排列组合典型例题
典型例题一
例1用O到9这10个数字?可组成多少个没有重复数字的四位偶数？
解法1:当个位数上排“ O”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；
当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百
位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4 A8 A S (个)????没有重复数字的四位偶数有
A；+A4 A A2 =504 +1 7922296K
典型例题二
例2三个女生和五个男生排成一排
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，
三个女生之间又都有A I对种不同的排法，因此共有A A^= 4320种不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出
一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都
不相邻.由于五个男生排成一排有As种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位
置中选出三个来让三个女生插入都有A种方法，因此共有A A63 =14400种不同的排法.
(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A f种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有Ae种排法，所以共有
A A e =14400种不同的排法.
(4)解法1:因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受
条件限制了，这样可有A5A7种不同的排法；如果首位排女生，有A1种排法，这时末位就只能排男生，有A5种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有A种不同的排法，这样
可有A3A5A65种不同排法.因此共有A5A + A3A1 Aθ =36000种不同的排法.
.. 8 2 6 解法2:3个女生和5个男生排成一排有A S种排法，从中扣去两端都是女生排法A3 A6
种，就能得到两端不都是女生的排法种数.
因此共有A8 - A；A = 36000种不同的排法.
典型例题三
例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
5
解：(1)先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放
入舞蹈节目，共有A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A f Ae = 43200.
(2)先排舞蹈节目有A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A A f = 2880种方法。
典型例题四
例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.
分析与解法1：6六门课总的排法是A ,其中不符合要求的可分
5 5
为：体育排在第一书有A种排法，如图中I；数学排在最后一节有A5
种排法，如图中n；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中川，
这种情况有A：种排法，因此符合条件的排法应是：
6 5 4
A -2A5 A4 -504 (种).
典型例题五
例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？
分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入?因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.
解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A f =6种安排方法；第二步
把3名售票员安排到3辆车中，有启=6种安排方法?故搭配方案共有
3 3
A3 A3 -36 种.
例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表?如果有4所重点院校，每所院校有3个
专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？
解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并
加排列，共有A4种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其
2 2 2 顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有A
3 A3 A3种.综合以上两步，由分步计数
原理得不同的填表方法有：A4 A3 A f兀=5184种.
典型例题七
例5 7名同学排队照相.
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑷若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？解:
(1) A； A：=5040 种.
⑵第一步安排甲，有A3种排法；第二步安排乙，有A I种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有A5种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有A3 A4 1440 种.
(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排
列问题，有A5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有A33种排法.由分步计数原理得，共有A5 A3^720种排法.
(4)第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名
3
男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有A5种插入方法.由分步计数原理得，
符合条件的排法共有：A： A；= 1440种.
例8从2、3 4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和.
解：形如丽2]的数共有A个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是A 2 ;形如FT乔] 的数也有A个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是A4 2 10 ；形如丽阳的数也有A4 个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和应是A 2 100 .这样在所有三位数的和中，由“ 2 ”产生的和是2111 .同理由3 4、5、6产生的和分别是3 111 , A2 4111 , A2 5 111 , A；" 6 111 ,因此所有三位数的和是A；" 111 (2 3 4 5 6H 26640 .
典型例题九
例9计算下列各题：
m -1 n -m
2 6 A n _1 * A n _m
(1) A15 ；(2) A ; (3) —-nj—；
A n^
1 2 3 n—1
(4) 1! 2 2! 3 3! n n! (5) 亠亠亠亠
2! 3! 4! n!
解：⑴ A25 =15 14=210 ；(2) A65=6!=6 5 4 3 2 1 = 720;
…5— 1)! 1 (n— 1)! 1
(3)原式(n -m)! (n - m)! 1 ；
[n -1-(m-1)!] (n— 1) ! (n— m)! (n — 1)!
⑷原式=(2! -1) (3! - 2!) (4 ! -3!)…[(n 1) ! -n ! ] = (n 1) ! -1 ;
⑸??? F 1 - 1,??? 1 2 3「一1 n! (n — 1)! n! 2! 3! 4! n!
IIIIII 1 1 1
=—-—+ — - —+ — -—+ …+------------ - — = 1 _ —
1! 2! 2! 3! 3! 4! (n -1) ! n! n「
本题计算中灵活地用到下列各式：
n ! = n(n -1)! ; nn !=( n，1)!- n! ; n—1 1~ ；使问题解得简单、快捷.
n ! (n — 1)! n !