波尔共振

实验十六 玻尔共振

振动是物理学中一种重要的运动，是自然界最普遍的运动形式之一。振动可分为自由振动（无阻尼振动）、阻尼振动和受迫振动。振动中物理量随时间做周期性变化，在工程技术中，最多的是阻尼振动和受迫振动，及由受迫振动所导致的共振现象。共振现象一方面对建筑物有破坏作用，另一方面却有许多实用价值能为我们所用。如利用共振原理设计制作的电声器件，利用核磁共振和顺磁共振研究物质的结构等。本实验用波耳共振仪研究阻尼振动和受迫振动的特性。

[实验目的]

1．观察阻尼振动，研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动的幅频特性和相频特性。

2．观察共振现象，研究不同阻尼力矩对受迫振动的影响。

3．学习闪频法测定运动物体的定态物理量——相位差。

[实验原理]

当一个物体在持续的周期性外力作用下发生振动时，称为受迫振动，周期性外力称为强迫力。若周期性外力按简谐振动规律变化的，则这种受迫振动也是简谐振动。在稳定状态，振幅恒定不变，振幅大小与强迫力的频率、振动系统的固有振动频率及阻尼系数有关。振动系统同时受到阻尼力和强迫力作用，作受迫振动。在稳定状态时物体的位移、速度变化与强迫力变化相位不同，有一个相位差。当强迫力频率与振动系统固有频率相同时会产生共振，此时相位差90o，振幅最大。

波尔共振仪的摆轮在弹性力矩作用下作自由摆动，在电磁阻尼力矩作用下产生阻尼振动。通过观察周期性强迫力阻尼振动，可以研究波尔共振仪中弹性摆轮受迫振动幅频特性和相频特性，以及不同阻尼力矩对受迫振动的影响。

设周期性强迫力矩：t M ωcos 0；电磁和空气阻尼力矩：dt

d b θ-；振动系统的弹性力矩：θk -。

则摆轮的运动方程为：

t M dt d k dt

d J o ωθθθcos b 22+--= （16 -1） 式中J 为摆轮的转动惯量，令J

M m J b J k o ===,2,20βω，o ω、β和m 分别称固有频率、阻尼系数和强迫力矩。则式（15-1）变为

t m dt d dt

d o ωθωθβθcos 2222=++ （16-2） 此式称为阻尼振动方程，其解为：

)

cos(

)

cos(

2

1o

f

t t

t

e?

ω

θ

α

ω

θ

θβ+

+

+

=-（16-3）

由此式可见，受迫振动由两部分组成：

①阻尼振动：)

cos(

1

α

ω

θβ+

-t

e

f

t，此阻尼振动经过一定时间后将衰减消失。

②强迫振动：)

cos(

2o

t?

ω

θ+，频率为ω的强迫力矩作用在摆轮上，最后达到稳定状态。摆轮的振幅

2

2

2

2

2

2

4

)

(ω

β

ω

ω

θ

+

-

=

o

m

（16-4）

摆轮的振动与强迫力的相位差

)

(

tan

2

tan

2

2

2

1

2

2

1

T

T

T

T

o

-

=

-

=-

-

π

β

ω

ω

βω

?（16-5）

相位差?取值范围为：π

?<

<

0，反映了摆轮振动滞后于激励源振动。

由式（15-4）和式（15-5）可见，振幅

2

θ与相位差?取决于m、ω、

o

ω和β，与振动的初始状态无关。

由

2

θ的极大值条件0

2=

?

?

ω

θ

可得，当强迫力角频率2

22β

ω

ω-

=

o

时，系统发生共

振，

2

θ有极大值。此时角频率的振幅分别为：

2

22β

ω

ω-

=

o

r

（16-6）

2

2

2β

ω

β

θ

-

=

o

r

m

（16-7）从上两式可见，当阻尼系数0

→

β时，角频率接近系统固有频率

o

ω

ω→，振幅

m

θ随之增

大，它们随频率比

o

ω

ω/变化的曲线称幅频特性曲线和相频特性曲线，如图15-1，图15-2所示。

图16-1 幅频特性曲线图16-2相频特性曲线

[实验仪器]

BG-2型波尔共振仪

[实验内容]

1．测量振幅与固有频率相对应值

将“周期选择”开关置于“1”，“阻尼”开关置于“0”位置，测出振幅与固有周期对应关系，将数据记录于表16-1。此测量记录需要2人配合进行。

2．测定受迫振动的幅频特性和相频特性

阻尼开关置于“2”或“1”处阻尼开关原位置不变，将“周期选择”开关置于“1”，通过改变电机转速调整强迫力频率ω，找到振幅最大位置。在正式测量时再将周期选择开关置于“10”位置，然后利用闪光灯测定受迫振动位相差△?，记下?=90o时电机转速调节旋钮上位置。在靠近?=90o左右各测三点大约△?=10o，离?=90o远些处左右各测两点大约△?=20o。每次改变电机的转速，当受迫振动稳定后，按复位按钮读取摆轮的振幅值，利用闪光灯测定?。将以上测量数据记录表16-2中。

3．测定阻尼系数β

①阻尼开关原位置不变，指针“F”置于0o位置，“摆轮、强迫力”开关置“摆轮”位置，“周期选择”开关置“10”位置。

②逆时针拨动摆轮大约150o，使振幅在130o~150o之间，按一下复位按钮，放掉摆轮，从振

幅显示窗读出摆轮的振幅数值：

n

θ

θ

θΛ

1

,；从周期显示窗读出阻尼振动周期：10T，分别记录于表15-3。利用公式：

n

o

nT

t

o

t

o T

n

e

e

θ

θ

β

θ

θ

β

β

ln

ln

)

(

=

=

+

-

-

（16-8）求出β，式中n为阻尼振动周期次数，nθ为第n次振动振幅，T为阻尼振动周期的平均值。

[注意事项]

１．实验前电器控制箱先预热10～15分钟，为避免剩磁影响，阻尼开关不要随便拨动；否

则由于电磁铁剩磁引起β值变化。若要改变阻尼开关位置，只有在某一阻尼系数β的所有

实验数据测试完毕后，才可以拨动此开关。

2．测量受迫振动相频特性时，接通闪光灯开关，读数测取后随即关闭开关。在共振点附近调节ω时，勿使振幅过大（<220o）,以免损坏波尔共振仪。

3. 实验中先观察振幅与周期，再将周期开关置于10位置，周期旋钮调到适当位置，相位差约80o～100o之间，使周期显示重复3次尾数不超过5时开始测量。每次调节强迫力周期旋钮指示值变化约0.2，例5. 2→5. 4，小于60o大于110o，可变化1～1.5左右。可先测90o～150o，再测90o～30o，反之亦可。

4．将几种阻尼状态下的幅频特性曲线和相频特性曲线绘制在同一张坐标纸上，以便进行比较。

5．测定阻尼系数β必须关掉电机，且必须在完成上述内容后进行。将角度指针放在0o处，用手扳动摆轮使振幅约140o，此时连续记录振幅值10次，及10个周期值，重复2～3次。

[数据处理]

1．测量振幅与固有频率相对应值

表16-１振幅与固有周期、固有频率相对应关系

ω(/秒)

振幅(度) T0(秒) 0

2．画出幅频特性曲线和相频特性曲线。

表16-2 幅频特性曲线和相频特性记录表

3．阻尼系数β的计算。将有关测量数据记录，再利用公式16-7，用逐差法处理，求出β值。

表16-3 阻尼系数β测量数据记录表

阻尼开关位置：__________ 10T=______________ 振幅(度) 振幅(度) 5

ln +i i θθ 0θ

5θ 1θ

6θ 2θ

7θ 3θ

8θ 4θ 9θ

/ /

/ / 平均值：

４．误差分析

①对本实验结果影响较大的误差，主要来自阻尼系数β的测定和固有频率o ω的确定。弹簧的倔强系数k 理论计算认为是一个常数，但实际上由于材料性能和制造工艺的影响，k 值随着角度改变而略有微小变化，故在不同振幅时系统的固有频率o ω有变化。若o ω取平均值，则在共振点附近，相位差的理论值与实验值相差很大。但可以测出振幅与固有频率o ω的相应数值，将对应于某个振幅o T 代入公式（15-5）： )(tan 2

221o o T T T

T -=-πβ?，这样可以使系

数误差减少。

②振幅的误差经几次熟练读数后，可减少到0.2～0.3小格。

③本仪器采用准确度极高的石英晶体作为计时器，故测量周期的误差可以忽略不计。

[思考题]

1．如何判断受迫振动已处于稳定状态？

2．为什么实验时当选定阻尼电流后，要求阻尼系数和幅频特性、相频特性的测定一起完成？而不能先测定不同电流时的β值，然后再测定相应阻尼电流时的幅频特性与相频特性？

3．本实验为减少系统误差采取了什么措施？

4．实验中采用什么方法来改变阻尼力矩的大小？它利用了什么原理？

5．在整个实验过程中为什么阻尼开关位置一旦选定就不能变动？

[附录] BG-2型波尔共振仪使用介绍

本实验仪器采用BG-2型波尔共振仪，波尔共振仪是专门研究振动的仪器，由两大部分组成：振动仪与电器控制箱，如图16-3、图16-4。

图16-3振动仪

图16-4电器控制箱

振动系统由铜质圆形摆轮A与弹簧B构成，弹簧的一端固定在机架支柱上，另一端与摆轮轴相联，在弹簧弹性力作用下，摆轮可绕轴自由往复振动。摆轮边沿有一圈周期为2o的槽形缺口，光电门H通过测定缺口移动的个数来记录振动的幅度，其中有一长缺口C作为平衡位置的标志。该缺口标志即可作为测摆轮振动周期的参数点，也可作为控制闪光灯开关以测量受迫振动与外激励之间的相位差参考点。外激励是由转速十分稳定的可调电机的偏心轴通过连杆E和摆杆M加到振动系统上。当电机匀速转动时，可看作是一种简谐激励。若改变电机转速，就相当于改变激励的周期。与电机一同转动的有机玻璃转盘F上标有0位标志线，该标志线指示电机位置。实验时当摆轮的长缺口C通过平衡位置时，闪光灯点亮，照亮有机玻璃盘的0位标志线。此时0位标志线指示的角度就是外激励超前摆轮振动的角度，也即是摆轮滞后于外激励的角度。长缺口每次通过光电门H时，闪光灯都要闪亮，因此每周期闪亮2次。在稳定情况下，在闪光灯照射下可以看到有机玻璃指针F好象一直停在某一位置处，这一现象称为频闪现象，其数值可以方便地直接读出，一般误差不大于2o，摆轮振幅是一种用光电门H测出摆轮读数A处圆上凹型缺口的个数，并由数字显示装置直接显示出此值，其精度为2o。电磁阻尼由阻尼线圈K产生，调节线圈电流可以改变电磁铁气隙中磁场，以达到改变阻尼力矩的作用。本仪器用直流励磁，因材料中的剩磁或磁滞现象使阻尼状态与旋钮位置不呈单值对应关系，故在做某一阻尼状态的实验测量过程中不要随意变更阻尼状态。角度读数盘G上方处也装有光电门，与控制电路相连接，可以用来测量强迫力矩的周期。

BG波尔共振仪电气控制器的面板左边是振幅显示窗，显示三位数字的摆轮振幅；

-

2

10-。“摆轮、强迫力”和“周期选择”右边时间显示窗，显示5位数字振动周期，精度为s3

开关，分别用来测量摆轮强迫力矩的1次或者10次周期所需的时间。

电机转速调节旋钮用来改变强迫力周期，它是通过精确改变电机转速来达到,其精度仅供参考。

阻尼选择开关用来改变阻尼线圈直流电位的大小，实验时选何档量程位置根据实际情况而定，“5”阻尼最大，“0”最小，一般避免置于“0”位置。

闪光灯开关用来控制闪光灯开与关，当揿下开关，摆轮长缺口通过平衡位置时将点燃闪光灯。当出现频闪现象时，从相位差读数盘上可见到刻度线似乎停止不动，从而可读出相位差。（注意实验观察时有机玻璃F上的刻度线在匀速转动。）

电机开关用来控制电机转动，当测量阻尼系数和摆轮固有频率ω与振幅关系时，电机开关处于断状态。

实验时，2-BG 波尔共振仪与电气控制箱、闪光灯等之间的连接有多种专用电缆线相连接，使接线正确可靠。

复位按钮仅当周期选择开关置于10时起作用，在单次周期测量时会自动复位。