拓扑学第五章 连通性

第五章 连通性

普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：

例： 设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中

1{(,sin )(0,1)}A x x x

=∈

{(0,)11}B y y =-≤≤

如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。

▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定；

2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。

前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。 在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。

§5-1 连通空间

先看一个例子：

考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。它们是不交的，（即交为空集）。但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”；

而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。 原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。 为此，给出一个“分离”的概念。

定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ?=?与A B ?=?，则称A 与B 是分离的。

定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。 ●显然，连通与下面几种说法是等价的。

① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集；

④ X 中只有X 和?是既开又闭的。

上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。

例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。

（2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。 （3）1E 空间是连通的。

结论（3）是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。

证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。 以下是证明：

不妨设A 是1E 的非空真闭集，于是只要证明A 不会是开集。

设A 的下确界为a ，上确界为b 。因为A 是闭集，则有,a A b A ∈∈。

又设x A ?，不妨假定x a <（对于x b >情形可作类似的讨论），由于(,)x a A ?=?，即a 不是A 的内点，从而A 不是开集。证毕。

下面讨论连通空间的性质。

定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。

证明： 设X 连通，:f X Y →连续，我们要证明()f X 也连通。

不妨设()f X Y =（否则也可以考虑:()f X f X →）。又设B 是Y 的既开又闭的非空子集，则

1()f B -是X 的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质）。

又由于1

()f

B -非空，并且X 是连通的，故只要1()f B -X =（不可能为?），因为映射是满射，

从而B Y =，这说明Y 的既开又闭的非空子集只能有Y 。于是，Y 是连通的。 例2 单位圆1

S 是连通的。

因为1

E 是连通的，且有映射1

1

2:,()i x

f E S f x e

π→=，有11

()f E S =。

例3 设1

A E ?，则A 连通 ? A 是区间。 例3可作为定理1的推论。

推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间）。

事实上，这个推论适于R 上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作理解即可。

即，设X 连通，1

:f X E →，根据例3。推论立证。

引理1 若B 是X 的既开又闭子集，A 是X 的连通子集，则或者A B ?=?，或者A B ?。 证明：显然A B A ??。由于A 是连通的，则A 不可能存在既开又闭的子集A B ?，则要么

A B ?=?，要么A B A ?=，即A B ?。

定理2 若有一个连通的稠密子集X ，则X 连通。 证明：思路：证明X 的既开又闭子集只有X 和?。

设A 是X 的连通稠密子集，且B 是X 的既开又闭子集。如果B ≠?，则必有A B ?≠?。由引理1，有A B ?。

于是，X A B B =?=，从而B X =。因此，X 的既开又闭子集只有X 和?。 推论2 若A 是X 的连通子集，且A Y A ??，则Y 连通。 注释：这是因为A 是Y 的稠密子集，由定理2，立得推论。 ●下面的定理给出判断连通性的一个常用法则。 定理3 如果X 有一个连通覆盖

（即

中每个成员都是连通的），并且X 有一连通子集A ，

A 与中每个成员都相交，则X 连通。

定理意义的解释：

中每个成员都是连通集，它们构成X 的

覆盖，它们之间不一定都有交，但是存在一个X 的子集A ，A 与它们都相交。

证明： 证明思路：X 的既开又闭子集只有X 和?。

设B 是X 的既开又闭子集，A 是X 的一连通子集。根据引理1，要么A B ?=?，要么

A B ?。

如果A B ?=?，则U ?∈，因U A ?≠?，所以 U

?B ，并且由引理，必有U B ?=?

（注：U 是连通子集），则

(

)()U U B U B U B ∈

∈

=?=

?=?

又，如果A B ?，则U ?∈，U B U A ???≠?，由引理，必有U B ?，则

U U B ∈

?

又，

U U X ∈

=，故有X B ?，即X B =。

证毕。

例4 我们可以利用定理3的方法去证明2

E 是连通的。

记1

{(,)}x B x y y E =∈，显然，1

2

x x E E B ∈=

。

即1{}x x E B ∈是2

E 的覆盖，而x ?，x B 是连通的（∵1

E 连通） 故1{}x x E B ∈是2

E 的连通覆盖。

记1

{(,0)}A x x E =∈，则A 连通，,x x A B ??=?。由定理3知，2E 连通。

利用归纳法，可以证明n

E 连通。

u 1 u 2 u 3

u 4 u 5

定理4 连通性是可乘的。

证明： 设,X Y 都是连通空间，则{{}}X y y Y ?∈是X Y ?的连通覆盖。取x X ∈，则{}x Y ?连通，且与每个{}X y ?都相交。由定理3知，X Y ?连通。

证毕。

§5-2 连通分支与局部连通空间

连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。

定义3 拓扑空间X 的一个子集称为X 的连通分支，如果它是连通的，并且不是X 其他连通子集的真子集。

注释：说A 是X 的一个连通分支，即，若X 的子集B A ?，且B A ≠，则B 一定不连通。也就是说，连通分支是极大连通子集。

如果X 是连通的，则它只有一个连通分支，即X 自身。 命题1 连通分支是闭集。

证明： 设A 是X 的一个连通分支，由定理2，A 也是连通的。由A 的极大性推出A A =。因此，A 是闭集。

例如，在1E 中，(,)a b 区间是连通的，则[,]a b 也是连通的。

定义4 拓扑空间X 称为局部连通的，如果x X ?∈，x 的所有连通邻域构成x 的邻域基。

注释：关于“局部连通的”有多种定义表达形式。

粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小”的连通邻域。

“对于x X ∈，x 的每一个邻域U ，存在x 的一个连通邻域V ，使得V U ?，此时称x 处局部连通的；如果X 的每一点x 都是局部连通的，称X 是局部连通的”。

这一解释可以从定义4直接推出。 ●连通与局部连通的关系： （1）局部连通的空间不一定是连通的。

例如，R 的子空间[1,0)(0,1]-?是不连通的，但它是局部连通的。 （2）连通的空间未必是局部连通的。

例如，设是2

R 的子空间：X A B =?，其中 {(,)0,11}A x y x y ==-≤≤ 1

{(,)01,sin }B x y x y x

=<≤=

这里X 被称为“拓扑学家的正弦曲线”，事实上，可以看出

X B =。

因为，B 是在连续映射1

()(,sin )f x x x

=下的区间(0,1]的象，故B 是连通的。

又X B =（即A 是B 的极限点或称聚点集合），故X 也是连通的。而X 在A 的每一点p 处都不是局部连通的，因而，X 不是局部连通的。

命题2 局部连通空间的连通分支是开集。

证明：设X 局部连通，A 是X 的一个连通分支，x A ?∈，x 有一连通邻域V 使得V A ?，所以x 是A 的内点。因此，A 为开集。

§5-3 道路连通性（弧连通性）

一、关于道路（或弧）的概念

道路是“曲线”概念的抽象化。

曲线可以看作点的运动轨迹。如果将运动的起点、终点时刻分别记为0和1，则运动就是闭区间[0,1]到空间的一个连续映射，曲线就是这个映射的象。

拓扑学中把这个连续映射称作道路或弧。

定义5 设X 为拓扑空间，从闭区间[0,1]到X 的一个连续映射:[0,1]f X →称为X 中连接点(0)f 到(1)f 的弧或道路。(0)f 和(1)f 分别称为道路f 的起点和终点（统称端点）

。 注释： 道路或弧是指映射f ，而不是它的象。象集([0,1])f 是X 中的曲线。两者不是同一个概念，有区别。

定义6 对于X 中任意两点,x y ，都存在X 中的道路:[0,1]f X →,(0)f x =,(1)f y =，则称X 为道路连通的。

例：1

E 是道路连通的。因为对于任意1

,x y E ∈，定义道路

1:[0,1]f E →, ()()f t x y x t =+-?，[0,1]t ∈

▲ 1

E 中任一区间也是道路连通的。 定理5 若则X 一定是连通的。

证明： 设X 是道路连通的，01,x x X ?∈,则有X 中的道路f ，使得0(0)f x =,1(1)f x =.于是01,x x 在X 的同一连通子集([0,1])f 中，从而它们属于同一连通分支。

由于01,x x 的任意性，故X 只有一个连通分支，即X 连通。

★ 注：定理5说明：

道路连通 ? 连通， 但是连通 ?（未必）道路连通 例如，在前面讨论过的例子中，2

R 中图形1

sin

,(01)y x x

=<≤记为B ，Y 上闭区间[1,1]-记

为A 。我们知道X A B B =?=，且B 是连通的，则B 也是连通的（即X 连通）。

但是，A 中任一点与B 中任一点不能用道路连接，即X 不是道路连通的。 定理6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。

证明：设X 是道路连通的，:f X Y →连续，01,()y y f X ?∈，取1

10011(),()x f y x f y --∈∈。

由于X 道路连通，故有道路F ，使得(),0,1i F i x i ==，于是f

F 是()f X 中的道路，且

(),0,1i f F i y i ==。这即证明了()f X 是道路连通的。

二、道路连通分支

在拓扑学中规定它的点之间的一个关系～：

若点x 与y 可用X 上的道路连接，则说与y 相关，记做x y （弧连通的）

。 可以证明，～是一个等价关系。

定义7 拓扑空间X 在等价关系～下分成的等价类，称为X 是道路连通分支，简称道路分支。 根据定义7，下面的结论是显然的：

（1）x X ?∈，x 仅属于X 的某一个（唯一的）道路分支。 （2）X 的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。 （3）X 是道路连通的 ? 它只有一个道路分支。 （4）拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。

附录：代数拓扑学中常见概念介绍

（一）关于流形概念

球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。

但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局部欧氏特性的拓扑空间成为流形。

定义1 一个Hausdorfrf 空间X 称为n 维（拓扑）流形，如果X 的任一点都有一个同胚于n

E 的开邻域。

★二维流形称为曲面。如2

E ，2

S （球面），2

T （环面），平面和M ?bius 带都是曲面。 ★没有边界点（全是内点）的紧致连通曲面称为闭曲面。 研究曲面分类问题是代数拓扑的一项重要内容。

（二）关于同伦与基本群概念

同伦与基本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。

在拓扑学中，利用道路概念替代曲线，道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形（道路收缩变形）的概念。

定义2 设,f f '是[0,1]X →的两个道路，且f 和f '都以0x 为起点，以1x 为终点。如果存在连续映射:[0,1][0,1]F X ?→使得对于每一个[0,1]s ∈和[0,1]t ∈，

0(,0)(),(0,),F s f s F t x == 1

(,1)()

(1,)F s f s F t x '==

则称f 与f '是道路同伦的，F 称为f 与f '之间的一个道路同伦，记f f '。

解释：所谓f 与f '同伦，意味着f 可以“连续的”变为f '。

★易知，同伦关

系

是等价关系。X 的所有道路在

下分成的等价类称为X 的道路类。

从分析知，所谓f 与f '同伦，即X 上存在道路f 到f '的连续变形。

从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上则不可以。见下图。

这种差别可以反映闭曲面的不同几何特征。 ●关于道路的乘法和逆

设a 是拓扑空间点x 到y 的道路连接，b 是y 到z 的道路连接，定义道路a ，b 的乘法ab 是从

x 到z 的道路连接。（ab 是道路a ，b 的乘法）。

当a 从x 连接y ，则a 是从y 连接x 的道路，a 称为a 的逆。 于是，下属结论是正确的。

F

X

1

（1）若a b，则a b。

（2）若a b，c d，且ac有意义，则ac bd。

的闭合道路为对象，

●在拓扑空间X上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为0x X

在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为X的基本群。

S，2T等上的基本群性质）。

●代数拓扑学的一项重要内容即是研究基本群的性质（不同流形2