth x)' 1

sinh2

( ar sinh x)' 1

( ar cosh x) ' 1

x2 1

(ar tanh x)' 1

1 x2

复合函数导数公式

复合函数求导公式

f ( x) g( x)

f ( x)gg( x)

f (x)

g( x)

g (x) ,

f g (x)

[ f ( x) g(x)]'

f ' ( x)

g ' ( x)

[ f ( x)gg( x)]' f ' (x)gg (x) f ( x)gg ' ( x)

[Cgf (x)] ' Cgf ' (x)

f ' (x)g

g (x) f ( x)gg ' ( x)

f ( x)

g (x)

g 2 (x)

f ' g(x)

f ' ( g( x))g

g ' (x)

1．证明幂函数 f ( x) x a 的导数为 f ' ( x) ( x a )' ax a 1

证：

f ' (x) lim

f ( x

Vx) f (x)

lim ( x Vx)n x n

根据二项式定理展开

( x ) n

lim

(C n 0

x n

C n 1 x n 1 Vx C n 2 x n 2 Vx 2

... C n n 1xVx n 1 C n n Vx n ) x n

消去 C n 0 x n x n

lim C n 1 x n 1Vx

C n 2 x n 2Vx 2 ... C n n 1 xVx n 1 C n n Vx n

分式上下约去 Vx

lim( C n 1 x n 1 C n 2 x n 2 Vx 1 ... C n n 1 xVx n 2 C n n Vx n 1)

因 Vx

0 ，上式去掉零项 C n 1x n 1

nx n 1

lim

( x

Vx x)[( x Vx)n 1

x( x Vx)n 2 ... x n 2 ( x Vx) x n 1]

Vx 0

lim[( x Vx)n 1 x( x Vx)

n 2

(x)

n 2

( x Vx) x n 1]

x n 1

xgx n 2 ... x n 2 gx

x n 1

ngx n 1

2．证明指数函数 f ( x) a x 的导数为 (a x )' a x ln a

证：

f '

(x) lim

f ( x

Vx) f ( x)

lim

a x Vx

a x

Vx 0

lim a x (a Vx

Vx 0

令 a V x 1 m ，则有 Vx log a (m 1) ，代入上式

lim a x (a Vx 1)

lim a x m Vx 0

Vx V x 0

log a (m 1)

lim

a x m lim

a x ln a a x ln a

ln( m

1) 0 1 lim

Vx 0 V x ln(m Vx 0

1)m

ln a

m 1)

ln( m

1 )x

根据 e 的定义 e

lim(1 ，则 lim( m 1)m

e ，于是

x V x 0

lim

a x ln a

a x

ln a

ln e

ln( m

3．证明对数函数 f ( ) log a x 的导数为 f ' (x) (log a x) '

1 x

x ln a

证：

f ' (x) lim f (x Vx) f (x) lim lo

g a (x Vx) log a x

Vx 0 Vx Vx 0

log a x Vx log a (1 Vx ) ln(1 Vx ) lim Vx x lim

x lim x V x 0

V x 0 Vx V x 0

Vx ln a

ln(1 Vx )

ln(1 Vx ) Vx x lim Vx x lim

Vx 0 x ln a V x 0

x ln a

根据 e 的定义 e lim(1

)x ，则 lim ln(1 Vx )

x V x 0 x

Vx e ，于是

ln(1

)

V x

ln e 1 lim

x Vx 0

x ln a x ln a x ln a

4．证明正弦函数 f ( x) sin x 的导数为 f ' ( x) (sin x)' cosx

证：

f ' (x)

lim f (x Vx) f (x) lim sin(x Vx) sin x

Vx 0 Vx Vx 0

根据两角和差公式

sin(x Vx) sin x cosVx cos x sinVx

sin(x Vx) sin x lim sin xcosVx cosxsinVx sin x

lim Vx

Vx 0 Vx 0

因

lim(sin x cosVx) sin x ，约去 sin x cosVx sin x ，于是

cosx sinVx

lim

V x 0

sinVx

因 lim

1 ，于是

Vx 0

lim(cos x

sinVx

) cosx

Vx 0 Vx

5．证明余弦函数 f ( x) cosx 的导数为 f ' ( x) (cosx) '

sin x

证：

f ' (x) lim f ( x Vx) f (x) lim cos(x Vx) cosx Vx 0 Vx Vx 0

根据两角和差公式

cos(x Vx) cosx cosVx sin x sinVx

lim cos(x Vx)

cosx

lim cos x cosVx

sin x sinVx cos x

V x

因 lim(cos x cosVx)

cos x ，约去 cos x cosVx cos x ，于是

Vx 0

lim sin x sinVx

Vx 0

因 lim

sinVx

1 ，于是

Vx 0

lim(

sin x sinVx

sin x

)

Vx 0

6．证明正切函数 f ( x) tan x 的导数为 f ' ( x)

(tan x) '

1 x

cos 2 证：

f ' (x) lim f ( x Vx) f ( x) lim tan(x Vx) tan x

Vx 0 Vx V x 0

sin(x Vx) sin x

lim cos(x Vx) cos x

lim sin( x

Vx)cos x sin x cos(x Vx)

Vx 0

Vx V x

0 Vx cos(x Vx)cos x

根据两角和差公式

sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,

cos(x Vx) cosxcosVx

sin xsinVx

代入上式

lim (sin x cosVx cosx sinVx)cos x

sin x(cos x cosVx sin x sinVx)

Vx 0

Vxcos(x Vx)cos x

lim cos x cosx sinVx ( sin x sin x sinVx)

sinVx(cos xcosx sin x sin x)

Vx cos(x Vx)cos x

lim

Vx cos(x Vx)cos x

Vx 0

V x

因 cos 2 x sin 2 x 1

sinVx

lim

Vx cos(x Vx)cos x

因 lim

sinVx 1 ， lim cos(x Vx)

cos x ，上式为

Vx 0 Vx V x 0

sinVx

1 1

lim

Vx 0 Vx cos(x Vx)cos x cos x

f ( x) cot x 的导数为 f ' ( x) (cot x)'

sin 2 x

证：

f ' (x) lim f ( x

Vx) f ( x) lim cot( x Vx) cot x

Vx 0 Vx V x 0

cos(x Vx) cos x

lim sin(x Vx) sin x

lim cos(x Vx)sin x

cos x sin(x Vx)

Vx 0

Vx V x

Vx sin( x Vx)sin x

根据两角和差公式

sin( x Vx) sin x cosVx cosx sinVx ,

cos(x Vx) cosxcosVx

sin xsinVx

代入上式

lim (cos xcosVx

sin x sinVx)sin x cosx(sin x cosVx cos x sinVx)

Vx 0

Vx sin(x Vx)sin x

lim

sin 2 x sin Vx

cos 2

x sinVx

sinVx(sin 2 x cos 2 x)

Vx sin( x

Vx)sin x

lim

Vx sin( x Vx)sin x

Vx 0

因 sin 2 x

cos 2 x 1 , 且 lim

sinVx

1 ，

lim sin( x Vx)

sin x ，代入上式

Vx 0

V x 0

lim

sinVx 1 1

Vx sin( x Vx)sin x

sin 2 x

Vx 0

8．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为

' ( x) g ' ( x)

f ( x) g(x)f 证:

f (x)

lim

f (x Vx)

g (x Vx)

f (x) g( x)

g( x)

V x 0

f (x Vx) f (x)

g (x Vx)

g( x)

lim

f ' ( x)

g ' (x)

9．证明复合函数 f ( x) g( x) 的导数为 '

f ' ( x) g( x) f ( x)

g ' ( x)

f (x) g( x)

证:

f ( x Vx) g(x Vx)

f (x)g( x)

f (x) g( x)

lim

f ( x Vx) f ( x) f ( x) g( x Vx) f ( x) g( x Vx) g( x Vx)

g (x)

lim

V x 0 Vx

lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g (x Vx) f ( x)g ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)

Vx 0

lim f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) f ( x) g ( x Vx) g( x)

Vx 0

lim f (x Vx) f (x) g( x Vx) f ( x) g( x

Vx) g( x)

Vx 0 Vx Vx

f ' ( x)

g (x) f ( x) g ' (x)

f ( x) f ( x) ' f ' ( x) g

g (x) f ( x)gg' (x) 10．证明复合函数的导数为

g (x) g (x) g2 (x)

证:

' f ( x Vx) f ( x) g( x Vx) g ( x)

f ( x)

g ( x) lim

Vx V x 0

lim f (x Vx) g( x) f ( x) g( x Vx)

Vxg( x)g (x Vx)

Vx 0

lim f ( x Vx) f ( x) f (x) g (x) f ( x) g (x Vx) g( x) g( x)

Vxg (x)g( x Vx)

Vx 0

lim f ( x Vx) f ( x) g( x) f (x) g( x) f (x) g (x Vx) g(x) f ( x) g( x)

Vxg( x) g( x Vx)

Vx 0

lim f ( x Vx) f ( x) g ( x) f (x) g(x Vx) g( x)

Vxg( x) g (x Vx)

Vx 0

f ( x Vx) f ( x)

g( x) f ( x) g( x Vx) g ( x)

lim Vx Vx

g (x)g( x Vx)

Vx 0

' f ' ( x)gg( x) f (x)gg' ( x)

g 2 ( x)

11．证明复合函数 f g ( x) 的导数为 f ' g( x)

f ' (

g ( x))gg ' ( x)

证:

f (

g ( x)) ' lim f ( g( x Vx)) f (g ( x))

V x

令 u g(x) , 则有 Vu g(x Vx)

g( x)

lim f (u Vu)) f (u)

Vx 0

lim f (u Vu)) f (u) Vu Vu Vx Vx 0

lim f (u Vu)) f (u) g ( x Vx) g( x)

Vx 0

f ' (u)g

g ' ( x) f ' ( g( x))gg ' (x)

f ' (x) 12．证明复合函数 ln f ( x) 的导数为 ln f (x)

f ( x)

证:

令 u f (x) ,

ln f ( x) '

ln u gu

1 gu '

f ' (x)

u f (x)

13．求复合函数 x x 的导数

解:

令 u x x

ln u x ln x

u ' 等式左边求导为

ln u

x ln x

ln x x 1 ln x 1

等式右边求导为

x '

ln x x(ln x)

ln x 1,

于是有

u' (ln x 1)u

则(x x ) ' (ln x 1)x x

14. 证明反三角函数arcsin x的导数为(arcsin x)' 1

1 x

2 证:

令 y arcsin x ,则

sin y x

对上式两边求导 , 等式右边 x' 1

等式左边 ( 根据复合函数求导公式), 其导数为(sin y)' (cos y)gy'

于是有 (cos y)gy' 1

y' 1 1

(cos y)1 sin 2y

再将 y arcsin x 代入上式

(arcsin x)' 1 1

1 sin

2 (arcsin x) 1 x2

15. 证明反三角函数 arccos x 的导数为 (arccos x)' 1

1 x

2 证:

令 y arccosx ,则

cosy x

对上式两边求导, 等式右边x' 1

等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 cos y(sin y)gy

于是有(sin y)gy' 1 ,整理后如下：

y' 1 1

(sin y) 1 cos2 y

再将 y arccosx 代入上式

(arccos x) ' 1 1

1 cos

2 (arccos x) 1 x2

16. 证明反三角函数arctanx的导数为(arctanx)' 1

1 x2

证:

令 y arctanx ,则

tan y x

对上式两边求导, 等式右边x' 1

等式右边 ( 根据复合函数求导公式),其导数为 tan y(1 tan2 y)gy '

于是有 (1 tan2 y)gy' 1 ,整理后如下：

y' 1

1 tan

2 y

再将 y arctanx 代入上式

(arctanx)' 1 1

1 tan

2 arctan x 1 x2

17. 证明 : 反函数的导数为原函数导数的倒数 f 1 ' 1 ,( f ' ( x) 0)

( y)'

f ( x)

如果函数 x ( y) 在某区间I y 内单调、可导且' ( y) 0 ，那么它的反函数y f (x) 在对应区间I x内

也可导，并且 f ' (x) 1 。

' ( y)

证：

因为 y f (x) 连续，所以当 Vx 0 时， Vy 0

f ' (x) lim Vy

lim 1 1

x 0 Vx x 0 Vx ' ( y)

即 f ' (x) 1

' ( y)

举例：

(arcsin x)' 1 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 sin 2 (arcsin x) 1 x2

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式的推导过程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

基本初等函数的导数公式推导过程一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程命题若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=．推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααα ααααααααααααααααααα αααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++()1111 C x x x ααααα αα---?== 所以原命题得证．

命题若()sin f x x =，则()cos f x x '=．推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?．所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证．

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） For personal use only in study and research; not for commercial use f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx For personal use only in study and research; not for commercial use =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) For personal use only in study and research; not for commercial use 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx

f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：

反角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明 §2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间},)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即：)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上，有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式：

导数公式及证明

编辑本段导数公式及证明这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：基本导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2幂函数。y=x^n, y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3.(1)y=a^x ,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4.(1)y=logaX, y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记 y=lnx ,y'=1/x 5.y=(sinx ）y'=cosx 6.y=（cosx） y'=-sinx 7.y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8.y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9.y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2 10.y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11.y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12.y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）： y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的： y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题基本知识点：知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（）（n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（）知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（）知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。一、计算题 1、计算下列函数的导数；（1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（（3）)y x x 54=0 （（4）)y x x 23=0 （（5）)-y x x 23 =0 （（6）y x 5=

（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数；（1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，）（6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）

函数导数公式及证明

复合函数导数公式

) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=

12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===

导数公式证明大全(更新版)

（麻烦那些盗取他人成果的人素质点，最近总有人把我的作品抄袭过去，改改标题就作为他的东西。愤怒啊！！！！！！）导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数） f'(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δ x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δ x)+x^(n-1)] =x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))'=(nlnx)' f'(x)/f(x)=n/x f'(x)=n/x*f(x) f'(x)=n/x*x^n f'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinx f'(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx =cosx （3）f(x)=cosx f'(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx （4）f(x)=a^x 证法一： f'(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

反三角函数求导公式证明

§ 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间 },)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'=' (1) 证明： ?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1因直接函数)(y x ?=在I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数)(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y )(11lim lim 00y y x x y y x ?'=??=??→?→?即：)(1)(y x f ?'=' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 1211312 2 x x arctgx x a x a x '=-'=+'= 证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在 )2,2(ππ-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上，有 y x cos 1)arcsin (= ' 注意到，当)2,2(ππ-∈y 时，0cos >y ，221sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy =，)2,2(ππ-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 12>='y x 故 2221111cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (=='= '

高中导数公式大全

C'=0(C为常数函数)； (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) .y=c(c为常数) y'=0 .y=x^n y'=nx^(n-1) .y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x y=lnx y'=1/x .y=sinx y'=cosx .y=cosx y'=-sinx .y=tanx y'=1/cos^2x .y=cotx y'=-1/sin^2x

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程一、幂函数()f x x α=（α∈Q *）的导数公式推导过程命题若()f x x α=（α∈Q *），则()1f x x αα-'=．推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证．二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程命题

推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时，sin 22 x x ??=，所以此时sin 212x x ?=?．所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ，所以原命题得证．三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程命题