高中数学函数的表示方法(1)

2.1.2 函数的表示方法（1）

教学目标：

1．进一步理解函数的概念，了解函数表示的多样性，能熟练掌握函数的三种不同的表示方法； 2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上，了解函数不同表示法的优缺点，针对具体问题能合理地选择表示方法；

3．通过教学，培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法． 教学重点：

函数的表示． 教学难点：

针对具体问题合理选择表示方法． 教学过程：

一、问题情境 1． 情境．

下表的对应关系能否表示一个函数：

2．问题．

如何表示一个函数呢？ 二、学生活动

1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点：

3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的，一般都能列出符合条件的表、画出符合条

列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法

解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法

件的图，反之亦然；列表法也能通过图形来表示．

四、数学运用 （一）例题

例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．

跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．

（1）列表：

（2）图象： （3）解析式：

将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个 的商品按10元一个销售，每天可卖出110个”

例2 如图，是一个二次函数的图象的一部分，试根据图象 中的有关数据，求出函数f (x )的解析式及其定义域．

（二）练习：

1．1 nmile(海里)约为1854m ，根据这一关系，写出米数y 关于海里数x 的函数解析式． 2．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形的面积

S (cm 2)表示为矩形一边长x (cm)的函数，并画出函数的图象．

3．已知f (x )是一次函数，且图象经过(1，0)和(－2，3)两点，求f (x )的解析式． 4．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x －4，求f (x )的解析式． 五、回顾小结

1．函数表示的多样性；

2．函数不同表示方法之间的联系性； 3．待定系数法求函数的解析式． 六、作业

课堂作业：课本35页习题1，4，5．

探讨高中数学函数的教学策略

探讨高中数学函数的教学策略 发表时间：2015-02-06T10:44:53.783Z 来源：《中小学教育》2015年2月总第198期供稿作者：李国良[导读] 高中函数具有抽象性的特点，而且每个函数都有自己的解析图像，所以这样的知识非常适合采用多媒体加以呈现。 李国良广东省五华县琴江中学514400 摘要：函数在高中数学中占据了非常大的比例，是高中数学教学的重点和难点。为了帮助学生更好地克服函数知识的难点，提高学生的学习效率，教师要改进传统的教学模式，采用多样化的教学方式，根据学生的年龄特征设置教学方案和教学策略。作者结合多年教学实践，在此就高中数学函数教学提出几点建议。 关键词：高中数学函数教学教学策略 高中函数的学习过程，是学生对函数在感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握函数知识，从而获得对函数知识本质和规律的认识能力的过程。教学中，函数的学习虽然并非等于求解函数题目，但学习函数是建立在对函数基本概念、定理、公式理解的基础上，并通过对函数题目的解答来实现的。根据多年的教学经验，我认为应从以下几方面着手：一、加强对函数定义与概念的教学 在初中阶段学生已经学习过函数的“变量”定义以及一些特殊的函数，如一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数的概念以及一些简单的性质，已经初步掌握了函数的基本知识。新教材特别强调了实例的典型性和丰富性，充分运用了表格和图像的作用，让学生体会到函数的其他形式。这样的安排既可以提升学生对函数概念的理解层次，又可以帮助学生更全面、更深刻地理解函数概念中的“对应关系”，在教学中应充分发挥它们的作用。所以，教学中首先要回顾初中函数概念，然后引用课本中的例题，和学生一起分析例题。例如已知：得出炮弹距地面的高度h随时间t变化的规律：h=130t-5t2。分析t和h的变化范围。分别令其为数集A和数集B，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，进而分析、归纳变量之间关系的共同特点。其次，让学生观察、分析、总结函数的特点，然后教师总结，揭示函数关系的本质是表达两个集合之间的元素按照某些特殊法则所确定的对应关系，从而给出函数的对应说概念以及函数的三要素。 二、联系前后知识，建立知识网络 比如题例：有直线1经过A点（1，2），且在x轴上截距范围在（-3，3）中，求y轴上直线1的截距范围。通过建立函数思想并展开分析：分别设横纵截距为a与b，因A点（0，b），（a，0），（1，2）三点共线，a、b的关系就能求得，如能将b关于a的函数关系建立起来，就能够借助该函数在（-3，3）定义域上的值域，获得最终的答案。 由此可见，高中数学许多知识点的关系都是递进、铺排的，掌握了一个知识点，就能找到与其相关联的前后左右的其他知识点。如果学生在高中数学教学过程中或是在其他教学中将各方面知识点充分调动起来，对单一问题进行有效解决，就能够建立起解题思路，并使解题思路更为多样化。这一点也正是目前我国高中数学教学所侧重的。 三、注重创新数学思维的锻炼 函数和方程思想是中学数学重要的思想方法之一，在不等式教学中巧妙地融合函数与方程的思想解题，能使学生于潜移默化中克服思维定式，领会不等式、方程与函数之间的转化，激发学生思维的灵活性。高中数学函数教学要与函数与方程（不等式）有效地结合，使学生体会到函数、方程、不等式的统一关系，进一步体现出新教材中数形结合的思想，使学生体会到数学知识之间的连续性，可以看出函数与方程、函数与不等式密不可分、紧密联系。 如利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。具体案例为：若直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解即x的值是多少？ 四、充分利用多媒体技术等现代教学手段 数学课程标准实施以来，要求老师在教学中要采用现代化教学手段，达到理想的教学效果。高中函数具有抽象性的特点，而且每个函数都有自己的解析图像，所以这样的知识非常适合采用多媒体加以呈现。利用多媒体技术，可以化抽象为形象，化无形为有形，将知识直观形象地展示在学生面前，让学生一目了然。 例如，在绘制“y=x，y=x2，y=a2（a＞0且a≠0）（x∈R）的图像”时，就可以组织学生分组活动，要求他们借助计算机中的“几何画板”作图，并分工协作，共同讨论以上函数的性质和规律，以及在实际生活中的应用价值。又如，在验证“y=a2（a＞0且a≠0）（x∈R）在改变a 的值”时，可以借助多媒体展示指数函数底不同时对于图像的不同影响，让学生了解指数函数的变化规律，加深学生对指数函数的印象，同时也有助于突破教学难点、突出教学重点，从而全面提高课堂教学效率。 总之，高中数学教师对函数的教学需要以学生为教学的主体，依据学生的实际情况和教学目标，制订相关的教学计划，培养学生的数学思维能力和创新能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，使学生的数学能力得到长足的进步。参考文献 [1]刘志旺高中数学函数教学渗透数学思想方法分析[J].中学生数理化（学研版），2011，（9）。 [2]徐志强突破难点，多媒体助力高中数学函数教学[J].中国教育技术装备，2013，（17）。 [3]张敏对高中数学中函数教学方法的探讨[J].数学学习与研究，2011，(15)，29。

高中数学函数概念

函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

高中数学教学方法探索

高中数学教学方法探索 摘要：许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上。这种“惧怕”高中数学的现象目前是比较普遍的，应当引起重视。 关键词：高中数学；教学；方式探讨 中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）05-265-01 许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上。这种“惧怕”高中数学的现象目前是比较普遍的，应当引起重视。 一、学习下滑的原因 面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，笔者对他们的学习状态进行了研究、调查表明，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面。 1、学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。 2、不重

视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量”轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 3、进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数在闭区间上的最值问题，函数值域的求法，实根分布与参变量方程，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。客观上这些观点就是分化点，有的内容还是高初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，分化是不可避免的。 二、改进学习方法 高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。针对学生学习中出现的上述情况，教师应当采取以加强学法指导为主，化解分化点为辅的对策： 1、加强学法指导，培养良好学习习惯。 良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

高中数学函数知识点总结 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334Y Y 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 ，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ， 值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ， 值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ [] 的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。 分析：由函数)(x f y =的定义域为?? ? ???2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2 1 2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{} 42|≤≤x x

谈高中数学的几种有效教学方法

谈高中数学的几种有效教学方法 在现在的高中课堂教学中，常常是老师负责的讲解，而学生是被动的听。学生如何消化基础知识，如何掌握解题技巧和思想方法，进而增强分析问题、解决问题的能力，这些往往被忽略。所以采用恰当的教学方法，发挥学生的主观能动性，想办法让学生多参与课堂教学，改变被动听课的局面，提高课堂效率，事半功倍。 高中数学教学方法 一、创设真实情境，激发学生学习数学的兴趣与好奇心 建构主义学习理论强调创设真实情境，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为教学设计的最重要内容之一。而多媒体技术正好是创设真实情境的最有效工具，如果再与仿真技术相结合，则更能产生身临其境的逼真效果。 教师利用以多媒体技术与网络技术为核心的现代教育技术创设与主题相关的、尽可能真实的情境，使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。 例如笔者在上“立体几何”导言课时，利用多媒体电脑展示“让所有立体几何图形都动起来”课件。 学生在实际情境下进行学习，可以激发学生的联想思维，激发学生学习立体几何的兴趣与好奇心，有效地降低学生对立体几何的恐惧感。学习者能利用自己原有认知结构中有关经验，去同化和索引当前学习到的新知识，从而在新旧知识之间建立起联系，并赋予新知识以某种意义。 二、创设质疑情境，变“机械接受”为“主动探究” “学起于思，思源于疑”。学生有了疑问才会去进一步思考问题，才会有所发展，有所创造，苏霍姆林斯基曾说：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者固有需要，”而传统教学中，学生少主动参与，多被动接受；少自我意识，多依附性。学生被束缚在教师、教材、课堂的圈子中，不敢越雷池半步，其创造性个性受到压抑和扼制。因此，在教学中我们提出：学生是教学的主人，教是为学生的学服务的。应鼓励学生自主质疑，去发现问题，大胆发问。创设质疑情境，让学生由机械接受向主动探索发展，有利于发展学生的创造个性。 在课堂上创设一定的问题情境，不仅能培养学生的数学实践能力，更能有效地加强学生与生活实际的联系，让学生感受到生活中无处不有数学知识的存在，从而让学生懂得学习是为了更好地运用，让学生把学习数学当作一种乐趣。另外，创设一定的问题情境可以开拓学生的思维，给学生发展的空间。

高中数学函数概念的变式教学方法研究

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/652487100.html, 高中数学函数概念的变式教学方法研究 作者：范粤 来源：《教育界·上旬》2018年第11期 【摘要】高中数学对于学生而言是难度十分高的一门学科，相较于初中数学具有更加抽象的数学理念、数学定理，使高中阶段的学生学习经过与理解行为变得更加烦琐。因此，文章根据高中数学函数概念的变式教学方法展开了一系列的分析和论述。 【关键词】高中数学；函数概念；变式教学 一、引言 函数在高中数学课程中起到贯穿知识点的作用，是高中数学课程中一个非常重要的组成部分。函数的概念比较抽象，所以教师在教学过程中经常运用丰富的实际例子和一些易懂的变式进行教学，帮助学生对抽象函数思想进行理解，以便学生运用抽象的函数思想解决实际函数问题，让学生的理解能力和解决问题能力得到提高。在函数的教学中，教师和学生都要注重对函数概念的认识，加强对三种基本函数模式的应用。 二、变式教学及其在函数教学中的作用 首先，我们要了解一下函数概念的发展历史。每一个数学上的突破，都需要经历一个漫长的过程和很多数学家的努力。“函数”一词最早在1673年由德国数学家莱布尼茨在进行自变量数学研究时提出的，之后，函数概念就开始被很多数学家使用。函数概念从形成到应用经历了三个阶段。 （一）变量说 “变量说”有一个经典的函数符号，即，其含义是，函数是一个由变量与一些常数以任何一种方式组成的解析表达式。 （二）对应说 “对应说”是针对函数式中取值取值的对应关系，就是有不同的取值，那么就会有一个与之对应的值，称为是的函数。 （三）关系说 “关系说”是在19世纪末期被数学家提出的，它把函数的定义域和值域均突破了以往数集的限制，扩展到任意集合。在现代函数的数学教学中，把现代函数的“函数观”以集合的形式展

高中数学-函数的概念及表示练习

高中数学-函数的概念及表示练习 【考情分析】 高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度 【考纲研读】 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3．了解简单的分段函数，并能简单应用 一、选择题 1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝??? 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 3.(山东)设f (x )={√x ,0

高中数学函数解题技巧及方法

专题1 函数 (理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。 如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。 函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

高中数学函数的概念与性质(T)

函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+

例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。

例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.

(完整word版)【高中数学讲义】函数求值域的十种方法.docx

前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶

百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

高中数学教学方法

数学教学经验 我是一名普通的数学教师，普通的班主任。十几年来，我只是默默的为我的学生做着该做的一切,感觉并没有什么“经验”，有的只是自己尽职尽责的工作态度，严格而又灵活的方法。当然要想取得好成绩，这和平时心血的付出是成正比的。教学工作包含的内容太广泛，下面我就谈谈自己在教学实践中的一些做法和感悟，不能称为经验，权当与老师们探讨和交流吧。 一、投身教学改革，努力探索实践 作为一名教数学的我来说，学习是首当其冲的事情，只有不断学习，在业务上过关，才能做一名合格的教师，首先从自身知识素养和文化素养提高着手，严格要求自己，从深入研究教材，吃透教材抓起，对我来说还远远不够，我还常把困惑的问题记录下来，利用课余时间向有经验的老教师请教，寻找问题的最佳方法，直到问题解决的清晰明了。 二、重视养成教育，培养良好的习惯 我对学生提出的最基本的要求是：会听讲，会学习，会做作业。我经常告诉学生的一句话是：学习是自己的事，别人无法代替。 会听讲：即做好课前准备，细心倾听老师的讲解，耐心倾听学生的发言，全神贯注，集中精力。 会学习：养成良好的学习习惯，包括仔细观察，认真做事，善于总结，独立思考，获取信息，提出问题，不懂就问，合作学习，自我评价，高效率做事情等。我用自己的实践经历告诉学生：处处留心皆学问，学了就会有用，不学就会落后，因此要经常提醒自己，要向书本学习，向老师学习，向同学学习，从生活中学习。同时还要求学生做数学题时要准备演草纸，准备一次两次是件简单事，谁都能做到，关键是每次做题时养成习惯。 会做作业：先复习再做作业，不乱涂乱画，尤其对于计算题,学生往往容易出错,很多家长说”他会做,就是粗心”或”他很聪明,就是计算容易出错”等等,而我认为不只是单纯的粗心问题,而是计算方法掌握不够,学习态度不够认真,于是我采取每次只做2-4道计算题,一天一次,要求书写规范力争全对，这样量少学生做起来也不觉得困难,开始,学生每次做完我都批改, 表扬全对的学生,慢慢的学生逐步养成做题认真细心的良好习惯,计算出错率也基本没有了. 三、建立良好班风、学风，赏识激励，使学生最大限度地发挥潜能

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个

数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；

高中数学的教学方法

高中数学的教学方法 新课标要求，数学教学过程是实现课程目标的重要途径，它突出对学生创新意识和实践能力的培养，教师是数学教学过程的组织者和引导者。新课程标准下还要求教师学习、探索和积极运用先进的教学方法，不断提高师德素养和专业水平。我在多年的教学实践中，不断研究、探索新的教学方法，努力提高自己的执教能力，把大面积提高学生的数学水平作为追求的目标。在这个创新和探究的年代里，数学教师的聪明才智得以淋漓尽致的发挥，发明和创造了很多很好的教学方法，也受到了很好的教学效果。诸如兴趣培养法、和谐教学法、快乐教学法、情景创设法、先学后教法、自主探究法、合作探究法等等，而我课堂上经常使用的方法是前四种，并且是根据所教内容，具体情况，交替使用，现在将这几种方法叙述出来，供同行们参阅。 一、兴趣培养教学法 我们常说兴趣是最好的老师，因此，数学教师要想把这门功课教好，就要想办法培养学生的学习兴趣。学生喜欢上了这门课程，才能在整个课堂上保持旺盛的精力，思维处于活跃的状态，使课堂的每分钟变成有效的学习时间。高中学生大多喜欢下棋，例如，跳棋、象棋、围棋、军棋等等。在讲到数学上的直角坐标系时，我就询问学生，班上有多少同学会下棋？很多同学就异口同声的答会。再问，有多少同学会下象棋？有大约一半的同学回答我会。我又问，你们知道象棋的棋盘是什么图形的？学生再答，相互十字交叉。我说，今天，我们就来学习十字交叉的棋盘。此时此刻的学生，个个聚精会神，等待老师的讲授。 二、快乐教学法 教学是有教师的教与学生的学构成的一种特殊认识活动。随着学生年龄的增长，自己的知识也随之有所变化，特别是高中的知识，许多学生在初中各科还学得挺好，尤其是数学，但是，当他们跨入高中以后，思想发生了很大变化，认为高中数学特别难。对此，有很多同学向我询问学好数学的方法。为了解决这个难题，我在自己几年的数学教学中采用快乐教学法，使学生对数学有畏惧到接受，再到应用，使他们对数学概念由抽象到内涵，再到外延。采用这种教学方法，教师教得轻松，学生学得明白，用得自如。在高中教学中，平面几何部分有一节《双曲线的几何性质》，为了让学生对椭圆与双曲线的性质有个深刻的认识：椭圆