(完整)《一元二次方程》各节知识点及典型例题,推荐文档

第二章一元二次方程

第一节一元二次方程第二节一元二次方程的解法第三节一元二次方程的应用第四节一元二次方程根与系数的关系

五大知识点：

1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用

2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）

3、根的判别式

4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）

5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

【课本相关知识点】

1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。

2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）

3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是，a是，bx是，b是，c 是常数项

【典型例题】

【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值

例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？

【题型二】一元二次方程解的应用

例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）

A．-1 B．0 C．-1 D．-1或1

例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1

（1）试求a+b的值

（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根

【题型三】一元二次方程拓展开放型题

例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0

（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根

（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩固练习

1、下列方程中，是一元二次方程的为（）

A. x2= -1

B. 2x（x-1）+1=2x2

C. x2+3x=2

x

D. ax2+bx+c-0

2、已知关于x的方程mx2+(m-1)x-1=2x2-x，当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？

3、若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是

4、把方程 (x-1)2-3x （x-2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a-2+

23

1

a +的值

6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ） A. 1，0 B. -1，0 C. 1，-1 D. 1，2

7、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx-40=0的一个解，且a ≠b ，求2222a b

a b

--的值

【课本相关知识点】

（一）

1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的方法，叫做因式分解法。

2、因式分解法的理论依据是：若a b=0，则 或

3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是： （1）将方程的 化为0；

（2）把方程的另一边分解成 的乘积 （3）令每个因式 ，得到两个一元一次方程；

（4）分别解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解。

【在温州中考题中，若题中要求你用因式分解法解一元二次方程，只需要掌握两种分解因式的方法：① 提公因式法分解因式；② 用完全平方公式或平方差公式来分解因式】

（二）

4、开平方法：一般地，对于形如x 2=a （a ≥0）的方程，根据 的定义，解得x 1= ,x 2= ,这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。

5、① 形如x 2=a （a ≥0）或(x-a)2=b （b ≥0）的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解 ② 用直接开平方法解方程(x-a)2=b （b ≥0）得x 1= ，x 2=

（三）

6、配方法：把一元二次方程的左边配成一个 式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

7、利用配方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为一般形式

（2）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1

（3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项 （4）配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式

（5）求解：若方程的右边是非负数，就用开平方法求解；如果右边是个负数，就可以直接拉出原方程无实数解

（四）

8、一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠O ），如果b 2

-4ac ≥0，那么方程的两

根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成

（2）确定 的值（可以在大脑中确定，也可以在做题时写在题目中） （3）求出 的值

（4）若b 2

-4ac ＜0，则方程无实数解；若 ，则将a,b,c 和b 2

-4ac 代入公式出方程和解。

（五）

11、在一元二次方程的求根公式中，把 叫做一元二次方程的判别式。

12、b 2

-4ac 的值与一元二次方程的根的关系：

若b 2

-4ac ＞0，则一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠O ）有两个 实数解（或实数根）

若b 2

-4ac=0，则一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠O ）有两个 实数解（或实数根）

若b 2

-4ac ＜0，则一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠O ） 实数解（或实数根）

【典型例题】

1.（2004年浙江温州5分）方程(x －1)(x+2)(x －3)=0的根是 。 2、如果A 2-B 2=0，则下列结论中正确的是（ ） A. A=B B. A=-B C. A=B=0 D. A=B 或A=-B 3、一元二次方程x 2-4x+4=0的根是__________ 4、当a=_________，代数式(a-2)2 与4-2a 的值相等 5、用因式分解法解方程

（1）2

16100x x += （2）2(25)(1)(25)x x x x +=-+

★★★★6、（拓展）已知(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)= a 2+b 2+1，求a 2+b 2

的值

1、下列方程能用直接开平方法求解的是（ ） A. 5x 2+2=0 B. 4x 2-2x-1=0 C.

1

2

(x-2)2=4 D. 3x 2+4=2 2、若关于x 的一元二次方程5x 2

-k=0有实数根，则k 的取值范围是_________

3、已知(a 2+b 2-1)2=9，则a 2+b 2

=_________

4、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根是1，且a ，b 满足等式-4，求方程13

y 2

-2c=0的根

5、用开平方法解下列方程

（1）2

9(x 1)25-= （2）()2

6x 181-= （3）(x-1)2

=(3x-4)2

1、（1）x 2x+____=(x-____)2 （2）3x 2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x 2-5x+____=1

2

(x-____)2 2、若x 2+ax+9是关于x 的完全平方式，则常数a 的值是__________

3、多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是

4、一元二次方程x 2-px+1=0配方后为(x-q)2=15，那么一元二次方程x 2-px-1=0配方后为（ ） A. (x-4)2=17 B. (x+4)2=15 C. (x+4)2=17 D. (x-4)2=17或(x+4)2=17

5、若x 为任意实数，则x 2+4x+7的最小值为__________

★★★★当x=_______时，代数式3x 2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______

6、用配方法证明：关于x 的方程(m 2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m 为何值，此方程都是一元二次方程。

7、不论x 、y 是什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）

A. 总不小于2

B. 总不小于7

C. 可以为任何实数

D. 可能为负数 8、a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=0，则△ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D.等边三角形 9、若实数a ，b ，c 满足a 2+6b= -17，b 2+8c= -23,，c 2+2a=14，求a+b+c 的值

10、已知A=a+2，B=a 2-a+5，C=a 2+5a-19，其中a ＞2

（1）求证：B-A ＞0 （2）比较A 与C 的大小，并说明理由

11、用配方法解方程

（1）232x x -=- （2）2

3410x x +-= （5）2

(1)2(1)8x x +++=

1、（2013年浙江温州5分） 方程0122

=--x x 的根是__________ 2、若方程2x 2+mx+1=0，且b 2-4ac 的值是16，则m=__________

3、已知方程2x 2+4x+c=0，且b 2-4ac=0，则方程的根为

4、已知关于x 的一元二次方程(ax+1)(x-a)=a-2的各项系数之和等于3，求方程的解。

5、用求根公式法解方程

（1）2

2x 5x 30+-= （2) 2

2x 13x +=

1、（2013?珠海）已知一元二次方程：①x 2+2x+3=0，②x 2﹣2x ﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A ．①②都有实数解 B ．①无实数解，②有实数解 C ．①有实数解，②无实数解 D ．①②都无实数解

2、（2013?咸宁）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．﹣1

3、（2013兰州）若

，且一元二次方程kx 2+ax +b =0有两个实数根，则k 的取值范围是

★★★★★已知关于x 的一元二次方程(1-2k)x 2

k x -1=0有实数根，求k 的取值范围。

4、已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根 （1）求k 的取值范围；

（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

5、已知关于x 的方程x2-(2k+1)x+4(k-

12

)=0 （1）求证：这个方程总有两个实数根

（2）若等腰△ABC 的一边长a=4，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长。

【课本相关知识点】

（一）

1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：

（1）审清题意：明确问题中的已知量、未知量及量与量之间的关系

（2）设未知数：把问题中的未知量用字母表示出来。一般有直接设未知数和间接设未知数

（3）列方程：把题目中的相等关系用含未知数的等式表示，得到一元二次方程

（4）解方程：把所列的一元二次方程的未知数求出来

（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。

2、解决销售问题的依据是：销售利润=（售价-进价）×销量。其一般规律是：售价下降，则销量上升；反之，售价上升，则销量下降

3、（1）平均增长率公式：

其中a是基础量，b是增长后的量，n是增长的次数，x是平均增长率

（2）平均减少率公式：

其中a是基础量，b是减少后的量，n是减少的次数，x是平均减少率

补充：4、传染问题：（几何级数）

传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】

患者：第一轮后：共（1+x）个

第二轮后：共（1+x）?（1+x），即(1+x)2个

第三轮后：共（1+x）?（1+x）?（1+x），即(1+x)3个

……

第n轮后：共有(1+x)n个

注意：【上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a，则第n轮后患者共为：a(1+x)n个】

补充：5、赛制循环问题：

单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共1

2

x（x-1）场；

双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；

注意：【单循环比双循环少了一半】

补充：6、数字问题

解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法

多位数的表示方法：两位数=十位上的数字×10+个位数字；

三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字，依次类推

补充：7、银行利率应用题（含利滚利问题）：与前面的平均增长率问题类似

（年利率为a%）

存一年的本息和：本金×(1+年利率），即本金×（1+ a%）

存两年的本息和：本金×(1+年利率)2，即本金×(1+ a%)2

存三年的本息和：本金×(1+年利率)3，即本金×(1+ a%)3

存n年的本息和：本金×(1+年利率)n，即本金×(1+ a%)n

（二）

1、列一元二次方程解决面积问题时，其解题的关键是掌握三角形、长方形、正方形、梯形、圆等各种几何图形的面积公式

2、动点问题：列一元二次方程解决动态几何问题时，首先应根据题意正确地画出图形，结合图形分析运动过程，再设出运动时间，用未知数表示线段的长度，找出等量关系，建立一元二次方程模型求解，同时切记要检验解的合理性。

3、等积变形（等积变形一般都是涉及常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等）

【典型例题】 【例1】、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

解：设每件售价x 元，则每件利润为（x-8）元，每天销售量则为（105

.010

200?--

x ）件 由题意，得：()6408105.010200=-??

?

???--

x x 解这个方程得， x 1=12，x 2=16。经检验，都是方程的解，且符合题意。

答：当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元。

练习1、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。

练习2、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元？

【例2】、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，后经加强改进激利机制，激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)

解：设三、四月份平均每月的增长率为x ，

依题意，得60(1―10%)(1+x)2=96 整理得：()9

1612

=

+x 解得：x 1= 31，x 2= 3

7

-(舍去) 答：平均每月的增长率为33.3%．

练习1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖

出(350―10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？

分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：

【例3】、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？

【例4】、某人将2000元按一年定期存入银行。到期后取出1000元，并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少？

【例5】、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分,如果平局，两个选手各记1分。有四个同学统计了全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985。经核实，有一位同学统计无误，试计算这次比赛共有多少个选手参加？

解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)/2局，由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分。显然(n－1)与n为相邻的自然数，由于，相邻两个自然数乘积的末位数字只能是0，2，6。故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980。

则有：n(n－1)＝1980，

整理得：n2－n－1980＝0

解之得n1＝45，n2＝－44（舍去）.

答：参加比赛的选手共有45人.

★★★（2013?贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．

（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（KEY：20%）

（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．（KEY：不超过18%）

★★★（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？（KEY：9元）

A

C B P Q 【例1】、（2013?昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）

A ．100×80﹣100x ﹣80x=7644

B ．（100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644

C ．（100﹣x ）（80﹣x ）=7644

D ．100x+80x=356

练习1、如图，在长70m ，宽40m 的长方形花园中，计划修建宽度相等的观赏路（图中阴影部分所示），要使观赏路的面积占总面积的

1

8

，则路宽x 应满足的方程是（ ） C.（40-2x ）（70-3x ）=350 D.（40-x ）（70-x ）=2450

练习2、用长为100cm 的金属丝制成一个矩形框子，框子的面积不可能是（ ） A. 325cm 2 B. 500cm 2 C. 625cm 2 D.800cm 2

练习3、有一个面积为160dm 2的长方形，将它的一边剪短10dm ，另一边剪短4dm ，恰好变成一个正方形，则这个正方形的边长为

练习4、李明的爸爸从市场上买回来一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m 的正方形后，

剩下的部分刚好能围成一个容积为15m 3

的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2m ，现已知购买这种铁皮每平方米需30元，问李明爸爸购回这张矩形铁皮共花了多少钱？ (KEY:1050元)

【例2】、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.

（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？

（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

★★★★★练习1、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒。

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

【例3】、某军舰以每小时20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以每小时30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB＝90海里.如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。

【课本相关知识点】

1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2= ，x1·x2= （韦达定理）

2、使用根与系数的关系的前提条件是有两根，所以必须满足

【温馨提醒】使用韦达定理时，要先把方程变为一般式

【典型例题】

【例1】、不解方程，写出方程x(x-4)=2-8x的两根x1、x2的和与积：x 1+x2= ，x1·x2=

练习1、已知实数a，b分别满足a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，则a+b的值是

练习2、设下列方程的两根为x1、x2，不解方程，直接计算：

（1）x2-3x-5=0，求x12·x2+ x1·x22的值

（2）x2+2x-1=0，求x12 +x22的值

练习3、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2-3x+a=0的两个解，若(m-1)(n-1)=-6，则a 的值为

练习4、解一元二次方程x 2+bx+c=0时，甲看错了方程的常数项，因而得出的两根为8和2；乙看错了方程的一次项系数，因而得到的两根为-9和-1，那么正确的方程为

练习5、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2

-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

练习6、若关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数根是x 1、x 2 （1）求k 的取值范围

（2）如果x 1+x 2-x 1·x 2＜-1，且k 为整数，求k 的值

练习7、关于x 的方程kx 2

+(k+2)x+

4

k

=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

单元检测

一、选择题

1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）

A ()()12132

+=+x x B 、02112=-+x x C 、02=++c bx ax D 、 1222-=+x x x

2、已知3是关于x 的方程

0123

42

=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14

3、关于x 的一元二次方程02

=+k x 有实数根，则（ ）

（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0 4、已知x 、y 是实数，若0=xy ，则下列说法正确的是（ ）

（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y 5、若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ） （A ）±

2

1

（B ）±1 （C ）±22 （D ）±2

6、若方程02

=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） （A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定 7、用配方法解关于x 的方程x 2

+ px + q = 0时，此方程可变形为 ( )

A 、22()24p p x +

= B 、224()24

p p q x -+=

8、使分式256

1

x x x --+ 的值等于零的x 是( )

（A ）6 （B ）-1或6 （C ）-1 （D ）-6 9、方程0)2)(1(=-+x x x 的解是（ ）

（A ）—1，2 （B ）1，—2 （C ）、0，—1，2 （D ）0，1，—2

10、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )

（A ）x(x ＋1)＝1035 （B ）x(x －1)＝1035×2 （C ）x(x －1)＝1035 （D ）2x(x ＋1)＝1035

二、填空题

11、把一元二次方程4)3(2

=-x 化为一般形式为： ，二次项为： ，一次项系数为： ，常数项为：

12、已知方程x 2

+kx+3=0 的一个根是 -1，则k= , 另一根为

13、一元二次方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2，则x 1－2x 2＝_______

14、直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是20㎝，那么这个三角形的面积是

15、一个长100m 宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m 的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m ，那么x 等于多少时，水上游乐场的面积为20000㎡？列出方程 ，能否求出x 的值 （能或不能）。 16、方程492

=x 与a x =2

3的解相同，则a = 。

17、当t 时，关于x 的方程032

=+-t x x 可用公式法求解。 18、若实数b a ,满足02

2

=-+b ab a ，则

b

a

= 。 19、若8)2)((=+++b a b a ，则b a += 。

20、已知1322++x x 的值是10，则代数式1642++x x 的值是 。

三、解答题

21、解方程 (1)（x －2）（x －5）=－2 （2）0432=-+x x （3）)4(5)4(2

+=+x x

22、已知关于x 的方程01)(222=-++-a ax x a a

（1）当a 为何值时，方程是一元一次方程； （2）当a 为何值时，方程是一元二次方程；

（3）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a 的值．

23、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另三边用总长40m的木栏围成。

m；

（1）试通过计算说明鸡场的面积能达到1802

（2）鸡场的面积能达到250m2吗？为什么？

24、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？（只列式不计算）

25、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。

（1）根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为公顷，比2002年底增加了公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是年；

（2）为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试04，05两绿地面积的年平均增长率。

26、某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元。已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；

（2）求3月份时该电脑的销售价格。

27、在日常生活中，我们经常有目的地收集数据，分析数据，作出预测．

(1)下图是小芳家2009年全年月用电量的条形统计图。

根据图中提供的信息，回答下列问题：

①2009年小芳家月用电量最小的是月，四个季度中用电量最大的是第季度；

②求2009年5月至6月用电量的月增长率；

(2)今年小芳家添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5月至6月用电量月增长率是6月至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时?

28、如图，正方形OABC的边长为4cm，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，M是BC的中点。点P从点O开始沿射线OC以1cm/s的速度运动，直线PM交直线AB于点D。设点P运动的时间为t秒，

（1）当t为何值时，PD的长为5cm；

（2）当△APD是等腰三角形时，求t的值

圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.

注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交???时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=?时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121??-=r r d ； ⑤ 无公切线内含??-<<210r r d ；

《圆》知识点归纳及相关题型整理

第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结 一、和圆有关的基本概念 1.圆： 把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧。 劣弧：小于半圆的弧。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。 推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0

知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3

(完整版)实数知识点及例题

实数习题集 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ，11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 例3．化简： （1）233221-+-+ - 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a a - )0(=a )0(< a

（2 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简：x z x y y z x z x z ---++++ -。 y x z

圆的知识点总结与典型例题

圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以 圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推 出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两 条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90 °的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对 角。 探8.轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； 2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； 3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1.已知：如图1，在。O中，半径0M丄弦AB于点N。 图1 ①若AB = , ON = 1，求MN的长； ②若半径0M = R，/ AOB = 120。，求MN的长。 解：①??? AB =，半径0M 丄AB，二AN = BN =

初二函数知识点及经典例题.

第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．

实数知识点汇总及经典知识讲解

)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-

减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； - 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 / 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r # 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r

D B B A 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； / （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD " 圆心角定理 ~ 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 ~ 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径 " BC BD =AC AD =

中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题

初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称

点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质

北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

实数 知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2 ≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。 （3）若 x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】： 1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根 号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此， 算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ．24±=； （ C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2 )3(-的算术平方根是 。 （4）若x x -+ 有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32 =-+-b a ，求c 的取值范围。 （7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根. 64； 121 49 ； 0.0004； (－25)2； 11. 1.44， 0，8， 49 100 ， 441， 196， 10－4

圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂 线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ?d r >?无交点； 2、直线与圆相切 ?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交 ?d r

四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点 ?d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ?d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ?R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ?d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ?d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 图1 图 3 r R d 图2

函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)

第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数

二次根式知识点及典型例题练习

第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)

例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54

实数知识点总结及练习题

)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数? ???????? ? ???????--???---)()32,21() 32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ??? ?????????? 实数第一章 勾股定理 姓名 座号 班级 一、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 三、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（6，8，10）；（9，12，15）；（这些勾股数组的倍数仍是勾股数） 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

二、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a ”，读作根号a 。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数a 的平方根记做“a ± ” ，读作“正、负根号a ”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。 0≥a 注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。 表示方法：记作3a 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：a+b=0，a=—b ， 2、绝对值：若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1 4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

初三数学圆的知识点总结及例题详解

初三数学圆的知识点总 结及例题详解 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形.

圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数 是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . ° ° ° ° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离 为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° 7．已知：如图，⊙O 中,弧AB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . ° ° ° 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . ° ° ° ° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. .4 C D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝, 那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . 个 个 个 D.不能确定 ? B ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D D C A O ? D B C A O ? D B C A O

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法： 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这 样表示。 三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个