整式的乘除知识点归纳

整式的乘除

知识点归纳：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：2a2bc的系数为2，次数为4,单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a2 2ab x 1，项有a2、2ab、x、1，二次项为a2、2ab，一次项为x，常数项为1，

各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升(降旬幂排列：

如：x3 2x2y2 xy2y31

按x的升幕排列：12y3 c 2 2 3

xy 2x y x

按x的降幕排列：x32x2y2xy 2y31

5、同底数幕的乘法法则: m a?a n a m n( m, n都是正整数)

同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：(a b)2?(a b)3 (a b)5

6、幕的乘方法则：(a m)n a mn( m,n都是正整数)

幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(35)2 310

幕的乘方法则可以逆用：即a mn (a m)n (a n)m

如: 46 (42 )3 (43)2已知：2a3，32b6，求23a 10b的值；

7、积的乘方法则：(ab)n a n b n( n是正整数)

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如: ( 2x3y2z)5=( 2)5 ?(x3)5 ?( y2)5 ?z532x15y10z5

8同底数幕的除法法则：a m a n a m n( a 0,m, n都是正整数，且m n)

9、零指数和负指数;

a 0 1，即任何不等于零的数的零次方等于

1。

(2)

10、科学记数法：如：0.00000721=7.21 10 6 (第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方) 11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单 项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

① 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ② 相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。

③ 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④ 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤ 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如： 2x 2y 3z?3xy 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加, 即 m(a b c) ma mb mc (m,a,b,c 都是单项式 )

① 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

② 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③ 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 ]

如：2x(2x 3y) 3y(x y) 13、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 如：1 (3a

2b)(a 3b) 2、(x 5)( x 6)

14、平方差公式： 2 2 ...................................

(a b)(a b) a b 注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边 是相同项的平方减去相反项的平方。

如：(a+b — 1) (a - b+1) = ______________ 。计算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5)

同底数幕相除，底数不变，指数相减。如:

4

3 3 3

(ab) (ab) (ab) a b

0, p 是正整数)，即一个不等于零的数的

p 次方等于这个数的 p 次方的倒数。

如:

2 2 2

15、完全平方公式：（a b ） a 2ab b

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方, 而另一项是左边二项式中两项乘积的

2倍。

2 ,2

a b

⑵、已知（a b ） 16，ab 4,求3与（a b ）的值.

16、 三项式的完全平方公式：

2 2 2 2

（a b c ） a b c 2ab 2ac 2bc

17、 单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母，则

连同它的指数作为商的一个因式

2 4

2

如： 7a b m 49a b 18、 多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即: （am bm cm ） m am m bm m cm m a b c

方法总结：①乘法与除法互为逆运算。

②被除式=除式X 商式+余式

例如：已知一个多项式除以多项式 a 2 4a 3所得的商式是2a 1，余式是2a 8，求这 个多项式。

(a

b 2

(a

b)2 (a

b)2

b)2

2

b) 2ab

b)2

4ab 2

(a b)] (a b)]2

(a (a

2

b) 2ab

b)2

b 2 2

b

2

2ab b 2 b 2 2. a b ）2

尾平方，加上首尾乘积白a

如：⑴、试说明不论x,y 取何值，代数式x 2

4y 2

a

(a 2ab

完全平方公式的口诀：首平方, 2 a 2 b 2

b 2 倍a b

6b 24y a l5的值总是正数。

怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，

且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且

是相同项的平方减去相反项的平方?明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.

(二)、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式?理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式?如计算( x+2y —3z) 2,若视x+2y

为公式中的a，3z为b，则就可用(a—b) 2=a2—2ab+b2来解了。

(三)、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.

常见的几种变化是：

1、位置变化女口(3x+5y) (5y —3x)交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.

2、符号变化如(—2m-7n) (2m- 7n)变为—(2m+7n) (2m-7n)后就可用平方差公式求

解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)

3、数字变化如98X 102, 9纟，912等分别变为(100—2) (100+2，(100—1) 2,

(90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.

4、系数变化女口(4R+丄)(2m- n)变为2 (2m+E ) (2m--)后即可用平方差公

2 4 4 4

式进行计算了.

5、项数变化女口( x+3y+2z) (x —3y+6z)变为(x+3y+4z—2z) (x —3y+4z+2z )后再适当分组就可以用乘法公式来解了.

(四)、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a2+1) 2?( a2—1) 2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，贝U非常简便.即原式=[(a2+1) (a2—1) ]2= (a4—1) 2=a8—2a4+1.

对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意逆向(从右到左) 运用.如计算(1 —g ) ( 1 —丄)(1 —g )???( 1 ——2 ) ( 1 —丄)，若分别算出各因式的

2 3 4 9 10

值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题.