正余弦定理题型总结(全)
平面向量题型归纳（全）
题型一：共线定理应用
例一：平面向量→
→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→
→b a ,方向相 同 B. →
→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在
,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→
→b a λλλλ
变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→
→b a //”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
变式二：设→
→b a ,是两个非零向量（ ）
A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a
B. 若→→⊥b a ，则→
→→→=+b a b a _ C. 若→
→→→
=+b a b a _，则存在实数λ，使得
→→
=a b λ D 若存在实数λ，使得→
→=a b λ，则
→
→→→
=+b
a b a _
例二：设两个非零向量→
→
21e e 与，不共线，
（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e e e e e ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→
→
21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→
→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用
例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ）
A. +=
B. +=
C. +=
D. ++=
变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（ ）A. A =
变式二：在平行四边形ABCD 中=，=，3=,M 为BC 的中点，则= ( 用,表示)
例二：在三角形ABC 中，=，=,若点D 满足2=,则=( )
A. ,3132+
B. ,3235-
C. ,3132-
D. ,3
231+
变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，
b CA =21==,则=CD ( )
A. ,3231+
B. ,3132b a +
C. ,54
53+ D. ,5
354b a +
变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则
++,与( )
A.反向平行
B. 同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=
变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,=,=则=( )A.
,2141+ B. ,3132+ C. ,4121+ D. ,3
2
31+
题型三：三点共线定理及其应用
例一：点P 在AB 上，求证：μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）
变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若
,m =,n =则m+n=
例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则= A. ,5452- B. ,5452+ C. ,5452+- D. ,5
4
52--
题型四： 向量与三角形四心 一、 内心
例一：O 是?ABC 所在平面内一定点，动点P
满足），【∞+∈+
+=0λλ，则点P
的轨迹一定通过?ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
变式一：已知非零向量与
满足0=?+
AC AB
，且
2
1
=
?
AC AB ，则?ABC 为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
变式二：?=?+?+?P 为?ABC 的内心
二、重心
例一：O 是?ABC 内一点，=++，则为?ABC 的（ ）A.外心B.内心C .重心 D.垂心
变式一：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，证明：?++=)(3
1
O 为?ABC 的重心
变式二：在?ABC 中，G 为平面上任意一点，若?+=)(3
1
AC AB AO O 为?ABC 的重心
三垂心：
例一：求证：在?ABC 中，??=?=? O 为?ABC 的垂心
变式一：O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满
足
,R ∈+
+=λλ则点P 的轨迹一定通过?ABC 的（ ）
A.外心
B.内心
C.重心 D .垂心
四外心
例一：若O 是?ABC 的外心，H 是?ABC 的垂心，则OH ++=
变式一：已知点O ，N ，P 在?ABC 所在平面内，
且
==++=，
题型五：向量的坐标运算
例一：已知A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且CB CN CA CM 2,3==,试求点M,N 和的坐标。
变式一：已知平面向量
向量),2
3
,21(),1,3(=-=,3（-+=t ,t k +-=其中t 和k 为不同时为零的实数，（1）若⊥，求此时k 和t 满足的函数关系式k=f(t);(2)若//，求此时k 和t
满足的函数关系式k=g(t).
变式二：平面内给定3个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==，回答下列问题。（1）求23-+；（2）
求满足
c
n b m a +=的实数
m,n;(3)若
)
2//()(a b c k a -+，求实数k ；（4）设
)//()(),(y x +-=满足且1=-，求。
题型六：向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示
例一：已知两个向量)2,3(),21(-==，,当实数k 取何值时，向量b a k 2+与b a 42-平行？
变式一：设向量a,b 满足|a|=52，b=（2,1），且a 与b 反向，则a 坐标为_________
例二：已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===→
→
→
且A,B,C 三点共线，则k=（ ） A:23 B:32 C:32- D:2
3
-
变式一：已知),3
1,(cos ),sin 23
(αα==b a ，且a//b ，则锐角α为__________
变式二：△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c 设向量),,(),,(a c a b q b c a p --=+=若q p //，则∠C 的大小为（ ） A:
6π B:3π C:2
π
D:32π
题型七：平面向量的数量积
例一：（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =4，则=?→
→AC AB （ ）A ：-16 B:-8 C:8 D:16
（2）(高)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则→→?CB DE 的值为______；→
→?CB DE 的最大值为_______ （3）在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =1，点P 在AM 上满足→
→
=PM AP 2，则)(→
→
→
+?PC PB PA 等于（ ） 4444
变式一：(高) 如图所示，平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP =3，则→
→?AC AP =_______
变式二：在△ABC 中，AB=1，BC=2，AC=3，若O 为△ABC 的重心，则→
→?AC AO 的值为________
例二：(高)在矩形ABCD 中，AB=2,BC=2,点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=?,则?的值
是
变式一：(高)在△ABC 中，0
90=∠A ,1=AB ,AC=2.设点P,Q 满足R ∈-==λλλ,)1(,,若
2-=?,则λ=（ ）A:31 B:32 C:3
4
D:2
例三：已知向量c b a ,,满足,221====++c b a 则=?+?+?a c c b b a
变式一：在△ABC ,643===AC BC AB 则=?+?+?AB CA CA BC BC AB
变式二：已知向量,,满足,21,0==⊥=++b a b a c b a 且=c
变式三：已知向量,,满足,1,,),0=⊥⊥-=++a b a c b a c b a 若且（[[
=++2
c a
题型八：平面向量的夹角
例一：已知向量),0,2(),3,1(-==则b a 与的夹角是
例二：已知,是非零向量且满足,)2(,)2⊥-⊥-（则与的夹角是
变式一：已知向量,,,,,21b a ⊥+===则与的夹角是
变式二：已知b a ,b a b a -==则+与的夹角是
变式三：若向量不共线，,(,0b
a ?-=≠?且则与的夹角是
变式四：(高) 若向量βα与,11≤=且以向量βα与为邻边的平行四边形的面积为０.５，则βα与的夹角的取值范围是
例二：1,2==，与的夹角为045，求使向量b a λ+与b a +λ的夹角为锐角的λ的取值范围。
变式一：设两个向量21,e e 12==，21e e 与的夹角为3
π
，若向量2172e te +与21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的范围。
变式二：已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列4个命题：
);3
2,
0[11πθ∈?>+p ];,3
2(
12ππθ∈?>+p );
3
,0[1:3π
θ∈?>-p
];,3
(14ππ
θ∈?>-p 其中的真命题是（ ）A. 41,p p B. 31,p p C. 32,p p D. 42,p p
题型九：平面向量的模长
例一：5==，向量与的夹角为3
π
+-。
变式一：已知向量b a 与221=-==+=
变式二：已知向量b a 与,21==b a 与的夹角为3
π
-=
变式三：在△ABC ,60,430
=∠==ABC .
例二：已知向量与的夹角为3
2π
,133=+==
变式一：(高) 已知向量与的夹角为4
π
,102,1===
变式二：设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，162
=+-=
变式三：已知向量)2,1(),4,2(-==，若,)(?-=则[[
=
例三：已知向量),(,βααβα≠≠1=，且αβα与0
120-的取值范围是
[[
变式二：(高)已知直角梯形ABCD 中，AD//BC, 0
90=∠ADC ,AD=2，BC=1，P 是腰DC 上的 +的
最小值为
题型十：平面向量在三角函数中的应用
例一：在△ABC 中，A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，已知向量)cos 1,(sin ),sin 2,1(A A n A m +==，且满足
a c
b n m 3,//=+
（1）求A 的大小 （2）求)6
sin(π
+B 的值
变式一：已知变量)3
cos 3,3(sin ),3
cos ,3
(cos x
x n x x m ==，函数n m x f ?=)( （1）求f(x)解析式
（2）求f(x)的单调递增区间
（3）如果△ABC 的三边a,b,c 满足ac b =2
，且b 边所对的角为x ，试求x 的范围和此时f(x)的值域
变式二：已知向量??
?
???∈-==2,0),23sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a （1）求证a ·b 及|a +b |
（2）定义f (x )=a ·b -2m |a +b |,若函数f (x )的最小值为2
3
-，求实数m 的值
变式三：在三角形ABC 中，已知→
→
→
→
?=?BC BA AC AB 3 （1） 求证A B tan 3tan = （2）若5
5
cos =
C ，求A 的值
题型十一：平面向量在解析几何中的应用
例题一：设曲线C 上任意一点 ),,)(,(R y x y x M ∈满足向量),2(),,2(y x b y x a +=-=→
→
且8||||=+→
→
b a （1）求曲线的方程
（2）过点N （0,2）作直线l 与曲线C 交与A ，B 两点，若（O 为坐标原点），是否存在直线l ，使四边形OAPB 为矩形；若存在，求出直线l 的方程；反之，叙述理由。
变式一：已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x,y ）满足2+??
?
????=+→→→
→→OB OA OM MB MA ，
求曲线方程。
正余弦定理题型全归纳
题型一：已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论
(1)a=4,b=5,A=0
30(两解);(2)a=5,b=4,A=0
60(一解)
方法汇总：方法一：大边对大角；
方法二：利用高h=bsinA 与a 的讨论 方法三：利用余弦讨论
题型二：利用正弦定理解三角形
例一：在△ABC 中，若B=0
45,,2a b =
则C=
变式一：在△ABC 中，若c=2,A=0
120,a=32,则B=
变式二：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c,a=2,b=2,sinB+cosB=2,则A 的大小为
变式三：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c, B=3
π
,cosA=54,b=3
(1)求sinC;(2)求△ABC 面积。
变式四：在△ABC 中，A,B,C 的对边为a,b,c,A=2B,sinB=3
3
,(1)求cosA 的值；（2）b=2,求边a,c 的长。
题型三：利用正余弦定理进行边角转化 例：在△ABC 中，若A=2B,则b
a
的取值范围为
变式一：在△ABC 中，B=0
60,AC=3,则AB+2BC 的最大值
变式二：(12新课标)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边c=3asinC-ccosA.(1)求角A 的大小； （2）
例：在△ABC 中，b=1,c=3,C=3
2π
,则a=
变式一：在△ABC 中，若a=2,b+c=7,cosB=-4
1
,则b=
变式二：已知在△ABC 的三边成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为
变式三：在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，若2
222c b a =+，则cosC 的最小值为
变式四：(12辽宁)在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，a A b B A a 2cos sin sin 2
=+，
（1）求
a
b ；（2）若2223
c b a =+求B 。
题型五：利用余弦定理进行边角转化
例：在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，若ac B b c a 3tan )(2
22=
-+，则角B 的值为（ ）
变式一：在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=,(1)求A 的值。（2）求sinB+sinC 的最大值。
变式二：（10江苏）在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，若C b a a b cos 6=+,则=+B
C A C tan tan tan tan
变式三：在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，且b c a 22
2
=-，sinAcosC=3cosAsinC,求b.
题型六：判断三角形的形状 方法汇总：（1）求最大角的余弦，判断△ABC 是锐角、直角、还是钝角三角形
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰，等边还是直角三角形
例：在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB,则此三角形为
变式一：（12上海）在△ABC 中，若C B A 22
2
sin sin sin <+,则△ABC 的形状是
变式二：在△ABC 中，有以下结论
（1）2
2
2
c b a +>，则△ABC 为钝角三角形； （2）bc c b a ++=2
2
2
，则0
60=∠A (3) 2
2
2
c b a >+,则△ABC 中为锐角三角形；
变式三：已知△ABC 中，c
c
b A 22cos 2
+=
，则△ABC 的形状为
变式四：已知函数f(x)= x x x x 2
2
sin cos sin 32cos -+
(1)求f(x)的最小正周期和值域；（2）在△ABC 中，角A,B,C 的对边为a,b,c ，若bc A
f ==2
a 2)2
(且 ,试判断△ABC 的形状。
题型七：正余弦定理与向量的综合
例一：在△ABC 中，内角A,B,C 对边分别为a,b,c,若1=?=?.(1)求证：A=B;(2)求边长c 的值；（3）
6=+,求△ABC 的面积。
变式一：在△ABC 中，AB=2，AC=3，1=?,则BC=
变式二：在△ABC 中，内角A,B,C 对边分别为a,b,c,A=6
π
,b c 2)31(=+。（1）求C;(2)若31+=?CA CB ,求a,b,c.
变式三：在△ABC 中，内角A,B,C 对边分别为a,b,c,且3,5
522cos
=?=A ,(1)求△ABC 的面积；（2）b+c=6,求a 的值。
变式四：在△ABC 中，内角A,B,C 对边分别为a,b,c, 且B c B a C b cos cos 3cos -=.（1）求cosB 的值；（2）若
2=?BC BA ，且b=22,求a 和c 的值。
题型八：解三角形的实际应用
例：甲船以302海里/h 的速度向北航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船北偏西0
105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西0
120方向的2B 处，此时两船相距102海里，求乙船的速度。
2A
2B
1A
B
变式一：为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，在海岸上选取距离1km 的两个观测点C,D 。在某天10：00
ACB ∠=060,BCD ∠=045,ADB ∠=060,则船速为 （km/min ）
B
A
C D
变式二：当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西0
30，相距10海里C 处的乙船。（1）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；（2） 设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角，求f(x)= )(cos cos sin sin 2
2
R x x x ∈+θθ的值域。
A 20 B
10 C
数列题型归纳（全）
题型一：求等差数列的公差或取值范围
变式一：等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则该数列的}{n a 的公差为
变式二：已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是
题型二：求等比数列的公比
例一：在等比数列}{n a 中，201020138a a =，则公比q 的值为
变式一：等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若1a =1，则4s =（ ）
变式二：设公比为q （q>0）的等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，若2s =32a +2，4s =34a +2,则q=
变式三：等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，已知1s ，22s ，33s 成等差数列，则}{n a 的公比为
题型三：求等差与等比数列的通项
例1：（1）已知递增的等差数列}{n a 满足11=a ，42
23-=a a ，则n a =
(2)已知等比数列}{n a 为递增数列，且12102
55)(2,++=+=n n n a a a a a ，则数列}{n a 的通项公式n a =
变式一：n s 为等差数列}{n a 的前n 项和，2s =6s ，14=a ，则n a =
变式二：已知两个等比}{n a ，}{n b ，满足11=a ，111a b -=，222a b -=，334a b -=，求数列}{n a 的通项公式。
例2：若数列}{n a 的前n 项和,.....)3,2,1(102
=-=n n n s n ，则此数列的通项公式为
变式一：已知数列}{n a 的前n 项和n n s n 92
-=，则其通项n a = ；若它的第k 项满足85< k= 变式二：已知数列}{n a 的前n 项和1-=n n a s ，(a 为非零实数)，那么}{n a 是否是等差数列？是否是等比数列？ 题型四：等差等比数列的求和 例：在等比数列}{n a （n * N ∈）中，若1a =1，8 1 4=a ，则该数列的前10项和为 变式一：}{n a 是正数组成的等比数列，n s 为前n 项和，已知7,1342==s a a ，则n s = 变式二：设f(n)=103107422222++???++++n (n * N ∈),则f(n)= 题型五：对于等比数列求和公式中q 的讨论 例：设等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，若693,,s s s 成等差数列，求数列的公比q. 变式一：设等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，且333a s =，则其公比q 等于 变式二：求和),,2()12(7531* 132R x N n n x n x x x s n n ∈∈≥-+???++++=- 题型六：对于奇偶项求和问题的讨论 例：已知数列}{n a 的通项公式为为正偶数）为正奇数）； n n n a n (n -(22 =，求其前n 项和n s . 变式一：已知数列}{n a 的通项公式为为正偶数）为正奇数）； n n n a n (3(12n -=，求其前n 项和n s . 题型七：对于含绝对值的数列求和 例：已知数列}{n a 的前n 项和n s =10n-2 n ,数列}{n b 的每一项都有n n a b =，求}{n b 前n 项和n T . 变式一：在等差数列}{n a 中，.n ,22,232510项和为其前n s a a -==（1）求使n s <0的最小正整数n.(2)求 n n a a a T ???++=21的表达式。 变式二：已知等差数列}{n a 前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列}{n a 的通项公式；（2）若132,,a a a 成等比数列，求数列{n a }的前n 项和。 题型八：等差、等比数列的性质应用 等差数列;q p n m a a a a q p n m +=+?+=+等比数列;q p n m a a a a q p n m +=+?= 例：已知等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，若5418a a -=，则8s 等于 变式一：设数列}{n a ，}{n b 都是等差数列，若=+=+=+553311,21,7b a a a a a 则 变式二：在等差数列}{n a 中，已知1684=+a a ，则该数列前11项和等于 变式四：在等差数列}{n a 中，27,39963741=++=++a a a a a a ，则数列}{n a 的前9项之和= 题型九：等差、等比数列的性质应用 ???--m m m m m s s s s s 232,,成等差数列 例：等差数列}{n a 的前n 项和为n s ，若10,242==s s ，则6s = 变式一：设n s 是等差数列}{n a 的前n 项和，若31 84=s s ，则=16 8s s 变式二：设等比数列}{n a 的前n 项和为n s ，若 336=s s ，则=6 9s s 题型十：利用等差数列的性质求解 例：已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 变式一：已知等差数列}{n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为7:6，求中项。 变式二：已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别是n A 和n B ,且3457++=n n B A n n ，则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数是 题型十一：利用等差等比数列的单调性求解 例：已知数列}{n a 是递增数列，且对* N n ∈,都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是 变式一：数列}{n a 中，如果存在k a ，使得1->k k a a 且1+>k k a a 成立（其中k * ,2N k ∈≥）, 则称k a 为}{n a 的一个峰值。（1）若7--=n a n ，则}{n a 的峰值为 （2）2.4;2,2 >+-≤-=n tn n tn n a n ，且}{n a 存在峰值，则实数t 的取值范围。 例：在等差数列}{n a 中，已知1a =20，前n 项和为n s ，且1510s s =，求当n 取何值时，n s 取最大值，并求此最大值。 变式一：数列}{n a 为等差数列，若110 11 - 变式三：已知79 80--= n n a n （* N n ∈）,则在数列}{n a 的前50项中最小项和最大项是 题型十二：判断和证明数列是等差、等比数列 （1）定义法：对于2≥n 的任意正整数，验证1--n n a a （1/-n n a a ）为同一常数（用于证明）（2）通项公式法：若 )()1(11d a dn d n a a n -+=-+=，则}{n a 为等差数列；若11-=n n q a a ，则}{n a 为等比数列；（3）中项公式法：112+-+=n n n a a a 等差；112 +-?=n n n a a a 等比。 一：定义法： 例：（1）设}{n a 是等差数列，证明：数列}{n a c （c>0, )1≠c 是等比数列。（2）设}{n a 是正项等比数列，证明}{log n a c （c>0, )1≠c 是等差数列。 变式一：数列}{n a 的前n 项和记为n s ，已知n n s n n a a 2 ,111+==+（n=2,3,4…）,证明：数列}{n s n 是等比数列。 变式二：已知定义在R 上的函数f(x)和数列}{n a 满足下列条件：)a ...4,3,2)((,2111a n a f a a a n n ≠===-且， ...)4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零实数。令证明),(*1N n a a b n n n ∈-=+} b {n 是等比数列。 二：中项公式法： 例：已知数列}{n a 满足))(23,3,1* 1221N n a a a a a n n n ∈-===++(1)证明：数列}{1n n a a -+是等比数列；（2）求 数列}{n a 的通项公式；（3）若数列}{n b 满足)()1(4444*1111 321N n a n n b n b b b b ∈+=?????----,证明：数列} {n b 是等差数列。 变式一：已知等比数列}{n a 的公比q=-0.5，（1） 1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 →--OA +→ --OB =→ --OC → --OB -→ --OA = → --AB 记 → --OA =(x 1,y 1)， → --OB =(x 1,y 2) 则→ --OA +→ --OB =(x 1+x 2,y 1+y 2) AB OB --→=u u u r - → --OA = （x 2-x 1,y 2-y 1） → --OA +→ --AB = → --OB 实数与向量 的乘积 → --AB =λ→ a λ∈R 记→ a =(x,y) 则λ→ a =(λx,λy) 两个向量 的数量积 → a ·→ b =|→ a | |→ b | cos<→ a ,→ b > 记→a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2) 则→ a ·→ b =x 1x 2+y 1y 2 2．重要定理、公式 （1）向量共线定理：如果有一个实数λ使(0),b a a λ=≠r r r r 那么b r 与a r 是共线向量；反之，如果(0)b a a ≠r r r r 与是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b a λ=r r 。 （2）平面向量基本定理；如果1e → ，2e → 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量→ a ，有且→ → → （3）两个向量平行 ：设→ a =（x 1,y 1），→ b =(x 2,y 2)，则→ a ∥→ b ?a b λ=r r ?x 1y 2-x 2y 1=0 （4）两个向量垂直：设→ a =(x 1,y 1), → b =(x 2,y 2)，则→ a ⊥→ b ?a 0b ?=r r ?x 1x 2+y 1y 2=0 （5）线段定比分点公式: 设→ --→ --λ=21PP P P , 则12111OP OP OP λλλ --→ --→--→ =+ ++ 设P （x,y ），P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）,则??? ??? ? λ+λ+=λ+λ+=1y y y 1x x x 2121 1、平面向量),,2(),,2(),4,,3(y x ==-=已知∥，⊥，求及与夹角。 2、已知向量m u r = (θθsin ,cos )和n r =(θθcos ,sin 2-)， 3,2θπ?? ∈π???? ． （1）求|m n +u r r |的最大值； （2）若|m n +u r r | ，求sin 2θ的值． 3、已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，)2 3,2( π πα∈， （1）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α的值； （2）若1AC BC ?=-u u u r u u u r ，求α α αtan 12sin sin 22++的值。 巩固练习 1、若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，则BE u u u r = （ ） .A 12b a +r r .B 12b a -r r .C 12a b +r r .D 12a b -r r 2、已知(1,2),(,1),a b x ==r r 且(2)//(2)a b a b +-r r r r ，则x 的值为 （ ） .A 1 .B 2 .C 13 .D 1 2 3、△OAB 中，→ --OA =→a ，→--OB =→b ，→--OP =→p ，若→ p =)| b |b | a |a ( t → → → → + ，t ∈R ，则点P 在 （ ） A 、∠AO B 平分线所在直线上 B 、线段AB 中垂线上 C 、AB 边所在直线上 D 、AB 边的中线上 4、已知点C 在线段AB 的延长线上，且λλ则,CA BC ==等于 ( ) A ．3 B ． 3 1 C ．3- D ．3 1- 5、设OM →＝(1，1 2)，ON →＝(0，1)，则满足条件0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1的动点P 的变动范围（图 中阴影部分，含边界）是 （ ） 6、已知向量(2,1)a =--r ，(,1)b λ=r ，若a r 与b r 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （ ） A .1(,2)(2,)2 -+∞U B .(2,)+∞ C .1(,)2-+∞ D .1(,)2-∞- 7、.已知向量)10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===→ → → ，且A,B,C 三点共线，则k=_________. 8 、已知2,a b a ==r r r 与b r 的夹角为45o ，若(),b a a λ-⊥r r r 则λ= . 9、若对n 个向量12,,,n a a a u v u u v u u v L ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得1122n n k a k a k a +++u v u u v u u v L =成立，则称向量12,,,n a a a u v u u v u u v L 为“线性相关”.依次规定，请你求出一组实数k 1，k 2，k 3的值，它能说明1a =(1,0), 2a =(1, －1), 3a =(2,2) “线性相关”：k 1，k 2，k 3的值分别是 ， ， . 10、已知(2,5),||||,a b a a b =-=r r r r r 且与互相垂直，则b r 的坐标是 . A D 11、设平面内的向量(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OM ===u u u r u u u r u u u u r 点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB u u u r u u u r g 取最小 值时，OP uuu r 的坐标及APB ∠的余弦值。 12、设向量(1cos ,sin )a αα=+r ，(1cos ,sin )b ββ=-r ，(1,0)c =r ，(0,)απ∈，(,2)βππ∈，a r 与c r 的夹角为1θ，b r 与c r 的夹角为2θ，且123 πθθ-=，求sin 2αβ -的值。 参考答案 二、1、1、),,2(),4,3(x b a =-=∥x 423-=? 38-=∴x ，2 3),2(=?⊥=y y 0),23 ,2(),38,2(=?=-=∴ ο90,>=∴< 2、 (1) m n +u r r () cos sin sin θθθθ=-++ ． |m n +u r r |= == ∵3, 2πθπ? ?∈??? ?，∴57444 πππθ≤+≤，∴2-≤cos()4πθ+≤2． ∴|m n +u r r |max (2)由已知|m n +u r r |=，得3cos πθ? ?+= ? ．sin 2cos 2()πθθ=-+ =2 12cos ()4 π θ-+ =97 122525-? = ． 3、（1）(cos 3,sin ),(cos ,sin 3)AC BC αααα=-=-u u u r u u u r Q AC ∴==u u u r BC =u u u r 由AC BC =u u u r u u u r 得ααcos sin = 又)2 3,2(ππα∈πα45=∴ （2）由1AC BC ?=-u u u r u u u r ，得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα 3 2cos sin = +∴αα95cos sin 2-=?∴αα 又αααtan 12sin sin 22++= =+ +αααααcos sin 1cos sin 2sin 2295 cos sin 2-=?αα 所以，αααtan 12sin sin 22++=9 5-。 三、1—6 B D A D A A 7、.3 2 - 8、 2 9、只要满足4:2:1-即可 10、（5，2）或（-5，-2） 11、设(,).OP x y =u u u r Q 点P 在直线OM 上，OP ∴u u u r 与OM u u u u r 共线，而(2,1),OM =u u u u r 20,x y ∴-=即2,x y = 有 (2,)OP y y =u u u r . (12,7),(52,1),PA OA OP y y PB OB OP y y =-=--=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 22 (12)(52)(7)(1)520125(2)8.PA PB y y y y y y y ∴=--+--=-+=--u u u r u u u r g 故当且仅当2,4y x ==时，PA PB u u u r u u u r g 取得最小值8-，此时(4,2),(3,5),OP PA ==-u u u r u u u r (1,1).PB =-u u u r 于是 (3)15(1)8PA PB PA PB ===-?+?-=-u u u r u u u r u u u r u u u r g cos PA PB APB PA PB ∴∠== =u u u r u u u r g u u u r u u u r g 12、1 2 - 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长． 平面向量题型归纳（全） 题型一：共线定理应用 例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（ ）A.→ →b a ,方向相 同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在 ,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→ →b a λλλλ 变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→ →b a //”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（ ） A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→ →→→=+b a b a _ C. 若→ →→→ =+b a b a _，则存在实数λ，使得 →→ =a b λ D 若存在实数λ，使得→ →=a b λ，则 → →→→ =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线， （1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。 变式一：设→ → 21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。 变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（ ） A. += B. += C. += D. ++= 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（ ）A. A = 正余弦定理常见解题类型 1． 解三角形 正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角． 余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 例1 已知在ABC △中，4526A a c ∠===，，，解此三角形． 解：由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=， 从而有31b =±． 又222(6)222cos b b C =+-?， 得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=． 因此，31b =+，60C ∠=，75B ∠= 或31b =-，120C ∠=，15B ∠=． 注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2． 判断三角形的形状 利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理： A B C ++=π；利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题． 例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形． 3． 求三角形中边或角的范围 例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b 的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠． 04B π∴<∠<．可得210sin 2 B <<． 又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件． 4． 三角形中的恒等式证明 根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===． 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 高二数学《正余弦定理》知识与题型总结 1、 正弦定理：_________=_________=_________=2R （R 为____________） 变形：________a =；________b =；________c = sinA :sinB:sinC ______________ = 2、 余弦定理：2 ______________a =；2 ______________b =；2 ______________c = 变形：cos ________________A =;cosB ________________=；cosC ________________= 3、 三角形面积公式： （1）12S a h =g （2）1 sin _________________________2S ab C === （3）1 ()2 S r a b c =++（r 为内切圆半径） 4、常用公式及结论： （1）倍角公式：sin 2__________α=； cos 2_______________________________________α=== tan 2____________α= 降幂公式：2 sin ____________α=；2 cos ____________α= （2）在ABC ?中，sin()sinC A B +=；cos()cosC A B +=-；tan()tanC A B +=-； （3）在ABC ?中，最小角的范围为0, 3π?? ?? ? ；最大角的范围为,3ππ???? ?? ； （4）在ABC ?中，A B C sinA sinB sinC >>?>>； （5）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c b a c A B C A B C B A C a b c A B C +++===== +++++= ++。 类型一：正余弦定理的综合应用 1.在△ABC 中，4a b ＝，＝ 30A ?＝，则角B 等于( )． A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（ ） 3.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量，(cos ,sin )n A A =v ， 若m n ⊥u v v ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A ，B 的大小为( )． 4.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，B B A C 2sin 3)sin(sin =-+. ） 5.ABC ?各角的对应边分别为c b a ,,，满足 ，则角A 的范围是（ ） A 6.在△ABC 中，内角A,B,C ，C B sin 3sin 2=， =（ ） A 7.在△ABC 中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c.，且b a >，则∠B ＝( ) A 8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．0 75,45,10===C A b B ．0 80,5,7===A b a C ．0 60 ,48,60===C b a D ． 45,16,14===A b a 9.已知ABC ?中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ） A 、02x << C 正弦定理和余弦定理 一、题型归纳 〈一>利用正余弦定理解三角形 【例1】在△AＢC中，已知a=3,b=2,Ｂ=４5°,求Ａ、C和c。【例2】设ABC ?的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b＋32c-32a2b c. (Ⅰ）求ｓiｎA的值;（Ⅱ)求2sin()sin() 44 1cos2 A B C A ππ +++ - 的值。 【练习１】 (201１·北京)在△ABＣ中,若b＝５,∠Ｂ＝错误!，tan A=2，则ｓin A=_______＿；ａ=___＿＿___. 【练习２】在△ABC中,a、ｂ、ｃ分别是角A、B、C的对边，且＼f（cｏs Ｂ，coｓC）=－错误!. (1）求角B的大小; （2)若b ＝错误!,a ＋c =4,求△AB Ｃ的面积． 〈二〉利用正余弦定理判断三角形的形状 【例3】1、在△ＡＢC 中，若（ａ2＋b 2）sin （A -B )=(a 2－ｂ２)sin C ,试判断△AB Ｃ的形状. ２、在△ＡB Ｃ中，在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，ｂｃosA=a c ｏs Ｂ,则ABC ?三角形的形状为___＿____＿___＿_____ ３、在△ＡBC 中,在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、Ｂ、C 所对的边，若c ｏs ＡcosB =＼f(b,a ） ， 则ABC ?三角形的形状为＿___＿__＿______＿＿___ 【练习】1、在△ABC 中,2cos 22A b c c +=（,,a b c 分别为角,,A B C 的对边),则△AB Ｃ的形状为（ ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 Ｄ、等腰直角三角形 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是(） Ａ、直角三角形Ｂ、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 3、在△ABC 中,2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,则△ＡBC 的 正弦定理和余弦定理 、题型归纳 < 一>利用正余弦定理解三角形 【例1】在^ ABC中，已知 a = J3, b=J2,B=45 ° ,求 A C 和c. 【例2】设的内角A B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4b c . (I )求sinA的值； ( n )求的值. n 【练习 1】（2011 ?北京）在^ ABC中，若b= 5,Z B=_4, tan A= 2, 则 sin A= ；a= cos B 【练习2】在厶ABC中, a、b、c分别是角A B、c的对边'且cosE b 2a+ c" (1)求角B的大小； ⑵若b=品，a + c= 4,求^ ABC勺面积. ＜二 ＞利用正余弦定理判断三角形的形状 【例 3】1、在^ABC 中，若(a 2+ b 2)sin( A — B)= (a 2— b 2)sin C,试判断△ ABC 的形状. 2、在^ ABC 中，在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A B 、C 所对的边，bcosA =a COSB,则ABC 三角形的形状为 cosA 3、＜△ ABC 中,在 ABC 中, a ，b ，c 分别是角 A B C 所对的边，若CosA 则ABC 三角形的形状为 2 A b c 【练习】1、在^ABC 中, cos - ￡（ a,b,c 分别为角A,B,C 的对边）， 则^ ABC 的形状为（） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 的形状为 2、已知关于x 的方程 于两根之积的一半，则 A 、直角三角形 B 边三角形 3、在^ ABC 中，（a 2 2 . 2 C x xcosA cos B 2sin ~ 0的两根之和等 ） C 、等腰三角形 D 、等 ABC —定是 （ 、钝角三角 b 2)s in (A B) (a 2 b 2)sin( A B)，则△ ABC 正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ） 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?< 正弦定理和余弦定理 一、题型归纳 <一>利用正余弦定理解三角形 【例1】在△ABC 中，已知a =3 ,b = 2 ,B=45°,求A 、C 和c . 【例2】设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a =42b c . (Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求 2sin()sin() 441cos 2A B C A ππ +++-的值. 【练习1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，tan A ＝2， 则sin A ＝________；a ＝________. 【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且 cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． <二>利用正余弦定理判断三角形的形状 【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． 2、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ?三角形的形状为__________________ 3、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b a ， 则ABC ?三角形的形状为___________________ 【练习】1、在△ABC 中，2 cos 22A b c c +=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 D 、等腰直角三角形 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ??? 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+= 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1， c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则 a ＋ b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长． ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一正弦定理 2sin sin sin ===a b c R A B C (其中R 为△外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090??<+?<+?>a b c A 用于判断三角形形状 《名师一号》P63问题探究 问题3 判断三角形形状有什么办法？ 判断三角形形状的两种途径： 一是化边为角； 二是化角为边， 并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 知识点三 三角形中常见的结论 △的面积公式有： ①S ＝a ·h (h 表示a 边上的高)； ②S ＝＝＝＝； 知两边（或两边的积）及其夹角可求 面积 ③S ＝r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． (补充) 正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1 4 b c a -= ，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知 b B c C b 2c os c os =+，则 =b a . 3.已知ABC ?的内角 21)sin()sin(2sin ,+ --=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值 是 。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=( ) C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训 练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线 移动，此人为了准 确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 则 的最大值 。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 已知,a b c ≠=22cos -cos cos cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4 sin 5 A = ，求ABC ?的面积. 专题：正弦定理和余弦定理 一、课前热身： 1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 222++=，则A 等于（ ） A 、60° B 、45° C 、120 D 、135° 3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________. 4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC cos A 的值等于______，AC 的取值范围为________ 5、在ABC ?中，若13 5cos ,53sin ==B A ，则C cos 的值为_________ABC ?的形状为_____ 6、ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A = 。 (1)求AB AC ?u u u r u u u r 。 (2)若1c b -=，求a 的值。 二、题型归纳 <一>利用正余弦定理解三角形 【例1】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c . 【例2】设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a 2b c . (Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A ππ +++-的值. <二>利用正余弦定理判断三角形的形状 【例3】1、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ?三角形的形状为__________________ 2、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b a ， 则ABC ?三角形的形状为___________________ 【练习】1、在△ABC 中，2cos 22A b c c +=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 D 、等腰直角三角形 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 3、在△ABC 中，2222 ()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC 的形状为__________ <三>正余弦定理与三角形的面积 【例4】△ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果c a b +=2，B ∠=30°，△ABC 的面积为 23，那么b =（ ） A B 、31+ C 、 D 、32+ 【练习】已知ABC △1+，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1sin 6 C ，求角C 的度数． 【例5】设O 是锐角ABC ?的外心，若ο75=∠C ，且COA BOC AOB ???，，的面积满足关系：COA BOC AOB S S S ???=+3,求A ∠ 解三角形 一．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径. 正弦定理的如下变形常在解题中用到 1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC 2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R 3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC 二．余弦定理： 1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA 2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB 3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到 1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b) 2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c) 3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ） 三．余弦定理和正弦定理的面积公式 S △ABC =21absinC=21bcsinA=21 acsinB （常用类型：已知三角形两边及其夹角） 判断三角形的形状 有两种途径： （1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解 （2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解 三．解三角形的实际应用 测量中相关的名称术语 仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面，视线与水平线所成的角叫俯角 方向角：从指定方向线到目标方向的水平角 正余弦定理高中数学组卷 一．选择题（共9小题） 1．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B． C． D． 2．（2016?潍坊模拟）在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2016?岳阳校级模拟）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1 4．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2016?河西区一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则∠B=（） A．B．C．D． 6．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C．D．或 7．（2016?岳阳二模）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c， asinAsinB+bcos2A=a，则=（） A．2 B．2C．D． 8．（2016?新余二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．角B的值为（） A．B．C．D． 9．（2016?江西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A=2B，则 等于（） A．B．C．D． 二．填空题（共7小题） 10．（2016?上海二模）△ABC中，，BC=3，，则∠C=． 11．（2016?丰台区一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于． 12．（2016?焦作一模）在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．13．（2016?潍坊一模）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 a?cosB+b?cosA=3c?cosC，则cosC=． 14．（2016?抚顺一模）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC，则边AB的长为． 15．（2016?长沙一模）△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等 于． 16．（2016?湖南校级模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若， ，则b=． 三．解答题（共4小题） 17．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 = （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 18．（2016?安徽校级一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值； （2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积． 19．（2016?平果县模拟）已知在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且（b ﹣2c）cosA=a﹣2acos2． （1）求角A的值； （2）若a=，则求b+c的取值范围． 20．（2016?鹰潭一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcosc=2a ﹣c （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若△ABC的面积为，求b的取值范围．正余弦定理练习题(答案)
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