运筹学最大流问题作业

运筹学最大流问题作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

作业：

课堂作业：求下列网络的s 到t 的最大流

目标函数：

约束条件： ……

最大流：21

课后作业： 1、求下列网络图s 到t 的最大流

6 4 15

7 4 3

3

2 6 1

3 s 1

2

3 4 t

目标函数：

约束条件： ……

最大流：20

2、书本P182第4题 目标函数：

约束条件：

……

10

9 5

5

4 4 9

5 6

13 s 1 2 3

4

5 t 4 5

最大流：2

运筹学大作业 哈工大

课程名称：对偶单纯形法 一、教学目标 在对偶单纯形法的学习过程中，理解和掌握对偶问题；综合运用线性规划和对偶原理知识对对偶单纯形法与单纯形法进行对比分析，了解单纯形法和对偶单纯形法的相同点和不同点，总结出各自的适用范围；掌握对偶单纯形法的求解过程；并能运用对偶单纯形法独立解决一些运筹学问题。 二、教学内容 1) 对偶单纯形法的思想来源(5min) 2) 对偶单纯形法原理(5min) 3) 总结对偶单纯形法的优点及适用情况(5min) 4) 对偶单纯形法的求解过程(10min) 5) 对偶单纯形法例题(15min) 6) 对比分析单纯形法和对偶单纯形法(10min) 三、教学进程： 1）讲述对偶单纯形法思想的来源： 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法（Dual Simplex Method ）。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）讲述对偶单纯形法的原理 A.对偶问题的基本性质 依照书第58页，我们先介绍一下对偶问题的六个基本性质： 性质一：弱对偶性 性质二：最优性。如果 x j （j=1...n)原问题的可行解，y j 是其对偶问题可 行解，且有 ∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j 是原问题的最优解，y j 是其对偶问题的最

优解。 性质三：无界性。如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 性质四：强对偶性。如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解。 性质五：互补松弛型。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。 性质六：线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. B.对偶单纯形法（参考书p64页） 设某标准形式的线性规划问题，对偶单纯形表中必须有c j -z j ≤0（j=1...n),但b i (i=1...m)的值不一定为正，当对i=1...m ，都有b i ≥0时，表中原问题和对偶问题均为最优解，否则通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻的基解。 3）为什么要引入对偶单纯形法 从理论上说原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，对偶问题是原问题从另外一个角度考虑的结果。用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“≥”时，不必引入人工变量，使计算简化。 例如，有一线性规划问题： min ω =12 y 1 +16y 2 +15 y 3 约束条件 ?? ?? ???≥=≥+≥+0)3,2,1(3522 423121 i y y y y y i

运筹学典型考试试题及答案

二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为

计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16

运筹学大作业(线性规划问题)

运筹学 结课大作业 姓名：苏同锁 学号：1068132104 学院：数理与生物工程学院 班级：数学2010

实例：有三家物流企业将一批货物分别运送到四个城市。物流公司A，B，C所运送货物量分别为110吨、70吨、100吨四个城市I， Il，III，Ⅳ，需求量分别为60吨、70吨、50吨、70吨。物流公司A往城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为l0元、15元、20元、25元；物流公司 B到城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为2O元、10元、l5元、15元：物流公司 C 到城市I，II，III，Ⅳ每吨的运价分别为25元、30元、20元、25元。 运输费用数据表 如何确定调运方案，才能使运输总费用最小。 首先，设运输总费用为f，我们要求运输总费用最小，故目标函数为：Minf=10x11+15x12+20x13+25x14+20x21+10x22+15x23+15x24+25x31+ 30x32+20x33+25x34 其中Xij表示从物流公司i调运到城市j物资的数量，minf表示运输费用最少。 考虑约束条件如上表所述的量和销地的需求量要满足运输平衡条件，以及各变量取非负数，于是可得如下约束条件：

x11+x12+x13+x14<=110 x21+x22+x23+x24<=70 x31+x32+x33+x34<=100 x11+x21+x31>=60 x12+x22+x32>=70 x13+x23+x33>=50 x14+x24+x34>=70 Xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 最后，我们将目标函数和约束条件写在一起，就得到了物资调运问题的数学模型，即线性规划问题： minf=10x11+15x12+20x13+25x14+20x21+10x22+15x23+15x24+25x31+ 30x32+20x33+25x34 x11+x12+x13+x14<=110 x21+x22+x23+x24<=70 x31+x32+x33+x34<=100 x11+x21+x31>=60 x12+x22+x32>=70 x13+x23+x33>=50 x14+x24+x34>=70 Xij≥0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)

运筹学-最大流- 案例

案例BMZ公司的最大流问题 背景 BMZ 公司是欧洲一家生产豪华汽车的制造商。它因为提供优质的服务而获得很好的声誉，保持这个声誉一个很重要的秘诀就是它有着充裕的汽车配件供应，从而能够随时供货给公司众多的经销商合授权维修店。 这些供应件主要存放在公司的配送中心里，这样一有需求就可以立即送货。卡尔（BMZ 公司的供应链的经理）优先考虑的是改进这些配送 中心的不足之处。 该公司在美国有几个配送中心。但是，离洛杉机中心最近的一个配送中心却坐落离洛杉机1000 多英里的西雅图。保证洛杉机中心良好的供应是尤为重要的。因此，现在那里的供应不断减少的现状成为了公司高层管理真正关心的问题。 大部分的汽车配件以及新车是在该公司坐落于德国的斯图加特的总 厂和新车一起生产的。也就是这家工厂向洛杉机中心供应汽车配件。每月有超过300000 立方英尺的配件需要运到。现在，下个月需要多得多的数量以补充正在减少的库存。 问题 卡尔需要尽快制定一个方案，使得下个月从总厂运送到洛杉机配送中心的供应件尽可能多。他认识到了这是个最大流的问题——一个使得从总厂运送到洛杉机配送中心的配件流最大的问题。因为总厂生产的配件量远远要大于能够运送到配送中心的量，所以，可以运送多少配件的限制条件就是公司配送网络的容量。 这个配送网络如下图1 。在图中，标有ST 和LA 的节点分别代表斯图加特的工厂和洛杉机的配送中心。由于工厂所在地有一个铁路运转点，所以首先通过铁路把配件运输到欧洲的三个港口：鹿特丹（RO ）波尔多（BO ）和里斯本(LI) ；然后通过船运到美国的港口纽约（NY ）或新奥尔良（NO ）；最后用卡车送到洛杉机的配送中心。 图1 网络模型

《运筹学参考综合习题》

《运筹学参考综合习题》 （我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考） 资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师） 可能出现的考试方式（题型） 第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分） ——考查知识点：几个基本、重要的概念 第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分） ——参考范围： 1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题） 2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解） 3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。 4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆） 5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法） 6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决） ——未知是否必考的范围： 1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）； 2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单） ※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。

第一部分 填空题复习参考 一、线性规划部分： ㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集； ②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶； ③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。 ㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡，则：∑∑===n j j m i i d s 1 1 二、网络分析中的一些常用名词： 定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。 定义：赋“权”图称为网络。 定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。闭链称为圈。闭回路又称为回路。 定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。无重复边与自环的图称为连通图。 定义：树是无圈的连通图。 树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链； ②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；

运筹学单项选择题

单项选择题 一、线性规划 1.线性规划具有无界解是指"C" A.可行解集合无界 B.有相同的最小比值 C.存在某个检验数 D.最优表中所有非基变量的检验数非零 2.线性规划具有唯一最优解是指 "A" A.最优表中非基变量检验数全部非零 B.不加入人工变量就可进行单纯形法计算 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 3.线性规划具有多重最优解是指"B" A.目标函数系数与某约束系数对应成比例 B.最优表中存在非基变量的检验数为零 C.可行解集合无界 D.基变量全部大于零 4.使函数减少得最快的方向是"B" A.(－1,1,2) B.(1,－1,－2) C. (1,1,2) D.(－1,－1,－2) 5.当线性规划的可行解集合非空时一定 "D" A.包含点X=(0,0,···,0) B.有界 C.无界 D.是凸集 6.线性规划的退化基可行解是指 "B" A.基可行解中存在为零的非基变量 B.基可行解中存在为零的基变量 C.非基变量的检验数为零 D.所有基变量不等于零 7.线性规划无可行解是指 "C" A.第一阶段最优目标函数值等于零 B.进基列系数非正 C.用大M法求解时,最优解中还有非零的人工变量 D.有两个相同的最小比值 8.若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算 "B" A.一定有最优解 B.一定有可行解 C.可能无可行解 D.全部约束是小于等于的形式 9.设线性规划的约束条件为 "D" 则非退化基本可行解是 A.(2，0，0，0) B.(0，2，0，0) C.(1，1，0，0) D.(0，0，2，4) 10.设线性规划的约束条件为 "C" 则非可行解是 A.(2，0，0，0) B.(0，1，1，2) C.(1，0，1，0) D.(1，1，0，0)

川大《管理运筹学》第二次作业答案

川大《管理运筹学》第二次作业答案 欢迎你， 你的得分：100.0 完成日期：2013年08月19日09点43分 说明：每道小题括号里的答案是您最高分那次所选的答案，而选项旁的标识是标准答案。 一、单项选择题。本大题共20个小题，每小题 2.0分，共40.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 规划的目的是（） (C) 合理利用和调配人力、物力，以取得最大收益。 合理利用和调配人力、物力，使得消耗的资源最少。 合理利用和调配现有的人力、物力，消耗的资源最少，收益最大。 合理利用和调配人力、物力，消耗的资源最少，收益最大。 线性规划问题标准型中bi（ｉ＝１，２，……ｎ）必须是（）。 (B) 正数 非负数 无约束 非零 线性规划问题的基本可行解Ｘ对应于可行域Ｄ的（）。 (D) 外点 所有点 内点 极点 满足线性规划问题全部约束条件的解称为（）。 (C) 最优解

基本解 可行解 多重解 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（）。 (A) 多重解 无解 正则解 退化解 原问题与对偶问题的最优（）相同。 (B) 解 目标值 解结构 解的分量个数 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量yi是（）。 (B) 多余变量 自由变量 松弛变量 非负变量 运输问题中，m+n-1个变量构成基本可行解的充要条件是他不含（）。 (C) 松弛变量 多余变量 闭回路 圈 树Ｔ的任意两个顶点间恰好有一条（）。 (B)

边 初等链 欧拉圈 回路 若Ｇ中不存在流f增流链，则f为Ｇ的（）。 (B) 最小流 最大流 最小费用流 无法确定 对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足（） (D) 等式约束 “≤”型约束 “≥”型约束 非负约束 当线性规划问题的一个基解满足下列哪项要求时称之为一个可行基解（） (C) 大于0 小于0 .非负 非正 在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目() (C) 等于m＋n .大于m＋n－1 .小于m＋n－1 等于m＋n－1 在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为（）

运筹学复习

一、填空题 1、线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2、线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3、原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4、求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5、原问题的变量取值是0，则其对偶问题对应的约束条件是 。 6、目标规划单纯形法的最优性检验规则是 。 7、表上作业法包括有 、 、 。 8、目标规划克服了线性规划只能解 个目标的问题。 9、运输问题初始方案的确定的方法有 、 、 10、在目标规划问题中，约束条件分为 和 。 二、判断题： 1、在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大还是极小，原问题可行解的目标函数值一定超过其对偶问题可行解的目标函数值。 （ ） 2、如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点。 （ ） 3、含n 个变量m 个约束的标准型线性规划问题，基解数恰好为m C n 个。 （ ） 4、若1X ,2X 分别是某一线性规划的最优解，则21)1(X X X λλ-+=也是该线性规划问题的最优解，其中10≤≤λ。 （ ） 5、如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。 （ ） 6、任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 （ ） 7、单纯形法计算中选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入基的变量，将使迭代后的目标函数得到最快的增长。 （ ） 8、如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。 （ ） 9、原问题求最大值，第i 个约束是“≥”，则该约束条件对应的对偶变量y i =0 10、对取值无约束的变量j x ，通常令j j x x ''-''=j x ，其中 0,0≥''≥'j j x x ，在 用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0,0>''>'j j x x （ ）

运筹学作业

运筹学 一、单选题（共 20 道试题，共 100 分。） 1. 在求极小值的线性规划问题中，人工变量在目标函数中的系数为B A. 0 B. 极大的正数 C. 绝对值极大的负数 D. 极大的负数 2. 关于最大流量问题，叙述正确的是（）A A. 一个流量图的最大流量能力是唯一确定 B. 达到最大流量的方案是唯一的 C. 一个流量图的最大流量能力不是唯一的 D. n条线路中的最大流量等于这n条线路的流量能力之和 3. 流量图中从起点到终点的流量能力（）D A. 等于该图各连线中最大的流量能力 B. 大于该图各连线中最小的流量能力 C. 小于该图各连线中最大流量能力 D. 大于等于该图各连线中的最小流量能力 4. （）表示当过程处于某阶段的某个确定状态时，可以作出的选择或决定B A. 状态 B. 决策 C. 状态转移 D. 指标函数 5. 目标函数取极小化的线性规划可以转化为目标函数取极大化即（）的线性规划问题求解B

A. maxZ B. max（-Z） C. 相关一个符号 D. 相同 6. 连续型动态规划常用求解方法是（）B A. 表格方式 B. 公式递推 C. 决策树 D. 多阶段决策 7. 运筹学为管理人员制定决策提供了（）B A. 定性基础 B. 定量基础 C. 预测和计划 D. 数学基础 8. 从连通图中生成树，以下叙述（）不正确B A. 任一连通图必能生成树 B. 任一连通图生成的树必唯一 C. 在生成的树中再增加一条线后必含圈 D. 任易连通图生成的各个树其线数必相同 9. 若LP最优解不唯一，则在最优单纯形表上（）A A. 非基变量的检验数必有为0 B. 非基变量的检验数不必有为0者

运筹学-最大流问题的编程实现实验

实验7 最大流问题的编程实现 专业班级学号姓名报告日期. 实验类型：●验证性实验○综合性实验○设计性实验 实验目的：熟练最大流问题的求解算法。 实验内容：最大流问题的求解算法。 实验原理：先给定初始可行流，然后找出可扩充路（增广链），调整可扩充路上的流量，使可行流增大，不断重复上述过程，直到不存在可扩充路为止。 实验步骤 1 要求上机实验前先编写出程序代码 2 编辑录入程序 3 调试程序并记录调试过程中出现的问题及修改程序的过程 4 经反复调试后，运行程序并验证程序运行是否正确。 5 记录运行时的输入和输出。 预习编写程序代码： 实验报告：根据实验情况和结果撰写并递交实验报告。 实验总结： 参考程序

求最大流 >> n=6; >> C=[0 6 7 0 0 0;0 0 3 8 4 0;0 0 0 3 5 0;0 0 0 0 0 10;0 0 0 6 0 14;0 0 0 0 0 0]; >> [f,wf,No]=maxflow(n,C) f = 0 6 7 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 wf = 13 No = 7 0 0 0 0 0 由运行结果知，最大流量为13. 程序代码 function [f,wf,No]=maxflow(n,C) % 利用Ford--Fulkerson 标号法求最大流算法的MA TLAB 程序代码 % f %显示最大流 V 4 V 6 V 5 V 3 V 1 6 7 3 3 4 8 5 6 14 10 V 2