2014年考研数三真题和解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）2

3

()()x o x o x ?=

（B ）23

()()()o x o x o x ?= （C ）2

2

2

()()()o x o x o x += （D ）2

2

()()()o x o x o x +=

（2）函数||1()(1)ln ||

x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

（3）设k D 是圆域2

2

{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()k

k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =，

则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I >

（4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1

11

,(1)

n n n n n a a a ∞

-+=>-∑则

收敛

（B ）1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑若

收敛，则1n n a a +>

（C ）1

n

n a

∞

=∑若

收敛，则存在常数1P >,使lim P

n n n a →∞

存在

（D ）若存在常数1P >，使lim P

n n n a →∞

存在，则

1

n

n a

∞

=∑收敛

（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价

（6）矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ?

? ???

相似的充分必要条件为

（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2=

（7）设123X X X ，，是随机变量，且22

123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,

{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）

（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>

（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，

则{2}P X Y +== ( )

（A ）

112 （B ）18

（C ）16

（D ）12

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2

在点)1,0(处有公共的切线，则=??

?

??+∞

→2lim n n nf n ________。 （10）设函数),(y x z z =由方程xy y z x

=+)(确定，则

=??)

2,1(x

z

________。

（11）求

dx x x

?

+∞

+1

2

)1(ln ________。

（12）微分方程04

1

=+

'-''y y y 通解为=y ________。 （13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

（14）设随机变量X 服从标准正态分布~N(0,1)X ,则2()X

E Xe

= ________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1cos cos2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

（16）（本题满分10分）

设D 是由曲线1

3

y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2D

x dxdy ??。 （18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000

Q

P =-，（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P 。 （19）（本题满分10分）

设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞

==且，证明

（1）存在0a >，使得()1f a =

（2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1

'().f a

ξ= （20）（本题满分11分） 设101,101a A B b ????

==

? ?????

，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。 （21）（本题满分11分）

设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????

? ?

== ? ? ? ?????

。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T

T

ααββ+；

（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22

122y y +。

（22）（本题满分11分）

设(),X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为()23,01,0,

.X x x f x ?<<=??其他，在给定()01X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度()2

33,0,

0,.Y X

y y x f y x x ?<

其他

（1） 求(),X Y 的概率密度(),f x y ； （2） Y 的边缘概率密度()Y f y . （23）（本题满分11分）

设总体X 的概率密度为()23,0,

0,.x e x f x x θ

θ-?>?=???

其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体

X 的简单随机样本.

（1）求θ的矩估计量；

（2）求θ的最大似然估计量.

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）2

3

()()x o x o x ?=

（B ）23

()()()o x o x o x ?= （C ）2

2

2

()()()o x o x o x += （D ）2

2

()()()o x o x o x += 【答案】D

【解析】2()()()o x o x o x +=，故D 错误。

（2）函数||1()(1)ln ||

x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C

【解析】由题意可知()f x 的间断点为0,1±。又

ln x 0x 0x 0x 011ln lim ()lim lim lim 1(1)ln (1)ln (1)ln x x x x e x x

f x x x x x x x x x x ++++→→→→--====+++ ln()x 0x 0x 0x 0()11ln()lim ()lim lim lim 1(1)ln()(1)ln()(1)ln()x x x x e x x f x x x x x x x x x x -+++-→→→→----====+-+-+- ln x 1x 1x 1x 111ln 1lim ()lim lim lim (1)ln (1)ln (1)ln 2

x x x x e x x f x x x x x x x x x x →→→→--====+++ ln()x 1x 1x 1x 1()11ln()lim ()lim lim lim (1)ln()(1)ln()(1)ln()

x x x x e x x f x x x x x x x x x x -→-→-→-→-----====∞+-+-+- 故()f x 的可去间断点有2个。

（3）设k D 是圆域22

{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()k

k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =，

则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】B

【解析】令cos ,sin x r y r θθ==，则有 1

1

()

(s i n c o s )(c o s s i n )

3

k

k D I y x d x d y r d r r r d β

β

α

α

θθθθθ=

-=-

=-

+???

? 故当2k =时，,2

π

αβπ=

=，此时有22

0.3

I =

>故正确答案选B 。 （4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1

11

,(1)

n n n n n a a a ∞

-+=>-∑则

收敛

（B ）1

1(1)

n n n a ∞

-=-∑若

收敛，则1n n a a +>

（C ）1

n

n a

∞

=∑若

收敛，则存在常数1P >,使lim P

n n n a →∞

存在

（D ）若存在常数1P >，使lim P

n n n a →∞

存在，则

1

n

n a

∞

=∑收敛

【答案】D

【解析】根据正项级数的比较判别法，当1P >时，11p n n

∞

=∑收敛，且lim P

n n n a →∞

存在，则1n n a ∞=∑与11p n n ∞

=∑同

敛散，故

1

n

n a

∞

=∑收敛.

（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且C 可逆，则（ ）

（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价

（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）

【解析】由AB C =可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有1

-=CB A ，从而

A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（

B ）。

（6）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??

?

? ?

?

?相似的充分必要条件为

（A ）0,2a b == （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2= 【答案】(B)

【解析】由于1111a a b a a ?? ? ? ???为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??

?

? ?

??相似的

充分必要条件为1111a a b a a ??

?

? ???

的特征值为0,,2b 。

又21

1

[()(2)2]1

1

a E A a

b

a b a a

λλλλλλλ----=---=------，从而为任意常数b a ,0=。

（7）设123X X X ，，是随机变量，且22

123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,

{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）

（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> 【答案】（A ）

【解析】由()()()221

2

30,1,0,2,5,3X N X N X N 知，

{}{}()111222221p P X P X =-≤≤=≤=Φ-，

{}{}()222222211p P X P X =-≤≤=≤=Φ-，故12p p >.

由根据()23

5,3X N 及概率密度的对称性知，123p p p >>，故选（A ）

（8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为，

则{2}P X Y +== ( )

（A ）112 （B ）18

（C ）16

（D ）12

【答案】（C ）

【解析】{}{}{}{}21,12,03,1P X Y P X Y P X Y P X Y +====+==+==-，又根据题意,X Y 独立，故

{}{}{}{}{}{}{}1

21120316

P X Y P X P Y P X P Y P X P Y +====+==+==-=，选（C ）.

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设曲线)(x f y =和x x y -=2

在点)1,0(处有公共的切线，则=??

?

??+∞

→2lim n n nf n ________。 【答案】2-

【解析】2

y x x =-在(1,0)处的导数是'(1)1y =，故'(1)1,(1)0f f ==，

2

(1)(1)

22lim ()lim '(1)(2)22222

n n f f n n n nf f n n n →∞→∞-

-??+=?-=?-=- ?++??-

+ （10）设函数),(y x z z =由方程xy y z x

=+)(确定，则=??)2,1(x

z ________。

【答案】22ln 2- 【解析】原式为ln()

,x z y e

xy +=左右两边求导得：[ln()],1,2x

z xy z y x y x y z y

++?

===+令 得0,2(1ln 2)x z z ==- （11）求

dx x x

?

+∞

+1

2

)

1(ln ________。 【答案】2ln 【解析】

2ln 1ln 1ln ln ()++ln (1)11(1)11x x x x

dx xd dx x x x x x x x

=-=-=-++++++??? 21

1ln ln ln lim +ln +ln ln 2(1)1111x x x x x x x dx x x

x x x +∞

→+∞=????=---= ? ?+++++?????

（12）微分方程04

1

=+'-''y y y 通解为=y ________。 【答案】()212

1C x C e

x +

【解析】特征方程为2

11

0,()42

λλλ-+==二重根，所以通解为()1212x y e C x C =+

（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

【答案】1-

【解析】

0ij ij a A +=由可知，*T A A =-

1122331122333

3

2

21

1

i i i i i i j j j j j j

ij ij j i A a A a A a A a A a A a A a a ===++=++=-=-<∑∑

2

*,=-1.

T A A A A A ==-=-从而有故 （14）设随机变量X 服从标准正态分布~N(0,1)X ,则2()X

E Xe = ________。 【答案】2

2e 【解析】由()0,1X

N 及随机变量函数的期望公式知

(

)()2

21

2422222

2x x X

x

E Xe

xe

dx xe

dx e ??+∞

+∞

----????-∞

-∞

===?

.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当0x →时，1cos cos2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

【解析】因为当0x →时，1cos cos2cos3x x x -??与n

ax 为等价无穷小

所以01cos cos 2cos3lim

1n x x x x

ax

→-??= 又因为：

1cos cos 2cos31cos cos cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos31cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)

x x x

x x x x x x x x x x x x x x x -??=-+-?+?-??=-+-+?- 即001cos cos 2cos31cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)

lim

lim n n x x x x x x x x x x x ax ax

→→-??-+-+?-= 022222201cos cos (1cos 2)cos cos 2(1cos3)

lim()111

()(2)()(3)()

222lim()n n n x n n n x x x x x x x ax ax ax

x o x x o x x o x ax ax ax

→→--?-=+++++=++ 所以2n = 且

149

17222a a a a

++=?= （16）（本题满分10分）

设D 是由曲线13

y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 【解析】由题意可得：

15

2

330

3()5

a

x V x dx a ππ==?

17

3

30

627

a

y V x x dx a ππ=?=?

因为：10y x V V =

所以75

3363

1075

a a a ππ=??=（17）（本题满分10分）

设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2D

x dxdy ??。 【解析】

1

2

222

D

D D x dxdy x dxdy x dxdy =+?????? 2

368220

2

3

3

x x

x x x dx dy x dx dy -=+????

4163

=

（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000

Q

P =-，（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P 。

【解析】（I ）设利润为l ，则2

(206000)4060001000

Q l PQ Q Q =-+=-

- 边际利润'40500

Q

l =-

（II ）当50P =时，边际利润为20，

经济意义为：当50P =时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令'0,20000l Q ==得，此时60401000

Q

P =-= （19）（本题满分10分）

设函数()f x 在[0,]+∞上可导，(0)0lim ()2x f f x →+∞

==且，证明

（1）存在0a >，使得()1f a =

（2）对（1）中的a ，存在(0,),a ξ∈使得1'().f a

ξ=

【答案】（I ）证明：3lim ()2,,()2

x f x X x X f x →+∞

=∴?>>

当时，有， ()[0,]f x X 在上连续，根据连续函数介值定理，存在[]0,()1a X f a ∈=，使得

（II ）()f x 在[0,]a 上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

()(0)'()1,(0,)f a f f a a ξξ-==∈，

故1

(0,)'()a f a

ξξ?∈=，使得 （20）（本题满分11分）

设101,101a A B b ????

==

? ?????

，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。

【解析】

由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1

23

4x x C x x ??

=

???

，则由AC CA B -=可得线性方程组： 23124

13423011x ax ax x ax x x x x ax b -+=??-++=??--=??-=? （1）

1001011

110111101101010110111

01000100010010010101110101000010

0001a a a a a

a a a a a

b a b a b a a a b a -----?????? ?

? ?---+ ? ? ?→→ ? ? ?---- ?

? ?---??????

--??

?

-+ ?→ ?

+ ?

--??

由于方程组（1）有解，故有10,10a b a +=--=，即1,0,a b =-=从而有

010

010111101011001011100000010

00000a a a a b ---????

? ?- ? ?→ ? ?--

? ?-????，故有11221123142

1

,.x k k x k k k x k x k =++??=-??=??=?其中、任意

从而有121121k k k C k k ++-??=

???

（21）（本题满分11分）

设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????

? ?

== ? ? ? ?????

。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T

T

ααββ+；

（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22

122y y +。

【答案】(1)

222222222

11122233312

1212

131313232323(2)(2)(2)(42)(4)(42)f a b x a b x a b x a a b b x x a a b b x x a a b b

x x =+++++++++++

22

22

111212

1313112

131121322221212

22232312

22312

223222213132323

331323

3

13

23322222222222T T

a b a a b b a a b b a a a a a b b b b b f a a b b a b a a b b a a a a a b b b b b a a b b a a b b a b a a a a a b b b b b ααββ??????

+++

?

? ?

+++=+ ? ? ? ? ? ?+++???

???

=+则的矩阵为（2）,2,T

T

T

T

T

T

A A ααββααααββααβααβββββ+=+==+=令A=2则22，则1,2均为A 的特

征值，又由于()(2)()()2T

T

T

T

r A r r r ααββααββ=+≤+=，故0为A 的特征值，则三阶矩阵A 的特

征值为2,1,0，故f 在正交变换下的标准形为22

122y y +

（22）（本题满分11分）

设(),X Y 是二维随机变量，X 的边缘概率密度为()23,01,0,

.X x x f x ?<<=??其他，在给定()01X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度()2

33,0,

0,.Y X

y y x f y x x ?<

其他

（3） 求(),X Y 的概率密度(),f x y ； （4） Y 的边缘概率密度()Y f y .

【答案】（1）()()()2

9,01,0,,0,.X Y X y x y x f x y f y x f x x ?<<<

==???

其他

（2）()()29ln ,01,

,0,.Y y y y f y f x y dx +∞

-∞

?-<<=

=?

?

?

其他 （23）（本题满分11分）

设总体X 的概率密度为()23,0,

0,.x e x f x x θ

θ-?>?=???

其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体

X 的简单随机样本.

（1）求θ的矩估计量；

（2）求θ的最大似然估计量. 【答案】(1)2

30

0()()x

x EX xf x dx x

e dx e d x x

θ

θ

θθ

θθ-

-

+∞

+∞

+∞-∞

=

==-=?

?

?，令E X X =，故θ矩估计量为X .

(2)2233111

100()(;)00

i

i

n n x

x n n

i i i i i i

i i e x e x L f x x x θ

θ

θθθθ--===??>>??=

==????

??∏∏∏

其他其他

当0i x >时，

1

1

1ln ()2ln 3ln n n

i i i i

L n x x θθθ===--∑∑

令

1ln ()21

0n i i

d L n d x θθθ==-=∑， 得121n i i n x θ==∑，所以得θ极大似然估计量θΛ=121n i i

n x =∑.