考试练习题常用概率分布教学提纲
考试练习题常用概率
分布
第四章
选择题：
1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。
A ．n > 50
B ．π=0.5
C ．n π=1
D ．π=1
E ．n π> 5
2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。
A ．n π和n （1－π）均大于等于5
B ．n π或n （1－π）大于等于5
C ．n π足够大
D ．n > 50
E ．π足够大
3. 的均数等于方差。
A ．正态分布
B ．二项分布
C ．对称分布
D ．Poisson 分布
E ．以上均不对
4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。
A ．－∞到+1.96
B ．－1.96到+1.96
C ．－∞到+2.58
D ．－2.58到+2.58
E ．－1.64到+1.64
5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。
A ．n （1－π）
B ．（n －1）π
C ．n π（1－π）
D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B .
（1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以
为方差的Poisson 分布。
A . B
.λ2λ12+2λ
2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。
A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5
9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。
A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5
D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5
10．关于泊松分布，错误的是。
A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布
B．泊松分布均数λ唯一确定
C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布
D．泊松分布的均数与标准差相等
E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则
X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。
11．以下分布中，均数等于方差的分布是。
A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布
12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ
2），X与Y独立，则X－Y服从。
2
A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22）
C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对
13．下列叙述中，错误的是。
A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1
B．泊松分布只有1个参数λ
C．正态曲线下的面积之和为1
D ．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n 的概率之和为1
E ．标准正态分布的标准差为1
14．据既往经验，注射破伤风抗毒素异常发生率为5‰，某医院一年接种600人次，无1例发生异常，该情况发生的可能性P （X=0）应等于 。
A ．（1－0.005）600
B ．e －3
C ．0/600
D ．1－0.225600
E ．无法计算
15．用计数器测得某放射性物质10分钟内发出的脉冲数为660个，据此可估计出该放射性物质平均每分钟脉冲计数的95%可信区间为 。
A . 660±1.96 660
B .
660±2.58 660 C . 66±1.96 66 D . 66±2.58 66 E .66±1.96 6601
0 16.Poisson 分布的方差和均数分别记作σ2和λ，当满足条件 时，Poisson
分布近似正态分布。
A ．π接近0或1
B ．σ2较小
C ．λ较小
D ．π接近0.5
E ．σ2≥20
17．关于Poisson 分布，以下说法错误的是 。
A ．Poisson 分布是一种离散分布
B ．Poisson 分布常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生数的分布
C ．Poisson 分布具有n 很大时事件发生率很小的性质
D ．对π很小、n 很大的同一资料用二项分布和Poisson 分布法算得结果差别很大
E ．当π很小、n 很大时，常用Poisson 分布作为二项分布的近似计算
18．Poisson 分布的性质有 。
A ．Poisson 分布的标准差等于均数
B ．Poisson 分布的方差等于均数
C．Poisson分布有两个参数 D．Poisson分布不具可加性
E．对于服从Poisson分布的m个相互独立的随机变量Χ1,Χ2，…Χm，它们之积Χ1，Χ2，…Χm也服从Poisson分布
19．以下说法错误的是。
A．Poisson分布是一种连续分布
B．Poisson分布可视为二项分布的特例
C．某现象的发生率π甚小，而样本例数n甚多时，则二项分布逼近Poisson 分布
D．Poisson分布图形形状完全取决于μ的大小
E．当μ=10时Poisson分布图形基本对称，随着μ的增大，图形渐近于正态分布
20．以下分布的参数只有一个。
A．正态分布 B．二项分布 C．Poisson分布 D．标准正态分布 E．t分布
21．标准正态分布的均数与标准差是。
A．0，1 B．1，0 C．0，0 D．1，1 E．0.5，1
22．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。
A．μ愈大 B．μ愈小 C．σ愈大 D．σ愈小 E．μ愈小且σ愈小
23．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。
A．增大μ B．减小μ C．增大σ D．减小σ E．增大μ同时增大σ
24．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm ，标准差为
4.12cm ，Z=（128.00－138.00）/4.12。φ（Z ）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z ）=1－φ（－2.43）=0.9925，结论是 。
A ．理论上身高低于138.00cm 的12岁男孩占99.25%。
B ．理论上身高高于138.00cm 的12岁男孩占99.25%。
C ．理论上身高在128.00cm 至138.00cm 的12岁男孩占99.25%。
D ．理论上身高低于128.00cm 的12岁男孩占99.25%。
E ．理论上身高高于128.00cm 的12岁男孩占99.25%。
25．关于二项分布，错误的是 。
A ．服从二项分布随机变量为离散型随机变量
B ．当n 很大，π接近0.5时，二项分而图形接近正态分布
C ．当π接近0.5时，二项分布图形接近对称分布
D ．服从二项分布随机变量，取值的概率之和为1
E ．当n π＞5时，二项分布接近正态分布
26．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的 。
A ．99%
B ．95%
C ．47.5%
D ．49.5%
E ．90%
27．正态曲线上的拐点所对应的横坐标为 。
A ．μ±2σ
B ．μ±σ
C ．μ±3σ E .
D .
X ±S X ±2S 28．以下方法中，确定医学参考值范围的最好方法是 。
A ．百分位数法
B ．正态分布法
C ．对数正态分布法
D ．标准化法
E ．结合原始数据分布类型选择相应的方法
29．正态曲线下、横轴上，从μ+1.96σ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的百分之。
A．2.5 B．4.5 C．49.5 D．47.5 E．2
30．以下分布中方差等于标准差的分布是。
A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布
D．Poisson分布 E．偏态分布
31．根据500例正常人的发铅值原始数据（偏态分布），计算其95%医学参考值范围应采用。
A．双侧正态分布法 B．双侧百分位数法 C．单上侧正态分布法
D．单下侧百分位数法 E．单上侧百分位数法
32．正态分布N（μ，σ2），当μ恒定时，σ越大。
A．曲线沿横轴越向左移动 B．曲线沿横轴越向右移动
C．观察值变异程度越大，曲线越“胖”
D．观察值变异程度越小，曲线越“瘦” E．曲线形状和位置不变
33．标准正态分布的中位数等于。
A．0 B．1 C．1.64 D．1.96 E．2.58
34．标准正态分布的方差等于。
A．0 B．1 C．1.64 D．1.96 E．2.58
35．某项计量指标仅以过高为异常，且资料呈偏态分布，则其95%医学参考值范围为。
A．＜P95B．P2.5～P97.5C．＞P5 D．P2～P95 E．＜P5
36．某计量指标X 呈对数正态分布，医学上认为该指标过高为异常，计算95%医学参考值范围，应采用公式为 。
A . X ±1.96S X
B . X ±1.96S X 1g -1
（） 1g C . X ±1.64S X D .） 4S
X E .X 1g -1
（） 1.64S 1g X 1g 37．设随机变量X ～N （2，2），若要将X 转化为服从标准正态分布的变量Z ，则所采用的标准化变换为 。 2.
2X A - B C . D . X +22X +22
E .X -24 38．若X 的方差等于6，Y 的方差等于4，X 与Y 独立，则X －Y 的方差等于 。
A ．0
B ．5
C ．2
D ．1
E ．10
39．健康男子收缩压的正常值范围一般指 。
A ．所有健康成年男子收缩压的波动范围
B ．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围
C ．所有正常成年男子收缩压的波动范围
D ．少部分正常成年男子收缩压的波动范围
E ．所有正常人收缩压的波动范围
40．正态分布曲线下，横轴上从均数μ到μ+1.645σ的面积为 。
A ．95%
B ．45%
C ．90%
D ．不能确定
E ．1
41．若随机变量X 服从正态分布（μ，σ2），则X 的第95百分位数等
于 。
A ．μ－1.645σ
B ．μ+1.645σ
C ．μ+1.96σ
D ．μ+2.58σ
E ．μ－1.96σ
42．若正常成人的血铅含量X 近似服从对数正态分布，拟用300名正常人血铅值确定99%参考值范围，最好采用公式 计算。（其中，y=lgx ,Sy 为对数值的标准差） 2.58s +2.33s C . g 1( ±2.58s )
y D . (y +2.33s )y
g 1 E .2.58s )g 43．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度Z 的范围
是 。
A ．－1.645～1.645
B ．－∞～1.645
C ．－∞～1.282
D ．－1.282～1.282
E ．－1.96～1.96
44．据既往经验，用青霉素治疗大叶型肺炎治愈率为85%，某院观察10名儿童全部有效，问该药发生无效的可能性为 。
A ．1－C 10100.8510
B ．
C 0100.85 C ．C 10100.8510
D ．1－C 0100.1510
E ．以上均不正确
45．若人群中某疾病发生的阳性数X 服从二项分布，则从该人群随机抽取n 个人，阳性数X 不小于k 人的概率为 。
A ．P （k ）+P （k+1）+…+P （n ）
B ．P （k+1）+P （k+2）+…+P （n ）
C ．P （o ）+P （1）+…+P （k ）
D ．P （o ）+P （1）+…+P （k －1）
E ．P （1）+P （2）+…+P （k ）
46．Poisson 分布的标准差σ和平均数λ的关系是 。
A ．λ＞σ
B ．λ＜σ
C ．λ＝σ2 λ
D . σ
E .λ=σ 47． 的一个重要特性是均数等于方差。
A ．正态分布
B ．对数正态分布
C ．Poisson 分布
D ．二项分布
E ．偏态分布
48．下列关于正态分布曲线的两参数μ和σ的说法，正确的是 。
A．μ和σ越接近于0时，曲线越扁平
B．曲线形状只与μ有关，μ越大，曲线越扁平
C．曲线形状只与σ有关，σ越大，曲线越扁平
D．曲线形状与两者均无关，绘图者可以随意画
E．以上说法均不正确
49．下列对于正态分布曲线的描述，正确的是。
A．当σ不变时，随着μ增大，曲线向右移
B．当σ不变时，随着μ增大，曲线向左移
C．当μ不变时，随着σ增大，曲线向右移
D．当μ不变时，随着σ增大，曲线将没有变化 E．以上说法均不正确50．在正态曲线，下列关于μ－1.645σ的说法正确的是。
A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90%
B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10%
C．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为5%
D．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为45%
E．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为47.5%
51．在正态曲线下，下列小于μ－2.58σ包含的面积为。
A．1% B．99% C．0.5% D．0.05% E．99.5%
52．在正态曲线下，下列大于μ－2.58σ包含的面积为。
A．1% B．99% C．0.5% D．0.05% E．99.5%
53．下列关于标准正态分布的说法中错误的是。
A．标准正态分布曲线下总面积为1
B．标准正态分布是μ=0并且σ=1的正态分布
C．任何一种资料只要通过 Z变换均能变成标准正态分布
D．标准正态分布的曲线是唯一的
E．因为标准正态分布是对称分布，所以u≥－1.96与u≤1.96所对应的曲线下面积相等。
54．某年某中学体检，测得100名高一女生的平均身高平均数=154.0cm，S=6.6cm,该校高一女生中身高在143～170cm者所占比重为（u0.007 8=－2.42, u0.047 5=－1.67）。
A．90% B．95% C．97.5% D．94.5% E．99%
55．下列关于确定正常人肺活量参考范围的说法正确的是。
A．只能为单侧，并且只有上限 B．只能为单侧，并且只有下限
C．只能为双侧，这样才能反映面全 D．单双侧都可以 E．以上说法均不确切
56．下列关于医学参考值范围的说法中正确的是。
A．医学参考值范围是根据大部分“健康人”的某项指标制定的
B．医学参考值范围的制定方法不受分布资料类型的限制
C．在制定医学参考值范围时，最好用95%范围，因为这个范围最能说明医学问题
D．在制定医学参考值范围时，最好用95%范围，因为这样比较好计算
E．以上说法均不正确
57．为了制定尿铅的正常值范围，测定了一批正常人的尿铅含量，下列说法正确的是。
A．无法制定，要制定正常值范围必须测定健康人的尿铅含量
B．可以制定，应为单侧上限
C．可以制定，应为单侧下限
D．可以制定，但是无法确定是上侧范围还是下侧范围
E．可以制定双侧95%的参考值范围
58．关于二项分布的图形，以下描述正确的是。
A．图形形状只取决于n的大小 B．图形形状只取决于π的大小
C．当π=0.5时，图形对称，随着n的增大，图形渐近于正态分布图形
D．当π=0.5时，图形呈偏态，但随着n的增大，图形逐渐对称，趋向于正态分布图形
E．以上都不对
59．关于二项分布，以上说法错误的是。
A．二项分布是一种离散型分布
B．当n趋近于无穷大时，二项分布就成为正态分布
C．在实际应用中，只要n足够大且π既不接近于0也不接近于1时就可以用正态近似原理处理二项分布的问题
D．凡具有贝努利试验序列三个特点的变量，一般可认为服从二项分布
E．二项分布可用于检验两组数据内部构成是否不同
60．横轴上，正态曲线下从μ到μ+1.96σ的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
61．横轴上，标准正态曲线下从0到1.96的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
62．横轴上，标准正态曲线下从－1.96到0的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
63．横轴上，正态曲线下从μ－1.96σ到μ的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
64．横轴上，正态曲线下从μ到μ+2.58σ的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
65．横轴上，标准正态曲线下从0到2.58的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
66．横轴上，标准正态曲线下从－2.58到0的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
67．横轴上，正态曲线下从μ－2.58σ到μ的面积为：
A．95% B．45% C．97.5% D．47.5% E．49.5%
68．正态分布有：
A．均数等于几何均数 B．均数等于中位数
C．几何均数等于中位数 D．均数等于几何均数等于中位数
E．均数、几何均数、中位数均不相等
69．对数正态分布有：
A．均数等于几何均数 B．均数等于中位数
C．几何均数等于中位数 D．均数等于几何均数等于中位数
E．均数、几何均数、中位数均不相等
70．对标准正态变量Z有：
A．Z≥1.96的P=0.10 B．Z≥1.96的P=0.05 C．Z≥1.96的P=0.025
D ．Z ≥1.96的P=0.01
E ．Z ≥1.96的P=0.005
71．对标准正态变量Z 有：
A ．Z ≤－1.96的P=0.10
B ．Z ≥－1.96的P=0.05
C ．Z ≤－1.96的
P=0.025
D ．Z ≥－1.96的P=0.01
E ．Z ≥－1.96的P=0.005
72．对标准正态变量Z 有：
A ．Z ≥2.58的P=0.10
B ．Z ≥2.58的P=0.05
C ．Z ≥2.58的P=0.025
D ．Z ≥2.58的P=0.01
E ．Z ≥2.58的P=0.005
73．对标准正态变量Z 有：
A ．Z ≤－2.58的P=0.10
B ．Z ≥－2.58的P=0.05
C ．Z ≥－2.58的
P=0.025
D ．Z ≥－2.58的P=0.01
E ．Z ≤－2.58的P=0.005
74．设x 和y 是相互独立是随机变量，且x 服从正态分布N （μ1，σ1），y 服从正态分布N （μ2，σ2），现Z=y －x ，则：
A ．Z 服从正态分布N （μ1－μ2，σ1－σ2）
B ．Z 服从正态分布N （μ1－μ2，σσ2122）
C ．Z 服从正态分布N （μ1－μ2，σ12+σ22）
D ．Z 服从正态分布N （μ1+μ2，σ1+σ2）
E ．Z 服从正态分布N （μ1+μ2，σσ2122）
75．确定正常人某个指标的正常值范围时，调查对象是：
A ．从未患过病的人
B ．健康达到了要求的人
C ．排除影响被研究指标的疾病和因素的人
D ．只患过小病但不影响被研究指标的人
E ．排除了患过某病或接触过某因素的人
76．若正常人某个定量指标服从正偏态分布，用百分位数法求其中位数和95%正常值范围的下限和上限，如果把中位数、95%正常值范围的下限和上限标在一个数轴上，三点关系是：
A ．中位数一定靠近上限一些
B ．中位数一定靠近下限一些
C ．中位数靠近下限一些或靠近上限一些
D ．中位数一定在下限和上限的中点
E ．以上都不是
77．求正常人某个正常值范围时应注意：
A ．正态分布不能用均数标准差法
B ．正态分布用百分位数法
C ．偏态分布用均数标准差法
D ．偏态分布不能用百分位数法
E ．以上都不是
78．根据300例正常成人估计其血铅含量的99%正常值范围，用作临床判断有无铅中毒的标准，采用的公式是：
A ±2.58s
B ．lg －1 2.58Sy)，其中y=lgx
C ．lg －1 2.58Sy)，其中y=lgx
D . 300×900100∑L P L +
E ．lg －1，其中y=lgx
79．要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是：
A ．用该市5岁男孩身高的95%或99%正常值范围来评价
B ．作身高差别的统计学意义检验来评价
C ．用身高均数的95%或99%可信区间来评价
D．不能作评价 E．以上都不是
80．若正常人尿铅值的分布为对数正态分布，现测定了200例正常人尿铅值，以尿铅过高者为异常者，则其95%正常值范围为：
A．lg－1（G±1.96S lgx）（G为几何均数） B．lg－1（G±1.65S lgx）
C．＜lg－1（G+1.65S lgx） D．＜lg－1（G+1.95S lgx） E．＞lg－1（G－1.65S lgx）
81．二项分布B（n,π）近似正态分布的条件是。
A．nπ＞5 B．n（1－π）＞5 C．nπ＜5且n（1－π）＞5
D．nπ＞5且n（1－π）＞5 E．nπ＞5且n（1－π）＜5
82. 某资料的观察值呈正态分布，理论上有（）的观察值落在S
.1
范
X96
围内。
A. 68.27%
B. 90%
C. 95%
D. 99%
E. 45%
83. 铅作业工人周围血象点彩红细胞在血片上的出现数近似服从（）。
A. 二项分布
B. 正态分布
C. 偏态分布
D. Poisson分布
E. 对称分布
填空题：
1．正态概率密度曲线关于对称，在处有拐点。
2．正态概率密度曲线下面积为：，在处取得该概率密度函数的最大值。
3．正态概率密度曲线的形状由决定，当μ恒定，其值越大，曲线
越。
4．标准正态分布的两个参数________、________。
5．标准正态分布的两个参数μ=________、σ=________。
6．标准化变换又叫Z变换，这里Z=________。
8．确定医学参考值范围的方法有：_______、________、。
7．特别是当二项分布近似正态分布。
9．一般，当时Poission分布资料可按正态分布处理。
10．应用正态分布法确定医学参考值范围的条件是： ________，
________。
是非题：
1．对称分布与正态分布等价。（）
2．随机掷一枚骰子，出现的点子数服从二项分布。（）
3．当n→∞时，二项分布概率分布图是对称的。（）
4．如果标准差大于均数，那么一定不符合正态分布。（）
5．正态分布N（μ，σ2）的密度曲线下，横轴上μ+σ右侧面积是0.1587。（）
6．服从二项分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1。（）
7．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1。（）
8．对称分布在“均数±1.96倍标准差”的范围内，包括95%的观察值。
（）
9．用百分位数法确定双侧95%正常值范围的下限值是P5,上限值是P95。( ) 10．只要np或n(1－p)大于5，服从二项分布的资料就可按正态分布来处理。（）
11．Poisson分布的均数等于标准差。（）
简答题：
1．简述二项分布、泊松分布和正态分布三者之间的关系？
2．简述确定医学参考值范围的一般步骤？
3．正态分布、标准正态分布与对数正态分布有何异同？
综合分析题
1.根据1999年某大学的体检资料，该校312名一年级女大学生的平均身高为1583.0cm，标准差铪为6.5cm，请根据资料资料：
（1）计算其95%频数范围。
（2）试估计该校一年级女大学生身高在156.5cm到159.2cm范围内的人数；
（3）试估计该校一年级女大学生中，身高低于152.0cm者所占比例；
2.传统疗法治疗某病，其病死率为30%，治愈率为70%。今用某种新药治疗该病患者10人，结果有1人死亡。问该新药的治疗效果是否优于传统疗法(单侧)。
3.若某地区1998年新生儿腭裂发生率为2.15‰，1999年在此地区抽样调查1000名新生儿，发现腭裂1例，问此地区1999年腭裂发生率是否比1998年低。
4.根据以往资料，某种药物治疗某非传染性疾病的有效率为0.8。今用该药治疗该病患者50人，试计算这50人中有40人有效的效率。
5.据资料，对输卵管结扎了的育龄妇女实施壶腹部——壶腹部吻合术后，受孕率为0.45。今对20名输卵管结扎了的育龄妇女实施该吻合术，试计算至少有13人受孕的概率。
6.在对某市自来水进行检测中，发现每1mL水样中，平均检测出细菌4个。试计算从1mL自来水水样中检测出8个细菌的概率及至多检测出8个细菌的概率。
7.根据以往资料，某地6岁男童身高服从正态分布，现测量了该地300名6岁男童身高，得均数=123.4cm，标准差=3.6cm，试估计该地6岁男童身高在120~125cm范围内的比例以及300名6岁男童中身高在120~125 cm范围内的人数。
8.已知某种非传染性疾病在一般人群中的发生率为4‰。某研究者在该地某单位随机筛查200人，试计算这200人中至多有2人患病的概率。
9.设随机变量X~B(5，π)，且P(X≥1)=2/5，求π。
10.设随机变量X~N(2，σ2)，且P(2 11.某药店负责某社区1000人的药品供应。某种药品在一段时间内每人购买1件的概率为0.3，假定在这一段时间内，各人购买与否彼此独立。问药店应预备多少件这种药品，才能以99.7%的概率保证不会脱销(已知该药品在这段时间内每人最多可以买1件)？ 12.某地抽样测量300名健康成人血清总胆固醇值，均值为4.48(mmol/L)，标准差为0.54(mmol/L)。假定血清总胆固醇值为正态分布，试计算健康成人血清总胆固醇值95%医学参考值范围，若某人血清总胆固醇值为5.85(mmol/L)，则其水平是异常还是正常？ 13.设某保险公司开展老年人寿保险业务，一年有1万老年人参加，每人每年交40元。若某老年人死亡，公司要付给其家属2000元。根据以往资料可知，老年人死亡率为0.017，试求保险公司在这次保险中亏本的概率。 14.已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性概率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。该地区成人乙肝表面抗原阳性概率是否高于全国平均水平？ 15.一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于2次的概率。 16. 已知某种非传染性疾病常规疗法的有效率为80%，现对10名该疾病患者用常规疗法治疗，问至少有9人治愈的概率是多少？ 17.据以往的统计资料，某地新生儿染色体异常率为1%，问100名新生儿中染色体异常不少于2名的概率是多少？ 参考答案 第四章 选择题： 1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、D 7、B 8、B 9、A 10、D 11、D 12、C 13、D 14、B 15、E 16、E 17、D 18、B 19、A 20、C 21、A 22、C 23、A 24、E 25、E 26、D 27、B 28、E 29、E 30、B 31、E 32、C 33、A 34、B 35、A 36、D 37、B 38、E 39、B 40、B 41、B 42、D 43、A 44、A 45、A 46、C 47、C 48、C 49、A 50、D 51、C 52、E 53、C 54、D 55、B 56、A 57、B 58、C 59、E 60、D 61、D 62、D 63、D 若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。 目录 1简介 2定义 3性质 4概率表 简介 分布在数理统计中具有重要意义。分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(C K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 定义 若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-square distribution）， 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，分布近似为正态分布。 对于任意正整数x，自由度为的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 性质 1) 分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1。 2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度的增大，分布向正无穷方向延伸（因为均值越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差越来越大）。 3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。 4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为 。 5) 分布的均数为自由度，记为 E( ) = 。 6) 分布的方差为2倍的自由度( )，记为 D( ) = 。 概率表 分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在 分布中得对每个分布编制相应的概率值，这通过分布表中列出不同的自由度来表示， 查分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的值。如上图所示的单侧概率(7)=的查表方法就是，在第一列找到自由度7这一行，在第一行中找到概率这一列，行列的交叉处即是。 表中所给值直接只能查单侧概率值，可以变化一下来查双侧概率值。例如，要在自由度为7的卡方分布中，得到双侧概率为所对应的上下端点可以这样来考虑：双侧概率指的是在 第5章 概率与概率分布 一、思考题 、频率与概率有什么关系 、独立性与互斥性有什么关系 、根据自己的经验体会举几个服从泊松分布的随机变量的实例。 、根据自己的经验体会举几个服从正态分布的随机变量的实例。 二、练习题 、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测试的平均分数。 （2）某人在公路上骑自行车，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。 （3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 、某市有50%的住户订阅日报，有65%的住户订阅晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。 、设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有个发生的概率是3 1 ，A 发生且B 不发生的概率是 9 1 ，求B 发现的概率。 、设A 与B 是两个随机事件，已知P(A)=P(B)= 31，P(A ｜B)= 6 1 ，求P(A ｜B ) 、有甲、乙两批种子，发芽率分别是和。在两批种子中各随机取一粒，试求： （1）两粒都发芽的概率。 （2）至少有一粒发芽的概率。 （3）恰有一粒发芽的概率。 、某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少 、某种品牌的电视机用到5000小时未坏的概率为 43，用到10000小时未坏的概率为2 1。现在有一台这种品牌的电视机已经用了5000小时未坏，它能用到10000小时的概率是多少 、某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%，25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。从该厂随机抽取一名职工，发现年龄不到25岁，他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各为多少 、某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18%。已知这四个车间产品的次品率分别为，，和，从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，且这件产品是由A ，B 车间生产的分布。 、考虑抛出两枚硬币的试验。令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。 、某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是%，抽取10元奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求： （1）此人收益的概率分布。 （2）此人收益的期望值。 、设随机变量X 的概率密度为： F(x)= 3 2 3θ X ，0 第四章 常用概率分布 [教学要求] 了解：质量控制的意义、原理和方法 熟悉：三个常用概率分布的特征。 掌握：掌握三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson 分布的概率 函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算。 [重点难点] 第一节 二项分布 一、二项分布的概念与特征 基本概念：如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为 ，阴性结果的发生概率 均为（1－π）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n 个人，发生阳性结果的人数X 的概率分布为二项分布，记作B （n ,π）。 二项分布的概率函数： X n X X n C X P --=)1()(ππ 二项分布的特征： 二项分布图的形态取决于与n ，高峰在=n 处。当接近0.5时，图形是对称的；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n 的增大，分布趋于对称。 二项分布的总体均数为 πμn = 方差为 )1(2ππσ-=n 标准差为 )1(ππσ-=n 如果将出现阳性结果的频率记为 n X p = 则p 的总体均数为 πμ=p 标准差为 二、二项分布的应用 二项分布出现阳性的次数至多为k 次的概率为 n p ) 1(ππσ-= ∑∑==-== ≤k X k X X X e X P k X P 0 ! )()(λλ 出现阳性的次数至少为k 次的概率为 第二节 Poisson 分布的概念与特征 一、Poisson 分布的概念与特征 基本概念：Poisson 分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率 很小， 而观察例数n 很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson 分布还要求 接近于0。有些情况 和n 都难以确定，只能以观察单位（时间、 空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来近似。 Poisson 分布的概率函数： 式中，πλn =为Poisson 分布的总体均数，X 为观察单位内某稀有事件的发生次数，e 为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。 Poisson 分布的特征 Poisson 分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。 Poisson 分布的总体均数与总体方差相等, 均为λ，且Poisson 分布的观察结果具有可加性。 特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson 分布。 三、Poisson 分布的应用 如果某稀有事件发生次数的总体均数为λ，那么发生次数至多为k 次的概率为 发生次数至少为k 次的概率为 ! )(X e X P X λλ -= ∑∑==---= = ≤k X k X X n X X n X n X P k X P 0 0)1()! (!! )()(ππ∑∑ ==---== ≥n k X n k X X n X X n X n X P k X P )1()! (!! )()(ππ 第五章 常用概率分布习题（附答案） 一、选择题 1. 估计正常成年女性红细胞计数的95%医学参考值范围时，应用（ A. ）。 A.)96.1,96.1(s x s x +- B.)96.1,96.1(x x s x s x +- C.)645.1(lg lg x x s x +> D.)645.1(s x +< E.)645.1(lg lg x x s x +< 2. 估计正常成年男性尿汞含量的95%医学参考值范围时，应用（E ）。 A.)96.1,96.1(s x s x +- B.)96.1,96.1(x x s x s x +- C.)645.1(lg lg x x s x +> D.)645.1(s x +< E.)645.1(lg lg x x s x +< 3．若某人群某疾病发生的阳性数X 服从二项分布，则从该人群随机抽出n 个人， 阳性数X 不少于k 人的概率为（ A ）。 A. )()1()(n P k P k P ++++ B. )()2()1(n P k P k P +++++ C. )()1()0(k P P P +++ D. )1()1()0(-+++k P P P E. )()2()1(k P P P +++ 4．Piosson 分布的标准差σ和均数λ的关系是（ C ）。 A. σλ> B. σλ< C. λ=2σ D. λ=σ E. λ与σ无固定关系 5．用计数器测得某放射性物质5分钟内发出的脉冲数为330个，据此可估计该放射性物质平均每分钟脉冲计数的95%可信区间为（ E ）。 A. 33096.1330± B. 33058.2330± C. 3396.133± D. 3358.233± E. 5/)33096.1330(± 6．Piosson 分布的方差和均数分别记为2 σ和λ，当满足条件（ E ）时，Piosson 分布近似正态分布。 A. π接近0或1 B. 2σ较小 C. λ较小 D. π接近0.5 E. 202≥σ 7．二项分布的图形取决于（ C ）的大小。 A. π B. n C.n 与π D. σ E. μ 8．在参数未知的正态总体中随机抽样，≥-μX （ E ）的概率为5％。 A. 1.96σ B. 1.96 C. 2.58 D. S t ν,2/05.0 E. X S t ν,2/05.0 9．某地1992年随机抽取100名健康女性，算得其血清总蛋白含量的均数为74g/L ，标准差 第五章概率与概率分布基础 第一节什么是概率 第二节概率分布 第三节常用离散型随机变量分布举例 第四节常用连续型随机变量分布举例 为什么学习概率? 概率是公共和非盈利性事业管理中最有用的数量分析方法之一.利用概率及相关知识,公共和非盈利事业的管理者可以判断和解决各种各样的问题. 比如,维修机构的负责人可以运用概率来决定公共设施发生故障的频率,并依此部署维护力量.公共交通部门可以用概率来分析某一站点某一时段内可能候车人数,从而决定公共交通的车次间隔. 本章内容包括一些基本的概率法则和假定. 最常用的适于作定量研究的方法--抽样调查就是通过概率的理论使我们掌握一种媒介,它可以做我们推断和分析的平台. 第一节什么是概率 一、随机事件与概率 （一）随机试验与随机事件 随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质： （1）每次试验的可能结果不是唯一的； （2）每次试验之前不能确定何种结果会出现； （3）试验可在相同条件下重复进行。 比如:标准大气压下,水沸腾的温度是100度. 必然事件 扔100次硬币,正面朝上的次数.随机事件. 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005 在经济与社会领域,随机命题是常见的,而必然命题是十分少见的. 任何一种社会现象,社会行为其产生的原因都是复杂的,事物单个出现的时候难免有偶然性和非确定性,但是对于大量事物的研究,由于平衡与排除了单个孤立事件所具有的偶然性,从而可以发现其内部的规律性. 在随机试验中(对随机现象的观察)可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中却具有某种规律性的事件，称之为随机事件。 试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件 还可称为样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,…，n)。集合Ω={ω1 ,ω2 , …,ωn}称为样本空间，Ω中的元素就是样本点。 考试练习题常用概率 分布 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在 条件下为对称图形。 A ．n > 50 B ．π=0.5 C ．n π=1 D ．π=1 E ．n π> 5 2．满足 时，二项分布B （n,π）近似正态分布。 A ．n π和n （1－π）均大于等于5 B ．n π或n （1－π）大于等于5 C ．n π足够大 D ．n > 50 E ．π足够大 3. 的均数等于方差。 A ．正态分布 B ．二项分布 C ．对称分布 D ．Poisson 分布 E ．以上均不对 4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是 。 A ．－∞到+1.96 B ．－1.96到+1.96 C ．－∞到+2.58 D ．－2.58到+2.58 E ．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为 。 A ．n （1－π） B ．（n －1）π C ．n π（1－π） D ．n π 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为 。 A . B . （1-π）（1-π）（ -）π1 C . D . π（1-π）（π 7.设X 1,X 2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson 分布,且X 1与X 2独立,则X 1+X 2服从以 为方差的Poisson 分布。 A . B .λ2λ12+2λ 2λ1+ C . D . 2λ2λ1+（） 2λ2λ1+（） E .λ2λ12+2 8．满足 时，Poisson 分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大 B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞ C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则 X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布 B．标准正态分布 C．二项分布 D．Poisson分布 E．t 分布 12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ 2），X与Y独立，则X－Y服从。 2 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22） B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22） D．N（0，σ12+σ22） E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 第五章常用概率分布习题 一、是非题 1．在确定某个指标的医学参考值范围时，必须选取足够多的健康人来进行计算。2．对于服从正态分布的资料，变量取值位于-1.96到1.96之间的可能性为0.95。3．Poisson分布有两个参数：n和μ。 4．在μ足够大时，Poisson分布就是正态分布。 5．设X服从Poisson分布，则Y＝2X也服从Poisson分布。 6．用X表示某个放射性物体的每分钟脉冲数，其平均每分钟脉冲数为5次(可以认为服从Poisson分布)，用Y表示连续观察20分钟的脉冲数，则可以认为近似服从正态分布，但不能认为X近似服从正态分布。 二、选择题 1．关于二项分布，错误的是( )。 A．服从二项分布随机变量为离散型随机变量 B．当n很大，π接近0.5时，二项分布图形接近正态分布 C．当π接近0.5时，二项分布图形接近对称分布 D．服从二项分布随机变量，取值的概率之和为1 E．当nπ＞5时，二项分布接近正态分布 2．关于泊松分布，错误的是( )。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布由均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λl和λ2的泊松分布，且相互独立。则X1+X2服从均数为λl+λ2泊松分布 3．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的( ) A．99％B．95％C．47.5％D．49.5％E．90％ 4．标准正态曲线下，中间95％的面积所对应的横轴范围是( )。 A．-∞到+1.96 B．-1.96到+1.96 C．-∞到+2.58 D．-2.58到+2.58 E．-1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为( )。 A．n(1-π) B．(n-1)π(1-π) C．nπ(1-π) D．nπE． 6．服从二项分布的随机变量的总体标准为( )。 A B．(n-1)π(1-π) C．nπ(1-π) D E 7．以下方法中，确定医学参考值范围的最好方法是( ) A．百分位数法B．正态分布法C．对数正态分布法D．标准化法E．结合原始数据分布类型选择相应的方法 8．下列叙述中．错误的是( )。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 D．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1 E．标准正态分布的标准差为1 三、筒答题 第四章常用概率分布 为了便于读者理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，…，也可能“孵化出6 只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena）或不确定性现象（indefinite phenomena）。 人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。例如，对于一头临产的妊娠母牛产公犊还是产母犊是事前不能确定的，但随着妊娠母牛头数的增加，其产公犊、母犊的比例逐渐接近1：1的性别比例规律。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。 （二）随机试验与随机事件 1、随机试验通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。而一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验（random trial），简称试验： （1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 如在一定孵化条件下，孵化6枚种蛋，观察其出雏情况；又如观察两头临产妊娠母牛所 第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的 第二章 随机变量及其分布 复习 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题： 1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1) c P k k k k ξ== =+……，则P(13)____ξ≤≤= 2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为1 7 ，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一 球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率 3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。 4 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5 ． （1）请将上面的列联表补充完整； （2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； （3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率． (参考公式：2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++) 第四章常用概率分布 一、二项分布的概念和特征 概念 分布:随机变量的取值规律分布函数:描述分布的规律 变量类型 连续型变量 离散型变量如:正态分布 如:二项分布,泊松分布 思考 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近,且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%,存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少?有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? 例1.假设有5只实验小白鼠,要求它们同种属、同性别、体重相近, 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时,他们有相同的死亡率80%, 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少? 有一只白小鼠存活的概率是多少?2只小白鼠存活的概率是多少? P 死 =0.8 P 活 =0.2 P 1 =0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5 C 2 5 C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328 该实验有三个特点: 1.各次实验是彼此独立的; 2.每次实验只有二种可能的结果,或死亡或生存; 3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。 具备以上三点,即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本, 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布,记作B(n,p。 概率分布函数 二项分布的概率函数P (X 可用公式 X n X X n C X P - - = 1 ( ( p p 其中 ! ( ! ! X n X n C X n - = 对于任何二项分布,总有 ( 1 = ? = n X X P 例2.临床上用针灸治疗某型头疼,有效的概率为60%,现以该疗法治疗3例,其中2例有效的概率是多大? 分析:治疗结果为有限和无效两类,每个患者是否有效不受其他病例的影响,有效概率均为0.6,符合二项分布的条件。 1. 若某班学生统计学成绩服从正态分布） ，（25 80~N X ，任从中抽取一个同学，试问该同学的成绩在以下范围内的概率： （1）85)P(X ≤=()8413.0)1(1 58085580= Φ=≤=?? ? ??-≤-Z P X P （2）75)P(X ≤ =()1587.08413.01)1(1)1(1580755 80=-=Φ-=-Φ=-≤=??? ??-≤-Z P X P （3）85)X P(75≤≤ =()[]6827 .018413.0*21)1(2)1(1)1()1()1(11580855805 8075=-=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=≤-=??? ??-≤-≤-=Z P X P π （4）85) X P(70≤≤19772.08413.01)2()1()]2(1[)1()2()1(-+=-Φ+Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= （5）90)P(X ≥ 9772.01)2(1)2(1)2(-=Φ-=≤-=≥=Z P Z P 2. 查表计算有关t 分布 （1）132.2)4(t 0.05= （2）169.3)10(t -2 0.01-= （3）10.01.476)5(t ==αα， （4）05.0-2.447)6(t -2 ==αα， （5）103.169)n (t 0.005==n ， （6）112.718)n (t 2 0.02==n ， 3. 查表计算有关2 χ分布 （1）307.18102 0.05 =）（χ （2）975.04.404122==αχα，） （ （3）511.072n 20.05==n ，）（χ （4）看下图查表，在（ ）处写出正式表达方式和具体数值。 标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 第四章常用概率分布 为了便于理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用以后各章所介绍的统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念——事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究中常用的几种随机变量的概率分布——正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。 第一节排列与组合 一、乘法原理 如果一个过程分两个阶段进行，第一阶段有m种做法，第二阶段有n种做法，且第一阶段与第二阶段的任一种做法配成整个事件的一种做法，那么整个过程应该有mn种做法。 二、排列 从n个不同的元素中，任意取出r个不同的元素（0＜r≤n）按一定顺序排成一列，这样的一列元素，叫做从n个不同的元素中取r个不同的元素组成的一种排列。记做Pn r P n r=n(n-1)---(n-r+1)=n!/(n-r)! 例1：从1、2、3、4、5、6、7任取3个不同的数字组成3位数中，有几个是偶数？ 3×6×5＝90 如果容许重复，则P n r =n r 例2：体育彩票6位数的排列数有106，加上特征数共有106C51 例3 用0、1、2－－－9组成3位数 （1）如考虑数字可重复，可以组成多少不同的3位数？ （2）3位数中数字没有重复的有几个？ （3）3个数字相同的有几个？ （4）只有2个相同的有几个？ 解 1）百位9种，十位10种，个位10种 9×10×10 （2）百位9种，十位9种，个位8种 9×9×8 （3）百位9种，9×1×1 （4）百位与十位相同9×9，百位与个位相同9×9，十位与个位相同9×9 9×9＋9×9＋9×9＝243 三、组合 设有n个不同的元素，从它们中间任取r个构成一组，不考虑r元素的次序，记做C n r C n r=P n r/r!= n!/(n-r)!r! 例：5本不同的数学书，8本不同的物理书，任取2 本数学书，4本物理书的取法C52C84＝700 第二节事件与概率 一、事件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，观察到各种现象，归纳起来，大体上分为两大类：必然现象（inevitable phenomena）或确定性现象（definite phenomena）：可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然 1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1, 2 , 3的三个座位，每位学生坐一个座位 设与座位编号相同的学生的个数是 X. （1） 求随机变量X 的分布列； （2） 求随机变量X 的数学期望和方差. 解（1）P （ X=0）= _L =1 - A 33 ； P （ X=1）=-C3 = 1 ； P （ X=3）= 2 =丄； A 3 2 A 3 6 (2) E (X ) =1 X 丄 +3 X 丄=1. 2 6 D (X ) =(1-0) 2 1 +(1-1) 2 丄+(3-1) 2 1 =1. 3 2 6 2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次 随机地摸岀一个球，记下颜色后放回，摸岀一个红球可获得奖金 10元；摸岀两个红 球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定:甲摸一次，乙摸两次，令X 表示 甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求： （1 ） X 的分布列； （2） X 的均值. 解 （1 ） X 的所有可能取值为0，10，20，50，60. 9 1 9 P(X=50)= X =- 10 102 1 000 1 1 P(X=60)= 3 = . ' 103 1 000 故X 的分布列为 P (X=0 ) @ 1 = 729 10 = 1 000 P ( X=10)」X 「2 X C 2 X 丄 10 〔0 丿 10 10 9 X 一 = 243 1 000 P(X=20)= 丄 X C 2 X 丄 X ?= 10 10 10 18 1 000 729 243 18 9 (2 ) E ( X ) =0 X +10 X -243+20 X 18+50 X — +60 X 1 000 1 000 1 000 1 000 1 =3.3（兀）. 1 000 ' ' 3 （本小题满分13分） 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生 产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量； （2）当产品中的微量元素x,y满足x》175 ,且y》75时,该产品为优等 品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数?的分布列极其均值（即数学期望）。 & 98 解：（1）7,5 7=35，即乙厂生产的产品数量为35件。 14 （2）易见只有编号为 2 , 5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中 第四章 选择题： 1．二项分布的概率分布图在条件下为对称图形。 A．n > 50 B．π=0.5 C．nπ=1 D．π=1 E．nπ> 5 2．满足时，二项分布B（n,π）近似正态分布。 A．nπ和n（1－π）均大于等于5 B．nπ或n（1－π）大于等于5 C．nπ足够大D．n > 50 E．π足够大 3. 的均数等于方差。 A．正态分布B．二项分布C．对称分布D．Poisson分布E．以上均不对4．标准正态典线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。 A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58 D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64 5．服从二项分布的随机变量的总体均数为。 A．n（1－π）B．（n－1）πC．nπ（1－π）D．nπ 6．服从二项分布的随机变量的总体标准差为。 7.设X1,X2分别服从以λ1,λ2为均数的Poisson分布,且X1与X2独立,则X1+X2服从以 为方差的Poisson分布。 8．满足时，Poisson分布Ⅱ（λ）近似正态分布。 A．λ无限大B．λ>20 C．λ=1 D．λ=0 E．λ=0.5 9．满足时，二项分布B（n，π）近似Poisson分布。 A．n很大且π接近0 B．n→∞C．nπ或n（1－π）大于等于5 D．n很大且π接近0.5 E．π接近0.5 10．关于泊松分布，错误的是。 A．当二项分布的n很大而π很小时，可用泊松分布近似二项分布 B．泊松分布均数λ唯一确定 C．泊松分布的均数越大，越接近正态分布 D．泊松分布的均数与标准差相等 E．如果X1和X2分别服从均数为λ1和λ2的泊松分布，且相互独立。则X1+X2服从均数为λ1+λ2的泊松分布。 11．以下分布中，均数等于方差的分布是。 A．正态分布B．标准正态分布C．二项分布D．Poisson分布E．t分布12．随机变量X服从正态分布N（μ1，σ12），Y服从正态分布N（μ2，σ22），X与Y 独立，则X－Y服从。 A．N（μ1+μ2，σ12－σ22）B．N（μ1－μ2，σ12－σ22） C．N（μ1－μ2，σ12+σ22）D．N（0，σ12+σ22）E．以上均不对 13．下列叙述中，错误的是。 A．二项分布中两个可能结果出现的概率之和为1 B．泊松分布只有1个参数λ C．正态曲线下的面积之和为1 D．服从泊松分布的随机变量，其取值为0到n的概率之和为1 E．标准正态分布的标准差为1 14．据既往经验，注射破伤风抗毒素异常发生率为5‰，某医院一年接种600人次，无1例发生异常，该情况发生的可能性P（X=0）应等于。 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。 称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值 标准正态表 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964卡方分布概念及表和查表方法
第5章概率与概率分布
第四章常用概率分布学习指导(定)详解
常用概率分布(习题与答案)
第五章 概率与概率分布基础
考试练习题常用概率分布教学提纲
考研资料_厦门大学卫生综合_卫生统计厦大内部习题集_第五章 常用概率分布
第四章 常概率分布
概率统计公式大全(复习重点)汇总
随机变量及其分布考点总结
第4章 常见概率分布.
概率分布查表联系
概率统计分布表(常用)
第四章 常用概率分布
概率分布期望方差汇总
考试练习题常用概率分布
概率论中几种常用的重要的分布
概率统计分布表(常用)