现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法

2.1 状态空间描述的基本概念

系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。

第一节基本概念

状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，

又不足以描述系统状态。因此，当系统能用最少的个变量

完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。

选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，

以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。而时

刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。

状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。

状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量

的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。

若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。一旦给定时的初

始状态向量及的输入向量，则的状态由状态向量唯一确定。

状态空间以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称状态空间。系

统在任一时刻的状态由状态空间中一点表示，例如二阶系统的状态可由轴、

轴组成的状态平面（即相平面）中一点表示；三阶系统的状态可由轴、

轴、轴组成的三维状态空间中一点来表示；阶系统的状态则由轴，…，轴组成的维状态空间中一点来表示。

初始时刻的状态在状态空间中为一初始点；随着时间推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹，称状态轨迹。

状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。由于阶系统有个独立状态变量，于是状态方程是个的一阶微分方程或差分方程。当系统用高阶微（差）分方程或传递函数表示时，可以转化为状态方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程。由于状态变量的选取具有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态方程也不同，故系统的状态方程也具有非唯一性。

在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即

u的导数为零。单输入线性定常连续系统，其状态变量为，则一般形式的状态方程写作：

(2-1)

中常系数与系统特性有关。方程（2－1）可写成向量矩阵形式：

(2-2)

式中

; ;

；

称系统矩阵（系数矩阵，状态阵），称输入矩阵（在此为列矩阵）。

多输入（含个输入变量）线性定常连续系统的状态方程一般表达式为：

(2-3)

方程(2-3)的向量－矩阵形式为

(2-4)

式中为维列向量，为输入矩阵，或称控制系数矩阵，有

输出方程系统输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式称输出方程，它是一个代数方程。

单输出定常连续系统的输出方程一般形式为：

(2-5)

式中常系数与系统特性有关。可写成向量矩阵形式：

(2-6)

式中为输出矩阵（在此为行矩阵），为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。

多输入－多输出（含个输出变量）线性定常连续系统的输出方程一般表达形式为：

(2-7) 式(2-7)中，省略符号。

其向量－矩阵形式为

(2-8)

式中

为

输出矩阵，

为

前馈矩阵。

状态空间表达式 状态方程、输出方程的组合称为状态空间表达式，简称动态方程。状态空间法用状态方程、输出方程来表达输入－输出关系，提示了系统内部状态对系统性能的影响。单输入－单输出系统动态方程一般形式为

(2-9)

式中 为 维状态向量， 与 为标量， 为 阶方阵， 为(

)向

量， 为

向量， 为标量。

多输入－多输出系统动态方程一般形式为

(2-10)

式中 为( )向量， 为 向量， 为( )向量，

为 阶方

阵，

为

矩阵，

为

矩阵，

为

矩阵。由于

完整地表征了系统动态特性，故有时把一个指定的系统简称为系统

。

当采用向量－矩阵形式表示系统时，读者应注意根据矩阵相乘、相加的运算法则，熟练进行向量、矩阵的维数分析。至于单输入－多输出以及多输入－单输出系统的动态方程及向量、矩阵的维数分析，读者应自行导出。动态方程的结构图表示见图2－1，各方块的输入－输出关系规定为

输出向量＝（方块所示矩阵）×（输入向量）

注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。

图2－1 动态方程的结构图表示

状态空间分析法以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类系统，例如倒立摆控制系统、航天器控制系统、导弹控制系统、机器人控制系统。因此状态空间分析法是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。

倒立摆控制系

统航天器控制系

统

机器人控制系

统导弹控制系统

2.2 线性定常连续系统动态方程的建立

实际物理系统动态方程的建立，通常是根据所含元件遵循的物理、化学定律，列写其微分方程，选择可以量测的物理量作为状态变量来导出的，它能反映系统的真实结构特性，故动态方程可由诸元件的微分方程组或传递函数结构图演化而来。不过据此建立的动态方程一般不具有典型形式。由于系统微分方或传递函数也是一种线性定常连续系统的通用数学模型，当其已知时，可按规定方法导出典型形式的动态方程，便于建立统一的研究理论，并揭示系统内部固有的重要结构特性，下面来分别加以研究。

一、物理系统动态方程的建立

结合举例来说明。

空间飞行器安装有控制力矩陀螺（control moment gyros,CMG）。空间飞行器的非线性模型包括飞行器姿态运动模型、旋转动力学模型、和CMG动量方程。空间飞行器的姿态是通过一组Eul角来定义的,而Euler角则是通过比较本体坐标系和飞行器本地垂线参考坐标系来定义的.

假定在圆形轨道上运动的飞行器的轨道角速度为n.我们关心的坐标系有两个,即飞行器本体坐标系和本地垂线参考坐标系(Local-vertical

Local-horizontal Reference Frame,LVLH). 其原点位于飞行器的质心，

平面瞬时与轨道平面重合，轴与地心到飞行器的连线重合，远离地

心方向为负，轴与瞬时轨道转矩向量在同一条直线上，但方向相反，轴按右手法则确定。

空间飞行器的本地垂线参考坐标系（LVLH）

空间飞行器相对于参考坐标系进行姿态定向，用一组旋转Euler角可

以唯一的确定飞行器的定向。常用的旋转变换是绕轴的旋转，空间飞行器因而选择了俯仰角、偏航角和滚动角为其定向Euler角（如下图）。在向量

中，我们用依次代表飞行器相对于LVLH参考坐标系的俯仰

角、偏航角和滚动角，又记为本体坐标轴的绝对旋转角速度，则飞行器姿态运动方程为：

其中，

，

而飞行器的转矩为：

其中，表示本体坐标系内的动量向量，表示外部转矩向量（例如，引力梯度转矩、空气动力转矩和控制转矩等）。由于所研究的是刚体飞行器，

因此，其中，为飞行器的惯量矩阵：

外部转矩包括引力梯度转矩和CMG控制转矩等。在不存在外部干扰的（如空气动力转矩）的情况下，可得：

其中，为引力梯度转矩向量，为CMG控制转矩向量。

引力梯度转矩是由于地球引力在空间飞行器上分布不均匀造成的。利用地球的负二次方引力场原理，本体坐标系中的引力梯度转矩可以表示为：

其中

于是，在本体坐标系中表示飞行器旋转动力学特征的地转矩方程变为：

类似的，可以得到CMG的动量方程为：

其中，为CMG的动量向量，使CMG的控制转矩。

飞行器姿态和动量控制设计的一种简便方法，是对前面的是进行线性处理以便得到表示飞行器的姿态和CMG动量的变幻的规律的线性模型。利用Taylor技术展开实现模型的线性化后，便可以直接运用线性系统的设计和分析方法。

在姿态偏移小、速度低、CMG动量小且可以忽略惯量直积的情况下，飞行器的非线性模型经线性后，可以实现对俯仰轴、偏航轴、滚动轴的解耦。俯仰轴Y轴方向的线性化方程为：

其中

而滚动轴和偏航轴Z轴方向的线性化方程为：

其中

，

值得注意的是，俯仰轴的控制问题是一个单输入问题，而滚动轴与偏航轴的控制问题是一个多输入问题。空间站的典型参数为：

和。使用这些典型参数，俯仰轴方向的状态空间模型为：

其中

，，

想一想：登月舱的软着陆过程如图所示的那样建模，定义状态变量为，

，，控制为，假定使月球表面的重力加速度常

数，求取系统的状态空间方程。该系统是线性系统吗？

例2-1 设机械位移系统如图2-2所示。力及阻尼器汽缸速度

为两种外作用，给定输出量为质量块的位移及其速度、加速度。图中

分别为质量、弹簧刚度、阻尼系数。试求该双输入-三输出系统的动态方程。

解据牛顿力学，外力由惯性力、阻尼力、弹簧恢复力平衡，故有

图2－2 双输入-三输出机械位移系统

显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度，该微分方程在输入作用

下的解便唯一确定，故选和作为状态变量。设，三个输出

量为，可由微分方程导出下列动态方程：

其向量-矩阵形式为

式中

状态变量图将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示，即每个一阶微分方程的右端诸项之和，构成了状态变量的导数，经积分可得该状态变量，最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形，便是状态变量图，它便于在模拟计算机上进行仿真，是向量-矩阵形式状态方程的展开图形，揭示了系统的详细的内部结构。状态变量图中仅含积分器、加法器、比例器三种元件及一些连接线。积分器的输出均为状态变量。输出量可根据输出方程在状态变量图中形成和引出。例2-1的状态变量图见图2-3，图中为拉普拉斯算子。

图2-3 例2-1状态变量图

一、由系统微分方程或系统传递函数建立动态方程

这里先研究单位输入-单输出系统，其它留在传递函数矩阵的实现一节中研究。对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称此动态方程是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同，其动态方程也不同，故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实现最有意义，从传递函数组成上可看到存在与不存在零、极点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，所求得的动态方程中，状态变量数目最少，各矩阵的维数最小，构造硬件系统时所需积分器个数最少，故有最小实现之称。

设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：

(2-11)

式中为系统输出量，为系统输入量，对任何物理系统其的导数幂次小于

y的导数幂次，其系统传递函数为

1．能观测标准形实现

式(2-11)所示微分方程含有输入导数项，为使状态方程中不含输入导数项，可如下选择一组状态变量，设

(2-13)

其展开式为

有

考虑式(2-11)可得

故有状态方程

(2-14)

输出方程为

(2-15)

其向量-矩阵形式为

(2-16) 式中

希望读者注意矩阵的形状特征。若动态方程中的具有该形式，便

有能观测标准形之称（其意义见第三章），由式(2-11)导出式(2-16)所示动态方程，称能观测标准形实现。

2．能控标准形式实现

将式(2-12)所示传递函数分解为两部分相串联，并引入中间变量

，见图2-7，由第一个方块可导出以作为输入、作为输出的不含输入

导数项的微分方程，由第二个方块可导出系统输出量可表为及其导数的线

性组合，即

(2-17) 定义如下一组状态变量

(2-18) 可得状态方程

(2-19)

输出方程为

(2-20)

其向量-矩阵形式为

(2-21)

式中

希读者注意、的形状特征，这种阵称友矩阵。若状态方程中的、

具有该形式，便有能控标准形之称（其意义见第三章），由式(2-12)导出式(2-21)所示动态方程，称能控

标准形实现。

图2－7 的串联分解

注意到能控、能观测两种准形实现动态方程中诸矩阵存在下列关系：

(2-22)

式中下标表示能控标准形，表示能观测标准形，为转置记号。式(2-22)所示关系称为对偶关系。两种实现中的A、b、c矩阵，其元素均与微分方程或传递函数中的常系数有关，故同微分方程或传递函数可直接列写出能控、能观测标准形实现的动态方程。

3．的对角形实现

当只含相异实极点时，除了可化为能控、能观测标准形实现以外，还

可以化为对角形实现，其A阵是一个对角阵。设的因式分解为

(2-23)

式中为系统的相异实极点，则G(s)可展开成部分分式之和，即

(2-24)

式中

(2-25)

称为极点的留数。且有

(2-26)

若令状态变量为

(2-27) 其拉氏反变换结果有

(2-28) 展开可得

(2-29)

(2-30) 其向量-矩阵形式为

现代控制理论习题解答..

《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??

⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？

现代控制理论基础试卷及答案

现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）

现代控制理论1-8三习题库

信息工程学院现代控制理论课程习题清单

正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对 角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性） 空间，称之为______（传递函数，状态空间）。

习题解答_现控理论_第6章

6-1 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作状态反馈v x u +-=K ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型，则有 ()()()()A B K A BK B C D K C DK D =+-+=-+=+-+=-+x x x v x v y x x v x v 因此，闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1()()()()()K A BK B C DK D G s C DK sI A BK B D -=-+?? =-+?=--++x x v y x v 6-2 对线性系统 A B C D =+?? =+? x x u y x u 作输出反馈u =-H y +v ,试推导出闭环系统的状态空间模型和传递函数。 解 将反馈律代入状态空间模型的输出方程，则有 () C D H C DH D =+-+=-+y x y v x y v 即 ()I DH C D +=+y x v 因此，当()I DH +可逆时，闭环系统输出方程为 11()()I DH C I DH D --=+++y x v 将反馈律和上述输出方程代入状态方程，则有 11() [()][()]A B A B H A BH I DH C BH I DH D B --=+=+-+=-++++x x u x y v x v 当闭环系统的状态空间模型和传递函数分别为 1111 11111[()][()]()()()()[()][()]()H A BH I DH C BH I DH D B I DH C I DH D G s I DH C sI A BH I DH C BH I DH D B I DH D ---------?=-++++?=+++?=+-++++++x x v y x v

现代控制理论-第7章

第六次课小结 一、 Lyapunov 意义下的稳定性问题基本概念 平衡状态的概念 Lyapunov 意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等） 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 二次型，复二次型（Hermite 型） 二、 Lyapunov 稳定性理论 第一方法 第二方法 三、 线性定常系统的Lyapunov 稳定性分析 应用Lyapunov 方程 Q PA P A H -=+ 来进行判别稳定性 四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计 衰减系数，一旦定出min η，则可定出)(x V 随时间t 衰减上界。 计算min η的关系式 五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov 稳定判据在离散系统中的应用

六、线性多变量系统的综合与设计的基本问题 问题的提法 性能指标的类型 研究的主要内容 七、极点配置问题 问题的提出 可配置条件 极点配置算法

爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（）给出的系统，重写为 Bu Ax x +=& 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为n s s s μμμ===,,,21Λ。 利用线性状态反馈控制律 Kx u -= 将系统状态方程改写为 x BK A x )(-=& 定义 BK A A -=~ 则所期望的特征方程为 ) ())((~ 11121=++++=---=-=+-* *--*n n n n n a s a s a s s s s A sI BK A sI ΛΛμμμ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A ~ 应满足其自身的特征 方程，所以

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图

现代控制理论第2章l

第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程

组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统

现代控制理论试题与答案

现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控

现代控制理论课后习题答案

绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =

(完整word版)现代控制理论习题解答(第二章)

第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010A （6）? ???? ? ??? ???=λλλλ000100010000A 【解】： （1） ???? ? ? ????? ?++=?? ????+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11 111s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????-=????? ? ??????++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01 （2） ?? ? ???-=???? ? ? ??????+++- +=?? ????-=-=Φ-----t t t t s s s s s s L s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44 441 4}41{])[()(222211 111 （3） ??? ? ? ?????? ?++-+++=?? ????+-=-=Φ-----222211 111)1()1(1)1(1 )1(2 }211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ??? ? ????--+=Φ------t t t t t t te e te te e te t )( （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为

现代控制理论基础第二章习题答案

第二章 状态空间表达式的解 3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ???? ??-=2010A （2） ?? ? ???-=0410A （3） ??????--=2110 A （4） ???? ??????-=452100010A （5）?? ??????? ???=000010000100 0010 A （6）? ???? ? ??????=λλλλ000100010000A 【解】： （1） （2） （3） （4） 特征值为：2,1321===λλλ。 由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为 ???? ??????=421211101P ，??????????----=-1211321201 P 线性变换后的系统矩阵为： （5） 为结构四重根的约旦标准型。 （6） 虽然特征值相同，但对应着两个约当块。 或}0 100010000{ ])[()(1 111----?? ??? ????? ??------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。 【解】：

（1） （2） 特征方程为： 特征值为： 2,1321===λλλ。 由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。 求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得： 0110000000312111=????????????????????--P P P ，???? ? ?????=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得： 对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为： []??????????-==11001000132 1 P P P P ，???? ??????=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为： （3） 特征值为： 2,1321===λλλ。 即 (4) 3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。 （1）??? ???????-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001 )(（2）????????-=Φ--t t e e t 220)1(5.01)( （3）???? ??? ?+--+--=Φ--------t t t t t t t t e e e e e e e e t 22222222)(（4）? ??? ??? ?++-+-+=Φ----t t t t t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)( 【解】： （1） ∴不满足状态转移矩阵的条件。 （2） ∴满足状态转移矩阵的条件。 由)()(t A t Φ=Φ &，得A A =Φ=Φ)0()0(&。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最打印版)

第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

[]????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ????????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 0000000100 10000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 L1L2 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知:? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为: 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图 解:s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法

2.1 状态空间描述的基本概念 系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。 第一节基本概念 状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于，必有变量不独立；若少于， 又不足以描述系统状态。因此，当系统能用最少的个变量 完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。 选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值， 以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。而时 刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。 状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。

第七章---现场控制盘

第七章现场控制盘 在海上平台，一个大的处理系统，经常包含有多个子系统，如注水系统、分子筛干燥再 生系统、热油炉供热系统、丙烷制冷系统、三甘醇脱水及再生系统等。这些子系统规模较小，控制简单且相对独立，这些子系统的控制因此也常常采用现场控制PLC来实现子系统的控制，子控制系统PLC经过通讯方式与主控制系统相连，把它的数据信息传递给主控制系统，主控制系统又可将ESD信号通过硬线送到就地控制盘，实施对就地盘的关断，从而实现整个控制系统的集中管理与监视。也实现了平台控制系统的控制分散和危险分散的概念。 一、现场控制盘所用的控制系统 许多子系统都采用了性能好、可靠性高的A-B公司P LC的S LC500系列控制器，下面主要 介绍由SLC500系列控制器组成的现场控制系统。 1. 结构 SLC500系列控制器是为小规模应用而设计的可编程控制器，该系列有两种硬件结构：一种是用于固定式控制器，电源、CPU,I/O卡等都连为一体，不能随意配置；另一种用于模块式控制器，由于该系列可提供各种各样I/O模块，可以随意地、很经济地配置其控制系统。 一个SLC500系列的现场控制系统包括S LC硬件、显示终端、寻址、软件等。模块式现场 控制系统的结构如图4－1所示。 图7－1 模块式现场控制系统结构图 2. 硬件 SLC硬件包括安装框架、处理器模块、I／O模块、电源块等。 SLC安装框架均需要电源向处理器CPU及每个I／O槽供电。 处理器模块是现场控制系统的核心部分，它负责整个控制系统的数据处理、通讯、工作方式等。在处理器模块上有一个钥匙开关，使用钥匙开关可以改变处理器的操作方式。在处理器上有三种操作模式：运行（RUN）、编程（PROG）、远程（REM）。如表7-1 162

习题解答_现控理论_第2章

2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出 量。试列写状态空间模型。 题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 12212 1111i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+ =- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110 110x x L U L x x C RC ?? - ?? ????????=+???????? -???????? ???? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 12211 10C x y U x x R R R ?? ??= = =???????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式

现代控制理论课后习题答案

前言 本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。 本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。 书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。 由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。 编者 2005年5月 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。 图P2.1 解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。 设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则 2 12221c c c du u C R u u dt ++= (1) 1121 21c c c du u du C C dt R dt += (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：

1121121121212111 c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222 111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为： 1211 1211212121 212 1222222 21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+?? ? =--+?? ?==-?? 即: 1212112121111222222221111 1R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +???? -???? ?? ??? ???=+???????????? --??????? ? []11210x y u x ?? =-+???? 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 1 图P2.2 解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1 dy dt ，24dy x dt =。 根据牛顿定律对1M 有： 211311 () d x x M x Kx B dt -=--

赵明旺版习题解答_现控理论_第2章

习题解答 2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。试列写状态空间模型。 题图2-1 解:?(1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()()1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t?t 0时 刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t?t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ?? -??????????=+????????-? ????? ?????? && (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ?? ? ?= ==????? ???

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式 1 1 i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?? ????????=+???????? -? ???????????????=????? ??? &&