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有关切线的几种常见的证明方法与计算
一、与等腰三角形、平形线的性质有关
1. 已知：如图 7，在△ ABC 中，∠ BAC =120°， AB =AC ， BC =4 3 ，以 A 为圆心， 2 为半径作⊙ A ，试问：直线 BC 与⊙ A 的关系如何？并证明你的结论 .
C
A
O B D
2．如图，点
D 在 ⊙O 的直径 AB 的延长线上，点
C 在 ⊙O 上，
AC CD
，
，
D 30°
求证： CD 是 ⊙O 的切线；
C
A
D
O
B
3．已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ．
求证： DE 是⊙ O 的切线．
C
D
E
B
O
A
4．已知：如图，△ ABC 中， AC =BC ，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于 E 点，直线 EF ⊥AC 于 F ． 求证： EF 与⊙ O 相切．
5. 已知：如图， AB 为 ⊙O
的直径， AB AC ， BC 交 ⊙O
于点 D ， AC 交 ⊙O
于点 E ， BAC
45°
．
（ 1）求
EBC 的度数；（ 2）求证： BD CD ．
6．已知：如图，PA切⊙ O于 A 点， PO∥ AC， BC是⊙ O的直径．请问：直线PB是否与⊙ O相切?说明你的
理由．
二、与等弧、垂径定理有关
7.如图， AB是⊙ O的的直径， BC AB于点 B，连接 OC交⊙ O于点 E，弦 AD （1）求证：点
⌒
E 是BD的中点；（ 2）求证： CD是⊙ O的切线；
8. （ 2010 年浙江杭州）已知：如图，AB是⊙ O的直径，点 C、D为圆上两点，且弧⌒⌒
CB
＝
CD
弧
CD， CF⊥ AB于点 F， CE⊥AD的延长线于点 E．求证： DE＝ BF； E
D C
A B
O F
9．如图， BC为⊙ O的直径， AD⊥BC，垂足为
⌒⌒， BF和 AD相交于
E．
D．AB
=
AF
证明： AE=BE．
F
A
E
B
D O C
10. 已知：如图，在Rt △ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点 O为圆心， OB的长为半径的圆与AB交于点
E，与 AC切于点 D．
（ 1）求证： BC＝ CD；（ 2）求证：∠A DE＝∠ ABD；
三、与半圆或直径有关
11．已知：如图，Rt △ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交 AB于 F， E是 BC的中点．求证：直线EF是半圆 O的切线．
1 BC. EF 是△ABC的中位线，
以EF 为直径作半圆O，12．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D点， AD
2
试确定 BC与半圆 O的位置关系，并证明你的结论．
四、与平面直角坐标有关
13．已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（ 1， 0）、 B（ 5， 0）两点，点O1的纵坐标为．求⊙O1的半径．
五、与动点有关
14.如图，△ ABC中，∠ C＝90°， AC＝8cm，AB＝10cm，点 P 由点 C出发以每秒2cm的速度沿 CA向点 A 运动（不运动至A点），⊙ O的圆心在 BP上，且⊙ O分别与 AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙ O的半
径 .
15. 在矩形 ABCD中， AB=20cm，BC=4cm,点 P 从点 A 开始沿折线A-B-C-D 以 4cm/s 的速度移动，点Q从 C 开始沿 CD以 1cm/s 的速度移动，如果P、Q分别从 A、 C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随
之停止运动，设运动时间为t(s)
(1)如图（ 1）何时四边形 APQD为矩形？
(2)如图（ 2）如果⊙ P 与⊙ Q的半径都为 2cm，何时⊙ P 与⊙ Q外切？
A C
B
D
图（ 1）
C
A ·
Q
B · D
P
图（ 2）
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线
如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切. 练习4 如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB 、AD 分别相交于点E 、F. 求证：CD 与⊙O 相切. 练习5 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线; （2）求线段AC 的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上， AC=, ∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示) 3
有关切线的几种常见的证明方法
有关切线的几种常见的证明方法与计算 一、与等腰三角形、平形线的性质有关 1.已知：如图7，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何并证明你的结论. A B C D O 2．如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， 求证：CD 是O ⊙的切线； 3．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为 直径的⊙O 交BC 于点D AC 于点E ． 求证：DE 是⊙O O B
4．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切． 5. 已知：如图，AB为O⊙的直径，AB AC BC =，交O⊙于 点D，AC交O⊙于点45 ，°． E BAC ∠= （1）求EBC =． ∠的度数；（2）求证：BD CD 6．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙
O 相切说明你的理由． 二、与等弧、垂径定理有关 7.如图，AB 是⊙O 的的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥（1）求证：点E 是 ⌒ BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线； 8.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧⌒ CB ＝ ⌒ CD 弧 CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．求 证：DE ＝BF ； A O F E D
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB 交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切. 练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长.
23、（本题满分7分）（2014-2015学年（上）厦门市数学九年级质量检测） 如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点。 若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。 23．（本题满分7分）（2015—2016学年(上)厦门市九年级质量检测） 如图7，在□ABCD 中，∠ABC ＝70°，半径为r 的⊙O 经过点A ，B ，D ，︵AD 的长是πr 2 ，延长CB 至点P ，使得PB ＝AB ．判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 图7B O B A C 图8D
(完整版)圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． O A E B C D
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
中考专题解析—切线证明
专题解析——切线证明 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 图1
【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线． 图2 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可． 证明：连接OD． ∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC． ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o． ∴DC是⊙O的切线． 【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB． 图3
圆证明切线的练习题
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法 类型1、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 1.如图，⊙O的直径AB =12，点P 是AB 延长线上一点，且PB =4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线. 方法2、特殊角计算法证垂直 2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B =60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC. （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若PD=5，求⊙O的直径. 方法3、等角代换法证垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°， 点B是︵ AC的中点. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CF=OC； (3)若⊙O的半径是6，求DC的长. A B P O C A C B P D O A E B D O C A O F E C D B
方法5、全等三角形法证垂直 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF . 求证：BF 是⊙O 的切线. 类型2、无公共点：作垂直，证半径 方法6、角平分线性质法证半径 6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线； (2)求线段AC 的长. 方法7、全等三角形法证半径 7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切. A O B C D F A B C D E A O B C D
证明圆的切线的两种常用方法教案
证明圆的切线的两种常用方法 一、教学目的要求： 1.知识目的： （1）掌握切线的判定定理. （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. ２.能力目的： （1）培养学生动手操作能力. （2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的： 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。 二、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理. 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法. 三、教学过程： （一）复习引入 回答下列问题：（口述） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直
线是不是一个圆的切线？ ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （要求学生举手回答，教师用教具演示） （二）新课讲解 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 方法一、连接半径，证明垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。求证：DE为⊙O的切线。 证明：连结OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∵DE⊥AC ∴∠C+∠CDE=90° ∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。 例2 如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC 于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。 证明：取AE的中点F，连结FD。 ∵AB为直径， ∴AD⊥BD ∵FD=FE(=FA) ∴∠FED=∠FDE ∵∠CDE=∠BDO=∠B ∠FEB+∠B=90° ∴∠FDE+∠CDE=90° 即FD⊥CD ∴CD是△ADE的外接圆的切线。 方法二、作垂线，证明半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD ⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L，
圆切线证明的方法
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3
(完整版)证明圆的切线经典例题(最新整理)
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类 型训练 https://www.wendangku.net/doc/653108404.html,work Information Technology Company.2020YEAR
证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C， OC=CP=2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O 的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切. 练习4 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 练习5 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=3,∠ACB=90°,∠ A=30°,若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l 上时，点A所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)
初中数学如何证明圆的切线
如何证明圆的切线 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝ 21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90o． 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径． 【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切． 思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由 角平分线上的点到角两边的距离相等证得． 请同学们写出证明过程． 【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性． 【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点 的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
九年级数学： 证明圆的切线的两种类型习题
小专题证明圆的切线的两种类型 类型1已知直线与圆的交点 【例1】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等. 变式练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 变式练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE 交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 变式练习3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D 作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2未知直线与圆的交点 【例2】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.
【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 变式练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 变式练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长. 参考答案 类型1已知直线与圆的交点 【例1】 法一：连接OD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠BDO=∠B. ∴∠BDO=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切. 法二：连接OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC.∵AB=AC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DM⊥AC，∴∠CAD+∠ADM=90°. ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA. ∴∠ODA+∠ADM=90°.即OD⊥DM， ∴DM是⊙O的切线. 变式练习1(1)
证明切线的两种方法
证明切线的两种方法 朱元生 判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直. 例1 如图1,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于E. 求证:DE 是⊙O 的切线. 分析:由题设可知,DE 与⊙O 有交点D,要证明DE 是⊙O 的切线,只要连接OD,证明OD ⊥DE 即可. 证明:连接OD. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ODB=∠ACB. ∴OD ∥AC. ∴∠ODE=∠DEC. ∵DE ⊥AC, ∴∠DEC=900. ∴∠ODE=900, 即OD ⊥DE . ∴DE 是⊙O 的切线. 二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径. 例2 如图2,在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,以点O 为圆心,6为半径作⊙O. 求证:AB 是⊙O 的切线. 分析:由题设知,⊙O 与直线AB 是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB 是⊙O 的切线,只能证明圆心O 到直线AB 的距离等于圆的半径6即可. 证明:过点O 作OC ⊥AB 于点C. 在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,由勾股定理,得 AB=()()1556532222=+=+OB OA . 根据三角形面积公式,得OB OA OC AB ?=?2 121. ∴OC=615 5653=?=?AB OB OA . ∴点O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径. ∴AB 是⊙O 的切线. [牛刀小试] 如图3,,点O 是等腰三角形ABC 底边BC 的中点,若AB 是⊙O 的切线,试证明AC 也是⊙O 的切线. 提示: 设点D 为AB 与⊙O 的切点,连接OD,过点 O 作OE ⊥ AC 于点 E,证明OE=OD 即可.
专题：《切线的证明技巧》
专题：《切线的证明技巧》 [方法技巧]连半径，证垂直或作垂直，证半径是证明直线是圆的切线的常用方法。 -、有公共点→连半径，证垂直 1、已知△ABC为⊙O的内接三角形，∠BCE=∠BAC，求证：CE是⊙O的切线。 方法点拔：借助角度转换证垂直 2、如图，⊙O的弦AD=4，BD=8，AD⊥BD,C是BD延长线上一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线。 方法点拔：借助角度转换证垂直 C
3、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是⊙O 的切线，切点为A ，OE 平行于弦BC 。求证：CE 是⊙O 的切线。 方法点拔：借助全等证垂直 O E A B C 二、无公共点→作垂直，证半径 方法点拔：借助角平分线性质证d=R 4、如图△ABC 中，CA=CB ，D 为AB 中点，以 D 为圆心的圆与 AC 相切于点E ，求证：BC 与⊙O 相切。 D A B C E
5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD+BC=CD，求证：以AB为直径的圆与CD相切。 D A O B C
[课后练习] 1．（2015?湖北模拟）如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切． 2.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.求证:PB为⊙O的切线; D C O B P E A 3．（2015?武汉校级模拟）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B 是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．求证：PB是⊙O的切线；
圆的切线的两种证明方法
■JIETI JIQIAO YU FANGFA 解题技巧与方法.］；］）圆的切线的两种'明/法 ◎姜'军（甘肃省武威市凉川区黄羊镇九年制学校，甘肃武威733006） !摘要】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线. !关键词】切线；切线判定;证明；分析；点评 在初中九年级数学上册“圆”这一章中，学生们学习了圆的切线，但如何证明一条直线是不是圆的切线，困扰着许多学生，下面笔者就结合自己的教学实践，谈谈圆的切线的两种证明方法. 一、用“圆的切线判定定理”证明 在人教版九年级数学上册第二十四章“圆”中，在“直线与圆的位置关系”这一节，给出了圆的切线判定定理:“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”.我们可以用这条定理来证明一条直线是圆的切线? 例1如图所示/B是＜8的直径,BC是 ?8的切线，切点为B,8C平行于2AD,求证： MC是＜8的切线. 分析此类证明切线的问题，在已知条件 中告诉了直线与圆的交点M如果证明了MC是?8的切线，那么M点就是切点.因此，只需连接8M,因为8M是?8的半径，所以只需证明8M丄MC,就可得出MC是?8的切. 证明连接8M. z AII0C， X4A=4C8B,4AM8=4M8C. 又z8A=8M， X4A=4AM8， X4M8C=4C8B. 又z8M=8B，8C=8C， x△8MC=,8BC（SAS）， X48MC=48BC. 又z BC是?8的切线， X48BC=90°， X48MC=90°, X MC是?8的切线? 二、用“圆的切线定义”证明 直线与圆的位置关系中，我们很容易得到“如果直线到圆心的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线”，这个我们可以作为圆的切线的定义，用来证明一条直线是不是圆的切线. 例2如图所示，在Rt,ABC中，4B= 90°,4A的平分线交BC于点M,以M为圆 心，MB的长为半径画圆. 求证:AC是?M的切线. 分析要证AC是?M的切线，题目中没有告诉AC与?M的交点，因此，不能用圆的切线判定定理来证.我们可以用圆的切线定义来证明，作点M到AC的垂线段MF，垂足为/然后证明与圆的半径BM相等，即可说明AC是?M的切线? 证明过点M作MF-AC，垂足为/ z AM平分4BAM， X4BAM=4MAC, 又z4A BC=4AFM=90°，AM=AM， x,ABM=,AFM（AAS）， X MF=BM， X AC是?M的切线? 点评比较圆的切线的两种证法，当题目已知条件中告诉了“切线”与圆的交点（例1中告诉了交点M），用圆的切判定定理（经半的端且垂于这半的是圆的切），连点圆，连的半垂于这条直线，就可说明这条直线是圆的切线，口诀是“连半径，证垂直”；当直线与圆的公共点不明确时（例2中不知AC与圆的交点），用切线定义（如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条直线是圆的切线）去证，过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，这条直线就是圆的切线,口诀是“作垂直，证相等”? 数学学习与研究2019. 20
切线的性质与证明
学科教师辅导教案 组长审核： 授课主题点与圆、直线与圆的位置关系 教学目的 掌握点与圆、直线与圆的位置关系 掌握证明切线的方法 教学重点证明切线的方法 授课日期及时段2014年11月 29日 15:00---17:00 教学内容 1、垂径定理： 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图,?ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,求BC的长. 2、弧、弦与圆心角的关系定理：______________________________________ 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的。 4、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 O D C B A
5、圆内接四边形 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。圆的确定： 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的圆． 外接圆的圆心是三角形三条边的交点，叫做这个三角形的心． 1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 直线与圆的位置关系： l l (a)(b) 相离 相切 相交 (c) l 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，?这条直线叫做圆的切
证明切线的方法
E D C O B A D C B A O G F E D' A'D C B A 圆心滚动的路径长度 1、如图（1），设大圆的半径为R ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着大圆外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？ 2、如图（2），设正三角形的周长为L ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着正三角形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？如果小圆沿着正n 边形的外边缘作无滑动滚动呢？ 3、如图（3），设多边形的周长为L ，小圆的半径为r 。如果小圆沿着多边形的外边缘作无滑动的滚动，那么当小圆滚动一周回到始发位置时，小圆的圆心经过的路径长度是多少？ (3) (2) (1) 证明切线的方法 证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。 （1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半径，证垂直（比较常用）。 （2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂直，证半径。 例 如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，点O 在线段AB 上，以O 为圆心、 OB 为半径作圆交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于E 。DE 是圆O 的切线吗？ 提示：连接OD 动态几何问题 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，AD 为BC 边上的高，且AD ＝3，将△ACD 沿着箭头所示的方向平移，得到△A ’CD ’，A ’D ’交AB 于E ，A ’C 分别交AB 和AD 于G 、F ，以DD ’为直径作圆O 。设BD ’长为x ，圆O 的面积为y ． （1） 求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（不考虑端点）； （2） 当BD ’的长为多少时，圆O 的面积与△ABD 的面积相等？（ 取3，结果精确到0.1） （3） 连接EF ，求EF 与圆O 相切时BD ’的长．
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.
浅谈切线的两种证明方法
浅谈切线的两种证明方法 在中学学习圆的时候，我们学过切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。但很多学生在教学过程中对此判定不是很理解，并不知道如何使用这条判定定理来证明切线，为此我总结了一套切线证明的方法，供大家参考。 首先，我们对判定定理分解一下，里面共包含了两个条件： １.经过半径的外端 ２.垂直于这条半径 也就是说只要我们同时满足这两个条件就能说明这条线是切线，而在实际证明过程中，往往是通过辅助线先满足其中一个，再证明另外一个也成立。这里分为两种情况： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连接OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直。 例1.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 证明：连结OD.
∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切. 例2.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30°，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线. 证明：连结OC、BC. ∵OA=OC， ∴∠A=∠1=∠30°. ∴∠BOC=∠A+∠1=60°. 又∵OC=OB， ∴△OBC是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD， ∴OB=BC=BD. ∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半 径就行了，简称：“作垂直，证半径”。 例3.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 证明：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足. ∵AB是⊙D的切线， ∴DE⊥AB. ∵DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 又∵BD=CD， ∴△BDE≌△CDF（AAS） ∴DF=DE. ∴F在⊙D上. ∴AC是⊙D的切线. 例4.如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=90°. 求证：CD是⊙O的切线. 证明：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.