石家庄市2018-2019学年第二学期期末考试高二数学
石家庄市2018~2019第二学期期末考试
13．35 14．881 15．6
16．2 17．【解析】（Ⅰ） ()22--='x x x f …………………………2分
当()0f x '>时，1x <-，或2x >；当()0f x '<时，12x -<<．………………………5分 ∴()f x 的单调增区间为(),1-∞-，()2,+∞；单调减区间为()1,2-． …………………6分 （Ⅱ）分析可知()f x 的递增区间是()2,1--，()2,4，递减区间是()1,2-，……………8分
当1x =-时，()213f -=；当4x =时，()2946
f =． ……………………………………10分 由于()()41f f >-，所以当4x =时，()max 296
f x =．…………………………………12分 18．【解析】（Ⅰ）根据表中数据，
计算()
2220084483632360017.7347.8791168412080203
K ??-?==≈>???，……………………………2分 因为()
27.8790.005P K >= ……………………………………3分 所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“修统计专业与性别有关系”．……4分 （Ⅱ）用分层抽样方法在上述80名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名，那么抽到“非统计专业”4名，抽到“统计专业”6名．…………………………………5分
(),152********===C C C P ξ (),158********===C C C P ξ ()3
122102604===C C C P ξ (8)
分
所以ξ的分布列为
(10)
分
()2816012151535
E ξ=?
+?+?=． ..........................................12分 19．【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为()0,+∞ (1)
分 又)0(111)('222>++=++=x x
x ax x a x x f ， ……………………………………4分 依题有(1)0f '=，
解得2a =-． …………………………………6分
（Ⅱ） 当2a =-时，2221121'()2(0)x x f x x x x x
-++=-+=>， …………………7分 令()0f x '=，解得 1x =，12
x =-（舍） …………………8分 当(0,1)x ∈时，0)('>x f ，)(x f 递增，
(1,)x ∈+∞时，0)(' 所以函数)(x f 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减． ……………………………………12分 20．【解析】（Ⅰ）由题意知： ∴450.1550.15650.2750.3x =?+?+?+?850.15950.170.5+?+?=， ∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩x 为70.5分． …………………3分 （Ⅱ）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=， ∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=， ……………………………………4分 而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴10.6826(84.81)0.15872 P z -≥==．……………………………………6分 ∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计为0.158********.8?=人634≈人． (8) 分 （Ⅲ）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率10.15870.8413-=． (9) 分 而(4,0.8413)B ξ:， ……………………………………10分 ∴444 (3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-?10.5010.499=-=． …………………12分 21．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()2ln 2f x x x x =++()()0,x ∈+∞． ∴()ln 21f x x x '=++ ………………………………………1分 ∴()13f '=，又∵()13f = ∴()331y x -=-，即30x y -= ∴函数()f x 在点()() 1,1f 处的切线方程为30x y -=． …………………3分 （Ⅱ）由题意知，函数)(x f 的定义域为()0,+∞，()ln 2f x a x x a '=++ ， 令()'0f x =，可得ln 20a x x a ++=， 当0a =时，方程ln 20a x x a ++=仅有一解，∴0a ≠， ∴()1ln 102x x a x +=>- 令()1ln 2x g x x +=-()0x > 则由题可知直线1y a =与函数()y g x =的图像有两个不同的交点． …………………5分 ∵()2 2ln 4x g x x '= ∴当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 为单调递减函数； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为单调递增函数． 又∵10g e ??= ??? ，()112g =-，且当x →+∞时，()0g x < ∴1102a -<<， ∴2a <- ∴实数a 的取值范围为(),2-∞-． ……………………………………8分 （Ⅲ）∵()ln 2f x a x x a '=++ ∴要证对任意[)1,x ∈+∞，()()2 +21f x x a x '<++恒成立 即证()2 ln 2+21a x x a x a x ++<++成立 即证2 ln 10a x x ax a --+-<成立 设()()2ln 11h x a x x ax a x =--+-≥ ∴()()21a h x x a x x '= --≥ ∵0a >时，易知()h x '在[)1,+∞上为减函数 ∴()()120h x h ''≤=-< ∴()h x 在[)1,+∞上为减函数 ∴()()120h x h ≤=-< ∴2ln 10a x x ax a --+-<成立 即对任意[)1,x ∈+∞，()()2+21f x x a x '<++恒成立． ………………………12分 22．【解析】（Ⅰ）曲线C 的普通方程是22 143x y +=， 直线l 的直角坐标方程为2230x y -+=． ……………………………………４分 （Ⅱ）直线l 经过点11,2P ??- ?? ?，且倾斜角是45? ∴直线l 的参数方程是112x y ?=-????=??（t 是参数） 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t 将直线l 的参数方程代入22143 x y += ，整理得27160t --=， ∴121216 7t t t t ?+=????=-?? ∴由参数t 的几何意义可知：12167 PA PB t t ?==．……………………………………10分 23．【解析】（Ⅰ）解不等式：411<-++x x ???<≥421x x 或???<<≤-4211x 或? ??<--<421x x 21<≤?x 或11<≤-x 或12-<<-x 22<<-?x ， 故}22|{<<-=x x M ……………………………………5分 （Ⅱ）需证明：168)2(42222++<++ab b a b ab a ， 只需证明016442222>+--b a b a ，即需证明22(4)(4)0a b -->. 证明：?<，所以原不等式成立． ……………………………………10分