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隧道力学数值方法

第一章

1、隧道力学：是岩土力学的一个重要组成部分。其所采用的数值方法与结构物的周围环境、施工方法等因素息息相关。研究范围：隧道围岩的工程地质分级；隧道和地下结构物的静力分析和动力分析；现场测试和室内模型试验与数值方法的相互验证及参数获取；岩土物理力学性质和本构关系的研究

2、隧道与地下结构设计模型：经验法、收敛—约束法、结构力学法、连续介质法

第二章

相应减少，同时还能够保证较高的计算精度1、对原结构可采用不规则单元，真实模拟复杂的边界形状。2、建立一基准单元：通过简单变化，能代表各类曲边、曲面单元，且完全不影响单元的特性计算；或不规则单元变换为规则单元，从而容易构造位移模式。3、引入数值分析方法，对积分做近似计算。在基准单元上实现规则化的数值积分，可使用标准数值计算方案，形成统一程序。等参变换条件：如果坐标变换和未知函数（如位移）插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数。

第三章

1.非线性问题：采用数值方法分析结构时，离散化后得到代数方程组：KU+F=0，当总刚度矩阵K 中的元素k ij 为常量时，所代表的的问题为线性问题，当k ij 为变量时，则式为非线性方程组，它所描述的问题为非线性问题。材料非线性：指的是当应力超过某一限值后，应力与应变的变化不成线性关系，但应变与位移的变化仍成线性关系。几何非线性：指的是当应变或应变速率超过某一限值以后，应变与位移的变化不成线性关系，但应力与应变的变化仍成线性关系。有些情况下，非线性问题即包括材料非线性又包括几何非线性的特征。

2.非线性问题的四种求解方法

直接迭代法：① 给定初值0x 、计算精度； ② 用迭代格式()1k k x g x +=进行迭代计算； ③ 判断迭代结果是否满足收敛判据，如果满足，终止计算并输出结果，否则返回步骤②。特点：适用于求解很多场的问题，但不能保证迭代过程的收敛。

牛顿法—切线刚度法：使用函数f(x ）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛。特点：如果初始试探解误差较大，则迭代过程也可能发散。只要初始刚度矩阵式对称的，则切线刚度矩阵将始终保持对称，而在大变形下割线刚度矩阵则不一定能保持这种对称性。

修正的牛顿法—初始刚度法：每条线均为平行，均采用初始刚度，显然不用每次迭代都计算刚度矩阵，迭代次数增多，但计算时间不一定多。特点：对于材料应变软化以及体系中塑性区域发展范围较大的情况，采用初始刚度矩阵仍能取得迭代求解的收敛，而在这种情况下采用切线刚度法则难以甚至不能达到收敛。

混合法该法为切线刚度法与初始刚度法联合使用的方法。为此必须采用增量加荷的方式，将总荷载分成几级，逐级加荷。在每一级荷载作用下采用一种初始刚度进行迭代运算，达到收敛后再施加下一级荷载，并采用新的切线刚度矩阵[]r K 进行迭代运算。

3.岩土材料的弹塑性应力应变关系即本构关系四个组成部分：1.屈服条件和破坏条件，确定材料是否塑性屈服和破坏。2.硬化定律，指明屈服条件由于塑性应变而发生的变化。3.流动法则，确定塑性应变的方向。

4.加载和卸载准则，表明材料的工作状态。

4.屈服函数：为一种标量函数，它在主应力空间的图像称为屈服面。屈服面也可以看成是由多个屈服的应力点连接起来所构成的一个空间曲面。屈服面所包围的空间区称为弹性区。在弹性区内的应力点处于弹性状态，位于屈服面上的应力点处于塑性状态。

屈服面与π平面的交线称为π平面上的屈服曲线；屈服面与子午平面的的交线称为子午面上的屈服曲线。

π平面上的屈服曲线特点：1.屈服曲线是一条封闭的曲线或主应力空间对角线上的一个点。屈服面以内为弹性区域，所以屈服面必须是封闭的，否则会存在某些永不屈服的应力点。静水压力也可引起屈服，而在空间对角线上123==σσσ，这正好对应静水压力情况。2.屈服曲线对称于π平面内的三个坐标轴123σσσ'''，，，这是由于根据各项同性假定，屈服不随坐标方向的改变而变化。因此屈服曲线对称于直线LL MM NN '''、、。为此，只要确定出60?范围内的一段曲线，就可以将它对称开拓而得到整个屈服曲线。3.屈服曲线相对于坐标原点为外凸曲线，这是由屈服面处处外凸。

5.几种常见屈服准则的优缺点、使用范围及几何意义

1、Mohr-Coulomb 屈服准则

优点：（1）反映岩土类材料的抗压强度不同的S-D 效应对正应力的敏感性，（2）反映了静水压力三向等压的影响，（3）简单实用，参数简单易测。

缺点：（1）没有反映中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）没有考虑单纯静水压力引起的岩土屈服的特性（3）屈服面有转折点，棱角，不连续，不便于塑性应变增量的计算。几何意义：屈服面为不规则的六角锥面。

2、Tresca 准则

优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便

缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。（2）屈服面有转折点，棱角，不连续. 几何意义：在主应力空间内，屈服面为一无限延伸的正六边形柱面。

3、Zienkiewice-Pande 准则

优点：（1）三种曲线在子午面上都是光滑曲线，利于数值计算（2）在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的非线性关系（3）在一定程度上考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响。几何意义：屈服面为一种应变硬化椭圆屈服面。

4、Mises 屈服准则

优点：（1）考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）简单实用，材料参数少，易于实验测定（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算

缺点：（1）没有考虑静水压力对屈服的影响（2）没有考虑单纯静水压力p 对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性（3）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D 效应。几何意义：屈服面为一无限延伸的圆柱面。

5、Drucker-Prager 屈服准则

优点：（1）考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）简单实用，材料参数少，可以由C-M 准则材料常数换算（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算（4）考虑了静水压力对屈服的影响（5）更符合实际

缺点：（1）没有考虑单纯静水压力p 对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性（2）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D 效应。几何意义：屈服面为圆锥面。

第四章

1.蠕变：材料在恒定荷载作用下其应变随时间而增长的现象。材料的粘性：材料在外荷载施加速度增大的情况下，其应力随应变速率d dt εε=而增长的现象。应力松弛：在应变保

持不变的情况下，其应力随时间而衰减的现象。流变：材料在弹塑性或塑性工作阶段均能呈现出蠕变、流动和应力松弛的形态统称为

宾哈姆模型：基本元件：弹簧粘体滑块三种元件组合之后得到

粘弹塑性模型时弹性变形时代入

得积分得

对于理想材料，其解为：

））t

第五章

1．无限元的概念：无限元是几何上趋于无穷的单元，它是一种特殊的有限元，也是有限元在求解无限域问题上的有效补充，并可实现与有限元之间的无缝连接。

2．为什么应用无限元：在岩土工程和地下工程的数值模拟中，经常遇到无限边界的情况，以有限模拟无限边界，不可避免的会带来计算误差，为了提高计算精度而采用大量的有限元以扩大有限边界，结果会导致计算机内存和计算量的大量增加，这样做不但不经济，而且计算精度的提高也不明显。采用有限元和无限元的耦合，已被实践证明是较为经济合理的方法，其中有限元布置在体系可能出现塑性变形的范围内，而无限元则用以模拟无穷边界。

第六章

1.边界单元法的概念：工程中常遇到的微分方程边值问题多数可规划为边界积分方程求解，若采用将边界离散为单元的插值方法，则又可将边界积分方程转换成线性代数方程组而获得问题的数值解，这就是边界单元法。优点：边界单元法仅需对问题的边界进行离散，先求得边界的数值解，然后利用解析解求出计算域内任一点的解。与有限元方法相比，边界单元法可以降低问题求解的空间维数，输入数据量减少，计算精度高。特别是对隧道与地下工程中常遇到的无限域或者半无限域的应力场计算问题，边界元法更能显示其优点。目前，已被广泛地应用于各类势场问题的计算中。缺点：对于多层介质的应力场问题，或者塑性区较大的弹塑性应力场问题，使用边界元法就比较麻烦，如果将边界元法和有限元法耦合应用，扬长避短，则是解决这类问题的有效方式。两种表述方式：基于物理直观的间接解法、基于数学推理的直接解法。

第七章

1.常见的动力学问题有哪些？1.在进行地下结构物施工时，爆破和施工机械的振动以及运营时车辆运行的振动，对结构物本身及其周围的环境将受到影响。

2.地面振动、化学爆炸振动和核爆炸振动对地下结构物及其周围戒指的影响。

2.结构动态问题和静态问题的区别有哪些？1、作用在结构物上的荷载大小和位置，是随时间而变化的；2、结构物本身的动态特性（自振周期、阻尼特征、质量和刚度等）对其振动反应有影响；3、材料的动态特性（动强度、动弹模、动态本构关系、沙土液化等），也对结构物特别是地下结构物的动态反应产生影响。

3.地震波的输入方法？1.在土结构中，通过在人工边界上施加等效节点力来实现，而等效节点力的大小与入射地震波波速成正比。2、岩石地基：可按地基表面自由场运动减半作为地震动输入。3、软土地基：通过反演地表自由场运动得到计算域底部地震动输入运动，在反演计算中，通常假设地基远场土域为均匀的粘弹性介质。

4.地震波的分析和处理方法？主要包括地震波的选择、波的频谱分析、滤波和基线校正。

数值计算方法学习指导书内容简介

数值计算方法学习指导书内容简介数值计算方法学习指导书内容简介《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个mat1ab计算机仿真实验。数值计算方法学习指导书目录绪论第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 1.2 例题 1.3 教材习题解答第2章离散系统的变换域分析与系统结构 2.1 学习要点 2.2 例题 2.3 教材习题解答第3章离散时间傅里叶变换

3.1 学习要点 3.2 例题 3.3 教材习题解答第4章快速傅里叶变换 4.1 学习要点 4.2 例题 4.3 教材习题解答第5章无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器的设计5.1 学习要点 5.2 例题 5.3 教材习题解答第6章有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器的设计6.1 学习要点 6.2 例题 6.3 教材习题解答第7章数字信号处理中的有限字长效应 7.1 学习要点 7.2 例题 7.3 教材习题解答第8章自测题 8.1 自测题(1)及参考答案 8.2 自测题(2)及参考答案第9章基于matlab的上机实验指导 9.1 常见离散信号的matlab产生和图形显示

9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应 9.3 离散傅立叶变换 9.4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 9.5 iir滤波器的设计 9.6 fir滤波器的设计数值计算方法学习指导书内容文摘第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点本章主要介绍离散时间信号与离散时间系统的基本概念，着重阐述离散时间信号的表示、运算，离散时间系统的性质和表示方法以及连续时间信号的抽样等。本章内容基本上是“信号与系统”中已经建立的离散时间信号与系统概念的复习。因此，作为重点学习内容，在概念上需要明白本章在整个数字信号处理中的地位，巩固和深化有关概念，注意承前启后，加强葙关概念的联系，进一步提高运用概念解题的能力。学习本章需要解决以下一些问题： (1)信号如何分类。 (2)如何判断一个离散系统的线性、因果性和稳定性。 (3)线性时不变系统(lti)与线性卷积的关系如何。 (4)如何选择一个数字化系统的抽样频率。 (5)如何从抽样后的信号恢复原始信号。因此，在学习本章内容时，应以离散时间信号的表示、离散时间系统及离散时间信号的产生为主线进行展开。信号的离散时间的表示主要涉及序列运算(重点是卷积和)、常用序列、如何判

数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。注：差分格式：（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法：构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有

结构力学计算题及标准答案

《结构力学》计算题61.求下图所示刚架的弯矩图。 a a a a q A B C D 62.用结点法或截面法求图示桁架各杆的轴力。 63.请用叠加法作下图所示静定梁的M图。 64.作图示三铰刚架的弯矩图。 65.作图示刚架的弯矩图。

66. 用机动法作下图中E M 、L QB F 、R QB F 的影响线。 1m 2m 2m Fp 1 =1m E B A 2m C D 67. 作图示结构F M 、QF F 的影响线。 68. 用机动法作图示结构影响线L QB F F M ,。 69. 用机动法作图示结构R QB C F M ,的影响线。 70. 作图示结构QB F 、E M 、QE F 的影响线。

71.用力法作下图所示刚架的弯矩图。 l B D P A C l l EI=常数 72.用力法求作下图所示刚架的 M图。 73.利用力法计算图示结构，作弯矩图。 74.用力法求作下图所示结构的M图,EI=常数。 75.用力法计算下图所示刚架，作M图。

76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

83. 84. 85.

答案 q A B C D F xB F yB F yA F xA 2qa3 2/ 2qa3 2/ q2a ()2/8 2qa3 2/ =/ qa2 2 取整体为研究对象，由0 A M=，得 2 220 yB xB aF aF qa +-=（1）(2分) 取BC部分为研究对象，由0 C M= ∑，得 yB xB aF aF =，即 yB xB F F =（2）(2分) 由(1)、(2)联立解得 2 3 xB yB F F qa ==(2分) 由0 x F= ∑有20 xA xB F qa F +-=解得 4 3 xA F qa =-(1分) 由0 y F= ∑有0 yA yB F F +=解得 2 3 yA yB F F qa =-=-(1分) 则222 422 2 333 D yB xB M aF aF qa qa qa =-=-=（）(2分) 弯矩图(3分) 62.解：（1）判断零杆（12根）。（4分）（2）节点法进行内力计算，结果如图。每个内力3分（3×3＝9分）63.解：

结构动力计算习题

160 结构动力计算习题一．选择题 8-1 体系的动力自由度是指（）。 A ．体系中独立的质点位移个数 B ．体系中结点的个数 C ．体系中质点的个数 D ．体系中独立的结点位移的个数 8-2 下列说法中错误的是（）。 A ．质点是一个具有质量的几何点； B ．大小、方向作用点随时间变化的荷载均为动荷载； C ．阻尼是耗散能量的作用； D ．加在质点上的惯性力，对质点来说并不存在 8-3 图示体系EI =常数，不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（）。题8-3图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-4图示体系不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（）。 (b ) (c ) 题8-4图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-5 若要提高单自由度体系的自振频率，需要（）。 A ．增大体系的刚度 B ．增大体系的质量 C ．增大体系的初速度 D ．增大体系的初位移 8-6 不计阻尼影响时，下面说法中错误的是（）。 A ．自振周期与初位移、初速度无关； B ．自由振动中，当质点位移最大时，质点速度为零； C ．自由振动中，质点位移与惯性力同时达到最大值； D ．自由振动的振幅与质量、刚度无关 8-7 若结构的自振周期为T ，当受动荷载)(P t F =t F θsin 0作用时，其自振周期T （）。 A ．将延长 B ．将缩短 C ．不变 D ．与荷载频率 θ的大小有关 8-8 若图（a ）、（b ）和（c ）所示体系的自振周期分别为a T 、b T 和c T ，则它们的关系为（）。 (a) (b) (c) 题8-8图 A ．a T >b T >c T B ．a T >c T >b T C ．a T

数值计算方法教学大纲

《数值计算方法》教学大纲课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数集成电路设计与集成系统开课学期：Y3开课院系：微电子学院一、课程的教学目标与任务目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。二、本课程与其它课程的联系和分工本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时）具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求（1）了解算法基本概念。（2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点重点：误差产生的原因和误差的传播。难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时）具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求（1）了解插值概念。（2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。（3）掌握牛顿插值公式。（4）掌握分段低次插值的意义及方法。

（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时）具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求（1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。（2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。（3）掌握高斯求积公式的用法。（4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时）具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求（1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。（2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。（3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时）具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求（1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。（2）熟练掌握牛顿法。（3）掌握弦截法。 2.重点、难点重点：迭代法，牛顿法。

2013GDEM力学数值分析软件介绍

目录公司简介...................................................................................................................................................................1 的应用领域模型在边坡工程中的应用在结构工程中的应用GDEM 的特点...........................................................................................................................................................2 GDEM ...................................................................................................................................................3 GDEM 的基本模型 (4) 1、块体模型 (4) （1）线弹性模型 (4) （2）Drucker-Prager 模型 (4) 模型...............................................................................................................................（3）Mohr-Coulomb (4) （4）块体切割模型 (4) （5）孔隙渗流模型 (4) （6）蠕变模型 (4) 2、界面模型 (4) （1）线弹性 (4) （2）脆性断裂模型 (4) （3）应变软化断裂模型 (4) （4）裂隙渗流模型 (5) 3、工程结构模型 (5) （1）锚杆/锚索模型 (5) （2）钢筋模型.........................................................................................................................................................5 GDEM 中GPU 的加速效果. (6) GDEM 在边坡工程中的应用——连续到非连续 (7) GDEM 在边坡工程中的应用——运动性破坏 (8) GDEM ——渗流应力耦合....................................................................................................9 GDEM 在采矿工程中的应用..................................................................................................................................10 GDEM 在爆破工程中的应用..................................................................................................................................12 GDEM 在高速冲击中的应用..................................................................................................................................13 GDEM 在隧道工程中的应用..................................................................................................................................14 GDEM ..................................................................................................................................15 GDEM 在机械工程中的应用. (16) GDEM 在颗粒问题中的应用 (17) GDEM 在流体问题中的应用 (18) GDEM 在其他领域中的应用 (19)

结构力学计算题

三、计算题（共5小题，共70 分） = ∣qi （2 分） X ∣ 1 1 ∏2q'2ql （2 分） M A =0= Y2I 1 ql 2 =ql2 =丫 2 Jql （2 分） 2 =1 ql （2 分） 2 2、用机动法求图示多跨静定梁M B、R B、Q C的影响线。（12分）

P=1 P=I 3、求图示桁架结点 C 的水平位移，各杆 EA 相等。（15分） P 解：（1）求支座反力：H A= Py A = P,V B = P I- 3m M B 影响线: P=1 B JL 2m 夕冷 2m C D -≡≡M L B 2m 2m J r 3m C -O ---------- 2 2m 2m 2m 2m i A P h-Y- 3m B -H 2m 2m 2m 1 R B 影响线: 2m

N BC ~ 0 N BD P N BD=I P *N, Bn P (3)求 N AC 、N AD N AC ' N AD cos45 =P = N AC =° N AD Sin 45 =P= N A ^= 2P N CD N AD cos45 =°= N CD--P (2)求 N BC 、 N BD (4)求 N CD

A CH =送 N P N I l =丄 p*5 +J2P*(?*』2*5) =10(1 + EA EA 3、求图示结构B 点竖直方向的位移△ BV 。 ( 12分) q=10kN∕m 20k N 4m (5)外荷载作用下，各杆的轴力 N P 如下: (6) C 点水平单位荷载作用下，各杆的轴力 N 1如下: 4m El 2)PzEA

《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案

第九章结构的动力计算一、判断题： 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。 (a)(b) 6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。 7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。

二、计算题： 10、图示梁自重不计，求自振频率ω。 EI l W l/4 11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k，求自振频率ω。 EI W o o l/2l/2 k 12、求图示体系的自振频率ω。 m l EI EI l 0.5l 0.5 2 13、求图示体系的自振频率ω。EI = 常数。 m l l0.5 14、求图示结构的自振频率ω。 m l l l l EI=常数

15、求图示体系的自振频率ω。EI =常数，杆长均为l 。 m 16、求图示体系的自振频率ω。杆长均为l 。 EA=o o EI m EI EI 17、求图示结构的自振频率和振型。 m m EI EI EI l /2 l /2 l /2 18、图示梁自重不计，W EI ==??2002104kN kN m 2 ,，求自振圆频率ω。 EI W A B C 2m 2m 19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。 h EI EI W

计算流体力学常用数值方法简介[1]

计算流体力学常用数值方法简介李志印　熊小辉　吴家鸣 (华南理工大学交通学院) 关键词　计算流体力学　数值计算一　前　言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。二　计算流体力学常用数值方法流体力学数值方法有很多种,其数学原理各不相同,但有二点是所有方法都具备的,即离散化和代数化。总的来说其基本思想是:将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区

数值计算方法教学大纲(本)

数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。一、课程计划课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课开课单位：理学院课程类型：专业选修课开设学期：第七学期讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生教学方式：讲授（多媒体为主）+上机考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分与其它课程的联系预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。

《计算流体力学》结课作业解读

2012～2013学年第1学期 12级研究生《计算流体力学》结课作业适用专业：供热供燃气通风及空调工程一、结合某一具体学科，阐述纯理论方法、实验方法及数值方法在科学研究中的各自优缺点，在此基础上论述数值模拟方法的发展前景。（不少于4千字）。流体力学是力学的一个重要分支, 是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科, 主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态特征，以及流体和相邻固体界面有相对运动时的相互作用和流动规律。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，流体力学与人类的日常生活和生产事业密切相关。按其研究内容的侧重点不同，分为理论流体力学和工程流体力学。其中理论流体力学主要采用严密的数学推理方法，力求准确性和严密性，工程流体力学侧重于解决工程实际中出现的问题，而不追求数学上的严密性。当然由于流体力学研究的复杂性，在一定程度上，两种方法都必须借助于实验研究，得出经验或半经验的公式。在实际工程的诸多领域流体力学都起着十分重要的作用。如气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了流体力学自身的不断发展。1950年后，计算机的发展给予流体力学以极大的推动作用。目前，解决流体力学问题的方法主要有实验方法、理论分析方法和数值方法三种。实验方法同物理学、化学等学科一样，流体力学的研究离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示运动特点及其主要趋势，有助于形成概念，检验理论的正确性。二百年来流体力学发展史中每一项重大进展都离不开实验。流体力学实验研究方法有实物实验、比拟研究和模型研究三类：实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，适用于较小的原型；比拟实验是利用电场和磁场来模拟流场，实施起来限制条件较多；模型研究是实验流体力学最常用的研究方法。实验研究的一般过程是：在相似理论的指导下建立实验模型，用流体测量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。建立实验模型要求模型与原型满足相似理论，即满足两个流场

结构力学习题库

15 结构的动力计算判断题体系的振动自由度等于集中质量数。（）图示体系具有1个振动自由度。（）图示体系具有2个振动自由度。（）图示体系具有3个振动自由度。（）

图示体系具有2个振动自由度。（）图示体系具有2个振动自由度。（）结构的自振频率除与体系的质量分布状况、杆件刚度有关外，还与干扰力有关。（）自由振动是指不受外界干扰力作用的振动。（）自由振动是由初位移和初速度引起的，缺一不可。（）

有阻尼单自由度体系的阻尼比越大，自振频率越小。（）临界阻尼现象是指起振后振动次数很少且振幅很快衰减为零的振动。（）惯性力并不是实际加在运动质量上的力。（）计算一个结构的自振周期时，考虑阻尼比不考虑所得的结果要大。（）临界阻尼振动时质点缓慢地回到平衡位置且不过平衡点。（）阻尼力总是与质点加速的方向相反。（）

在某些情形下建立振动微分方程式时，不考虑重力的影响是因为重力为恒力。（）图示结构的自振频率为w，在干扰力P(t)=P sin qt作用下，不管频率q怎样改变，动位移y(t)的方向总是和P(t)的方向相同。（）计算图示振动体系的最大动内力和动位移时可以采用同一个动力系数。（）不论干扰力是否直接作用在单自由度体系的质量m上，都可用同一个动力系数计算任一点的最大动位移。（）单自由度体系受迫振动的最大动位移的计算公式y max=my j中，y j是质量m的重量所引起的静位移。

（）多自由度体系作自由振动，一般包括所有的振型，不可能出现仅含某一主振型的振动。（）解得图(a)所示两个自由度体系的两个主振型为图(b)和图(c)，此解答是正确的。（）图(a)与图(b)所示梁的自由振动频率w A、w B相比，w A>w B。（）填空题动力荷载是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿荷载。

第二章计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力

计算流体力学中有限差分法、有限体积法和有限元法的区别

有限元法，有限差分法和有限体积法的区别 1. FDM 1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶

中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 2. FEM 2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。（1）从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法；（2）从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格；（3）从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

结构动力学中的常用数值方法

第五章结构动力学中的常用数值方法 5．1．结构动力响应的数值算法 ... . 0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ? ++=??=??=?? 当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤 1. 初始值计算（1）形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。（2）定初始值0x ，. 0x ，.. 0x 。（3）选择时间步长t ?，使它满足cr t t ?

常用数值计算方法及仿真软件简介a

1.1.1 常用数值计算方法自1864年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论与应用的发展已经过了100多年的历史。对电磁分布边值问题的求解从图解、模拟、解析到目前所采用的数值计算方法，经历了四个过程。解析方法只能解决一些经典问题，具体到复杂的实际环境，往往需要通过数值解得到具体环境中的电磁波特性。随着高速和大容量计算机技术的飞速发展，电磁数值计算已经发展成为一门新兴的重要学科，已提出多种实用有效的求解麦克斯韦方程的数值方法，主要有矩量法（MOM）、有限元法（FEM）、有限积分法（FIT）、和时域有限差分法（FDTD）等。基于这些数值计算方法开发出了许多优秀的电磁仿真软件。一个好的数值算法可以很接近地模拟出微波器件的特性，这对于工程设计和研究而言，可以避免很多次的“cut-and-try”（试凑），节省时间从而提高了效率。求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思想就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。目前常见的几种数值分析方法如表错误！文档中没有指定样式的文字。-1 电磁数值算法分类所示。针对本论文所应用到的方法，下面简要叙述常用的几种数值方法及相应的商业软件。

1.1.1.1 有限元法基于有限元方法(FEM)计算电磁问题，其基本构想是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限个小区域，每个小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离散化，由此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似数值。广义的来说，三维麦克斯韦方程是三维电磁问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克斯韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足矢量亥姆赫兹方程作为支配方程。如Ansoft HFSS 软件[i]的支配方程为： 2010r r E k E εμ??????-= ??? (错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 由变分原理，上式的泛函可以写为： ()()() 201r r F E E E k E E d εμΩ??=????????-?Ω???? (错误！文档中没有指定样式的文字。-2) 将这一个三维问题的泛函通过多面体离散成单元小矩阵，矩形块、四面体和六面体等都可以被选用做基本的离散单元，但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、速度和内存需求都有不同。Ansoft HFSS 软件采用四面体作为基本离散单元，如图错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示，并选用上一世纪80 年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作为矢量基函数。假设图错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示的四面体内的未知函数e φ能够近似为 z d y c x b a e e e e e +++=φ (错误！文档中没有指定样式的文字。-3)

结构力学主要知识点归纳

结构力学主要知识点一、基本概念 1、计算简图：在计算结构之前，往往需要对实际结构加以简化，表现其主要特点，略去其次要因素，用一个简化图形来代替实际结构。通常包括以下几个方面： A、杆件的简化：常以其轴线代表 B、支座和节点简化： ①活动铰支座、固定铰支座、固定支座、滑动支座； ②铰节点、刚节点、组合节点。 C、体系简化：常简化为集中荷载及线分布荷载 D、体系简化：将空间结果简化为平面结构 2、结构分类： A、按几何特征划分：梁、拱、刚架、桁架、组合结构、悬索结构。 B、按内力是否静定划分： ①静定结构：在任意荷载作用下，结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定。②超静定结构：只靠平衡条件还不能确定全部反力和内力，还必须考虑变形条件才能确定。二、平面体系的机动分析 1、体系种类 A、几何不变体系：几何形状和位置均能保持不变；通常根据结构有无多余联系，又划分为无多余联系的几何不变体系和有多余联系的几何不变体系。 B、几何可变体系：在很小荷载作用下会发生机械运动，不能保持原有的几何形状和位置。常具体划分为常变体系和瞬变体系。 2、自由度：体系运动时所具有的独立运动方程式数目或者说是确定体系位置所需的独立坐标数目。 3、联系：限制运动的装置成为联系（或约束）体系的自由度可因加入的联系而减少，能减少一个自由度的装置成为一个联系 ①一个链杆可以减少一个自由度，成为一个联系。②一个单铰为两个联系。 4、计算自由度：W 3m (2h r ) ,m为刚片数，h为单铰束，r为链杆数。 A 、 W>0, 表明缺少足够联系，结构为几何可变； B、 W=0 ，没有多余联系； C、 W<0, 有多余联系，是否为几何不变仍不确定。 5、几何不变体系的基本组成规则： A、三刚片规则：三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。 B、二元体规则：在一个刚片上增加一个二元体，仍未几何不变体系，而且没有多余联系。 C、两刚片原则：两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。 6、虚铰：连接两个刚片的两根链杆的作用相当于在其交点处的一个单铰。虚铰在无穷远处的体系分析可见结构力学 P20，自行了解。 7、静定结构的几何构造为特征为几何不变且无多余联系。三、静定梁与静定钢架 1、内力图绘制： A、内力图通常是用平行于杆轴线方向的坐标表示截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示