{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：反函数[仅供参考]

20XX年高中测试

高

中

试

题

试

卷

科目：

年级：

考点：

监考老师：

日期：

7、反函数

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（

B.

－ －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ）

A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R

B ．y =(x －1)2－1，x ∈R

C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1

D ．y =(x －1)2－1，x ≤1

3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －

1(4)等于

（ ）

A ．2

B ．1－2

C ．－2

D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是 （ ）

A ．y=－f (x )

B ．y= f -1(x )

C ．y =－f -1(x )

D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]()

242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为

（ ）

A ．[)4,-+∞

B ．[)0,+∞

C ．[]0,4

D ．[]0,12

6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1

a - C ．

b D ．1

b -

7．已知函数()1

3

ax f x x +=

-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）

A ．3-

B ．1

C ．3

D ．1-

8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）

A ．有且只有一个实数根

B ．至少有一个实数根

C ．至多有一个实数根

D ．没有实数根

9．函数f (x )=－

2

2

·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ）

A ．(－∞，0］

B ．(－∞，＋∞)

C ．(－1，1)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点

（ ）

A ．(－1，4)

B ．(－4，－1)

C ．(－1，－4)

D ．(1，－4)

11．函数f(x)＝

x

1

(x ≠0)的反函数f －1(x)＝ （ ） A ．x(x ≠0) B ．x 1(x ≠0) C ．－x(x ≠0) D ．－x 1

(x ≠0)

12、点(2，1)既在函数f (x )=a

b

x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数

组(a ，b )有 （ ）

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）

13．若函数f (x )存在反函数f －

1(x )，则f －

1[f (x )]=___ ； f [f －

1(x )]=_____．

14．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为___． 15．设f (x )=x 2－1(x ≤－2)，则f －1(4)=__ ________． 16．已知f (x )＝f －

1(x )＝x

m x ++1

2(x ≠－m )，则实数m =．

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．（1）已知f (x ) = 4x －2x ＋

1 ，求f －

1(0)的值．

（2）设函数y = f (x )满足 f (x －1) = x 2－2x ＋3 (x ≤ 0)，求 f －

1(x ＋1)．

18．判断下列函数是否有反函数，如有反函数，则求出它的反函数．

（1）2

()42()f x x x x R =-+∈； （2）2()42(2)f x x x x =-+≤． （3）1(0)

1,,(0)

x x y x x +>?=?

-

19．已知f (x )=

1

3

-+x ax （1）求y =f (x )的反函数 y = f －1 (x )的值域;

（2）若(2，7)是 y = f －

1 (x )的图象上一点，求y=f (x )的值域．

20．已知函数2

(1)2(0)f x x x x +=+>，

（1）求1

()f

x -及其1(1)f x -+；

（2）求(1)y f x =+的反函数．

21．己知()2

11x f x x -??

= ?+??

(x ≥1)，

（1）求()f x 的反函数1

()f x -，并求出反函数的定义域；

（2）判断并证明1

()f x -的单调性．

22．给定实数a ，a ≠0，且a ≠1，设函数11--=

ax x y ??? ?

?

≠∈a x R x 1,且．试证明：这个函

数的图象关于直线y =x 成轴对称图形．

参考答案

一、选择题： DCCDD ACCAC BA

二、填空题：13.x ，x ，14.x ≥－1，15.－5，16.m ＝－2

三、解答题：

17.解析：（１）设f －

1(0)=a ，即反函数过(0，a)， ∴原函数过(a ，0)．

代入得 ：0=4a －2a

＋1

，2a (2a －2)=0，得

a =1，∴f

)0(1

-=1．

（２）先求f (x )的反函数)2(1)1(),3(2)(11≥--=+∴≥--=--x x x f x x x f ．

18.解析：⑴令()0,y f x ==得到对应的两根：120,4x x ==

这说明函数确定的映射不是一一映射，因而它没有反函数．

⑵由2()42f x x x =-+2(2)2x =--，得2

(2)2x y -=+

∵2x ≤，∴22x x -==，

互换,x y 得2y =-

又由2

()42(2)f x x x x =-+≤的值域可得反函数定义域为[2,),-+∞

∴反函数为1

()2f x x -=-

∈[2,)-+∞．

⑶由1(0)y x x =+>得其反函数为1(1)y x x =->； 又由1(0)y x x =-<得其反函数为1(1)y x x =+<-．

综上可得，所求的反函数为1(1)

1(1)

x x y x x ->?=?

+<-?．

注：求函数()y f x =的反函数的一般步骤是：

⑴反解，由()y f x =解出1

()x f y -=，写出y 的取值范围；

⑵互换,x y ，得1

()y f

x -=；

⑶写出完整结论(一定要有反函数的定义域)．

⑷求分段函数的反函数，应分段逐一求解；分段函数的反函数也是分段函数．

19.解析：

（１）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．∴反函数的值域为{y|y 1,≠∈y R }

（２）∵(2，7)是y =f －

1(x)的图象上一点，∴(7，2)是y =f (x )上一点． ∴,21

5

215)1(2132)(2

1

2327≠-+=-+-=-+=

∴=∴-+=x x x x x x f a a ∴f (x )的值域为{y |y ≠2}．

20．解析：⑴∵22

(1)211(1)1(0)f x x x x x +=++-=+->，

∴2

()1(1)f x x x =->，其值域为{|0}y y >，

又由2

1(1)y x x +=> 得x =

∴1

()0)f x x -=

>， ∴1(1)1)f x x -+=>-．

⑵由2

()2(0)y f x x x x ==+>，解得1(1)x y =

>-

∴(1)y f x =+的反函数为1y =

(1)x >-．

说明：1

(1)y f x -=+并不是(1)y f x =+的反函数，而是1()y f x +=的反函数．

题中有1

(1)y f

x -=+的形式，我们先求出1()y f x -=，才能求出1(1)y f x -=+．

21.

解析：⑴2

1(

)1,1011x y x x y x -=?=≥≥?≤<+设， 即1

()f

x -的定义域为[)0,1；

⑵设11121201,01,()()0x x f x f x --≤<<∴≤∴-=

<，

1112()()f x f x --<，即1()f x -在[)1,0上单调递增．

22、证法一:

且则意一点是这个函数的图象上任设点,1

,),(a

x y x P ≠''' .1

1

-'-'=

'x a x y ……①

).,(),(x y P x y y x P '''=''的坐标为的对称点关于直线易知点

由①式得

??

?-'=-''-'=-'',

1)1(1

)1(y y a x x x a y 即

……②

由此得a =1，与已知矛盾，.01≠-'∴y a 又由②式得1

1

-'-'=

'y a y x

这说明点P ′（y ′,x ′）在已知函数的图象上，因此，这个函数的图象关于直线y =x 成轴对称图形.

证法二:先求所给函数的反函数:由

),1

,(11a

x R x ax x y ≠∈--=

得 y (ax －1)=x －1， 即 (ay －1)x =y －1．

得代入所给函数的解析式则假如,,1,01a y ay =

=-1

11--=ax x a 即 ax －a =ax －1，

由此得a=1，与已知矛盾，所以ay －1≠0． 因此得到

).

1,(,11)1

,(11,1

,11a x R x ax x y a

x R x ax x y a

y ay y x ≠∈--=≠∈--=≠--=

且的反函数是且这表明函数其中

由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f －1(x)的图象关于直线y=x 对称，所以函数

)1

,(11a

x R x ax x y ≠∈--=

且的图象关于直线y =x 成轴对称图形.