文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课堂探究学案

高中数学第三章三角恒等变换3.2倍角公式和半角公式3.2.2半角的正弦余弦和正切课堂探究学案

3.2.2 半角的正弦余弦和正切

课堂探究

探究一 利用半角公式化简求值问题

对于化简求值问题要遵循三个“统一”,即统一角,统一函数名称,统一结构形式,另外还要有必要的切化弦、通分、角变换等常用技巧.

【例1】 (1)求值:(tan 5°-cot 5°)2cos 701sin 70?+?

; (2)已知sin 2α-cos 2α=-15,2

π<α<π,求tan 2α的值. 解:(1)原式=1tan 5tan 5?

??-

????2cos 701sin 70?+? =2tan 51tan 5?-?2sin 201cos 20?+? =-2221tan 52tan 5-??2sin 201cos 20?+? =-2cot 10°2tan 10°=-2.

(2)因为2sin cos 22αα??- ??

?=15, 所以1-sin α=15,所以sin α=45

. 又因为2

π<α<π,所以cos α=-35. 所以tan 2

α=1cos sin αα-=31545

??-- ???=2. 探究二 给值求值问题

【例2】 已知tan 2θ=-22,θ∈,42ππ?? ???,求22cos sin 123sin sin 33θθππθθ--????+- ? ?????

的值. 分析:先化简,再求值.

解:原式=cos sin 33cos 224

θθθ-+. 因为θ∈,42ππ?? ???,所以2θ∈,2ππ?? ???

所以cos 2θ=-21

1tan 2θ+=-211(22)+- =-13

. 所以sin θ=1cos 22θ-=1132

??-- ???=63, cos θ=21sin θ+=2613??- ? ???=33, 所以原式=363

33364

--+=4(1-2). 评注sin 3πθ??+ ???sin 3πθ??- ???=2sin cos 3πθ?? ???-2cos sin 3πθ?? ???=34cos 2θ-14sin 2θ=cos 2θ-14=1cos 22θ+-14=12cos 2θ+14

. 探究三 与向量、三角函数有关的综合问题

【例3】 已知a =cos sin ,sin 222x x x ?

?+- ???,b =cos sin ,2cos 222x x x ??- ??

?,设f (x )=a2b . (1)求f (x )的最小正周期;

(2)若x ∈????

??π12,5π6,求f (x )的值域. 解:(1)f (x )=a2b =cos

sin cos sin 2222x x x x ?

???+- ???????+sin 2x ??- ???22cos 2x =cos 22x -sin 22x -sin x =cos x -sin x =2cos cos sin sin 44x x ππ??- ???=2cos 4x π??+ ??

?. 所以f (x )的最小正周期为2π.

(2)因为x ∈5,126ππ???

???,所以x +4π∈13,312ππ??????. 当x +4π=3π时,f max (x )=22

; 当x +

4π=π时,f min (x )=-2. 故f (x )的值域为22,2??????

探究四 易错辨析

易错点:没有分类讨论而漏解

【例4】 在等腰三角形中,已知顶角θ的正弦值为

35,试求该三角形底角的正弦值、余弦值和正切值.

错解:因为sin θ=35,所以cos θ=45

. 设等腰三角形的底角为α,则2α+θ=π,即α=2π-2

θ, 所以sin α=sin 22πθ??- ??

? =cos 2θ=±1cos 2

θ+=±31010, cos α=cos 22πθ??- ???

=sin 2θ=±1cos 2θ-=±1010, 所以tan α=sin αcos α

=±3. 错因分析:错误一是由sin θ=35

求cos θ没有分类讨论;错误二是由cos θ求α的正弦值、余弦值和正切值时没有检验符号.

正解:设等腰三角形的底角为α,则2α+θ=π,

即α=2π-2

θ. 由sin θ=35,得cos θ=±45

. ①当cos θ=

45时, sin α=cos 2θ=1cos 2

θ+=31010, cos α=sin 2θ=1cos 2

θ-=1010. 所以tan α=

sin cos αα=3. ②当cos θ=-45

时, sin α=cos 2θ=1cos 2θ+=1010,