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2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编

第33章 直线与圆的位置关系

一、选择题

1. (2011宁波市,11,3分)如图,⊙O 1的半径为1,正方形ABCD 的边长为6,点

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O 2为正方形ABCD 的中心,O 1O 2垂直AB 与P 点,O 1O 2=8.若将⊙O 1绕点P 按

顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现

A . 3次

B .5次

C . 6次

D . 7次 【答案】B

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2. (2011浙江台州,10,4分)如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l

上的一个动点,PB 切⊙O 于点B ,则PB 的最小值是( )

A.

13 B.5 C. 3 D.2

【答案】B

3. (2011浙江温州,10,4分)如图,O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,⊙O 边AB ,

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BC 都相切,点E ,F 分别在边AD ,DC 上.现将△DEF 沿着EF 对折,折痕EF 与⊙O 相切,此时点D 恰好落在圆心O 处.若DE =2,则正方形ABCD 的边长是( ) A .3

B .4

C

.2+

D

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【答案】C

4. (2011浙江丽水,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A ,B ,C 作一

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圆弧,点B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( ) A .点(0,3) B .点(2,3) C .点(5,1) D .点(6,1) 【答案】C

6. (2011山东日照,11,4分)已知AC ⊥BC 于C ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,下列选项

中⊙O 的半径为

b

a a

b +的是( )

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【答案】C

7. (2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB

的延长线于D ,且CO=CD ,则∠PCA=( ) A .30° B .45° C .60° D .67.5°

【答案】D

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8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是AB 延长线上一点,BC =OB ,CE 是⊙O 的切线,切点为D ,过点A 作AE ⊥CE ,垂足为E ,则CD :DE 的值是( )

A .

12

B .1

C .2

D .3

【答案】C

9. (2011台湾全区,33)如图(十五),AB 为圆O 的直径,在圆O 上取异于A 、B 的一点C ,

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并连接BC 、AC .若想在AB 上取一点P ,使得P 与直线BC 的距离等于AP 长,判断下列四个作法何者正确?( ) A .作AC 的中垂线,交AB 于P 点

第13题图

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B.作∠ACB的角平分线,交AB于P点

C.作∠ABC的角平分线,交AC于D点,过D作直线BC的并行线,交AB于P点

D.过A作圆O的切线,交直线BC于D点,作∠ADC的角平分线,交AB于P点

【答案】D

10.(2011甘肃兰州,3,4分)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,

DC切⊙O于点C,若∠A=25°,则∠D等于()

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

11.(2011四川成都,10,3分)已知⊙O的面积为2

9cm

π,若点0到直线l的距离

为cm

π,则直线l与⊙O的位置关系是()

(A)相交(B)相切(C)相离(D)无法确定

【答案】C

12. (2011重庆綦江,7,4分) 如图,PA、PB是⊙O的切线,切点是A、B,已知∠P=60°,

OA=3,那么∠AOB所对弧的长度为()

A.6л B.5л C.3л D.2л

【答案】:D

13. (2011湖北黄冈,13,3分)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的

延长线于D,且CO=CD,则∠PCA=()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

【答案】D

14. (2011山东东营,12,3分)如图,直线

3

y x

=+x轴、y分别相交与A、B

两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切与点O。若将圆P沿x轴向左移动,

当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P′的个数是()

A.2 B.3 C.4 D. 5

【答案】B

15. (2011浙江杭州,5,3)在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的

圆()

A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交

C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离

【答案】C

16. (2011山东枣庄,7,3分)如图,P A是O

⊙的切线,切点为A,PA,∠APO=30°,则O

⊙的半径为()

A.1

B.

C.2

D.4

【答案】C

二、填空题

1.(2011广东东莞,9,4分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点,连

结BC.若∠A=40°,则∠C=°

【答案】0

25

2. (2011四川南充市,13,3分)如图,PA,PB是⊙O是切线,A,B

是⊙O的直径,若∠BAC=25°,则∠P= __________度.

【答案】50

3. (2011浙江衢州,16,4分)木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.

的较短边紧靠O

,并使较长边与O

相切于点C.

B,较短边8cm

AB=.若读得B C长为cm

a,则用含a的代数式表示r

【答案】当08

a

<≤时,r a

=;

P

A

第13题图

A

B

D

O

C

当2

2

118 4.08,;416

16

a r a r r a r a >=

+<≤==

+时,或当当.

4. (2011浙江绍兴,16,5分) 如图,相距2cm 的两个点,A B 在在线l 上,它们分别以2 cm/s 和1 cm/s 的速度在l 上

同时向右平移,当点,A B 分别平移到点11,A B 的位置时,半径为1 cm 的1A 与半径为1B B 的B 相切,则点A 平移到点1A 的所用时间为 s. 【答案】1

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33或

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5. (2011江苏苏州,16,3分)如图,已知AB 是⊙O 的一条直径,延长AB 至C 点,使得AC=3BC ,CD 与⊙O 相切,切点为D.若CD=3,则线段BC 的长度等于__________. 【答案】1

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6. (2011江苏宿迁,17,3分)如图,从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ,切点为B ,连接AO 并延长交圆于点C ,连接BC .若∠A =26°,则∠ACB 的度数为 .

【答案】32

7. (2011山东济宁,13,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,BC =4cm ,以点C 为圆心,以3cm 长为半径作圆,则

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⊙C 与AB 的位置关系是 .

【答案】相交

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8. (2011广东汕头,9,4分)如图,AB 与⊙O 相切于点B ,AO 的延长线交⊙O 于点,连结BC.若∠A =40°,则∠C = °

【答案】025

9. (2011山东威海,17,3分)如图①,将一个量角器与一张等腰直角三角形(△ABC )纸片放置成轴对称图形,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,半圆(量角器)的圆心与点D 重合,没得CE =5cm ,将量角器沿DC 方向平移2cm ,半圆(量角器)恰与△ABC 的边AC 、BC 相切,如图②,则AB 的长为 cm.(精确到0.1cm )

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图① (第17题) 图②

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【答案】 24.5 10.(2011四川宜宾,11,3分)如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点,AC 是⊙O 的直

径,∠P=40°,则∠BAC=_____. 【答案】20° 11. (2010湖北孝感,18,3分)如图,直径分别为CD 、CE 的两个半圆相切于点C ,

大半圆M 的弦AB 与小半圆N 相切于点F ,且AB ∥CD ,AB=4,设 C

D 、 C

E 的长分别为x 、y ,线段ED 的长为z ,则z (x+y )= . 【答案】8π 三、解答题

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1. (2011浙江义乌,21,8分)如图,已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直,垂足 为点E . ⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ,且AD =3,cos ∠BCD= .

(1)求证:CD ∥BF ;

(第

11

第13题

A

l

A

(2)求⊙O 的半径; (3)求弦CD 的长.

【答案】(1)∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB ⊥BF ∵AB ⊥CD

∴CD ∥BF

(2)连结BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB =90° ∵∠BCD =∠BAD cos ∠BCD =4

3

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∴cos ∠BAD =

4

3=AB

AD

又∵AD =3 ∴AB =4 ∴⊙O 的半径为2

(3)∵cos ∠DAE =

4

3=

AD

AE AD =3∴AE =

4

9

∴ED =4734932

2=??

?

??-

∴CD =2ED =37

2

2. (2011浙江省舟山,22,10分)如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC .

(1)求证:CA 是圆的切线;

(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =

3

2,tan ∠AEC =

3

5,求圆的直径.

【答案】(1)∵BC 是直径,∴∠BDC =90°,∴∠ABC +∠DCB=90°,∵∠ACD =∠ABC , ∴∠ACD +∠DCB=90°,∴BC ⊥CA ,∴CA 是圆的切线. (2)在Rt △AEC 中,tan ∠AEC=

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53

,∴

5

3A C

E C =

,3

5

E C A C =

;

在Rt △ABC 中,tan ∠ABC=23,∴

23A C B C =,3

2

B C A C =; ∵BC -EC=BE ,BE =6,∴3362

5

AC AC -

=,解得AC =

203

,

∴BC=

3201023

?=.即圆的直径为10.

3. (2011安徽芜湖,23,12分)如图,已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点,AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点,

且AC 平分∠P AE ,过C 作C D P A ⊥,垂足为D .

(1) 求证:CD 为⊙O 的切线;

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(2) 若DC +DA =6,⊙O 的直径为10,求AB 的长度.

【答案】

(1)证明:连接OC , …………………1分

因为点C 在⊙O 上,OA =OC ,所以.O C A O AC ∠=∠ 因为C D P A ⊥, 所以90CDA ∠=

,有90CAD DCA ∠+∠=

.因为AC 平分∠PAE , 所以.D A C C A O ∠=∠……………3分

所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=

……4分 又因为点C 在⊙O 上,OC 为⊙O 的半径,所以CD 为⊙O 的切线. ………………5分

(2)解:过O 作O F AB ⊥,垂足为F ,所以90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=

A

(第22题)

B

C

所以四边形OCDF 为矩形,所以,.OC FD OF CD == ……………………………7分 因为DC +DA =6,设A D x =,则6.O F C D x ==-

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因为⊙O 的直径为10,所以5D F O C ==,所以5A F x =-. 在R t AO F △中,由勾股定理知222.AF OF OA += 即()()2

2

5625.x x -+-=化简得211180x x -+=, 解得2x =或x=9. ………………9分 由AD D F <,知05x <<,故2x =. ………10分 从而AD =2,52 3.A F =-= …………………11分

因为O F AB ⊥,由垂径定理知F 为AB 的中点,所以2 6.A B A F ==…………12分

4. (2011山东滨州,22,8分)如图,直线PM 切⊙O 于点M ,直线PO 交⊙O 于A 、B 两点,弦AC ∥PM ,

接OM 、BC .

求证:(1)△ABC ∽△POM ;

(2)2OA 2=OP ·BC . 【答案】证明:(1)∵直线PM 切⊙O 于点M ,∴∠PMO=90°………………1分 ∵弦AB 是直径,∴∠ACB=90°………………2分 ∴∠ACB=∠PMO………………3分

∵AC ∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分 ∴△ABC ∽△POM………………5分 (2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴

A B

B C

P O O M =………………6分

又AB=2OA,OA=OM, ∴2O A B C

P O O A

=………………7分 ∴2OA 2

=OP·BC………………8分

5. (2011山东菏泽,18,10分)如图,BD 为⊙O 的直径,AB =AC ,AD 交B C 于点E ,AE =2,ED =4,

(1)求证:△ABE ∽△ADB ; (2)求AB 的长;

(3)延长DB 到F ,使得BF =BO ,连接F A ,试判断直线F A 与⊙O 的位置关系,并说明理由. 解:(1)证明:∵AB =AC ,∴∠ABC =∠C , ∵∠C =∠D ,∴∠ABC =∠D ,

又∵∠BAE =∠EAB ,∴△ABE ∽△ADB , (2) ∵△ABE ∽△ADB ,∴

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AB AE AD

AB

=,

∴AB 2=AD ·AE =(AE +ED )·AE =(2+4)×2=12 ∴AB

=

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(3) 直线F A 与⊙O 相切,理由如下:

连接OA ,∵BD 为⊙O 的直径,∴∠BAD =90°,

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∴BD =

=

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BF =BO

=1

2

BD =

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∵AB

=,∴BF =BO =AB ,可证∠OAF =90°,

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∴直线F A 与⊙O 相切.

6. (2011山东日照,21,9分)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD ⊥CD 于点D .

(第22题图)

P

M

O C

B

A

求证:(1)∠AOC =2∠ACD ; (2)AC 2=AB ·AD . 【答案】证明:(1)∵CD 是⊙O 的切线,∴∠OCD =90°, 即∠ACD +∠ACO =90°.…① ∵OC=OA ,∴∠ACO =∠CAO , ∴∠AOC =180°-2∠ACO ,即

2

1∠AOC +∠ACO =90°. ② 由①,②,得:∠ACD -

2

1∠AOC =0,即∠AOC =2∠ACD ;

(2)如图,连接BC .

∵AB 是直径,∴∠ACB =90°. 在Rt △ACD 与△Rt ACD 中,

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∵∠AOC =2∠B ,∴∠B =∠ACD , ∴△ACD ∽△ABC ,∴

AC

AD AB

AC =,即AC 2=AB ·AD .

7. (2011浙江温州,20,8分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,过

点B 作⊙O 的切线,交AC 的延长线于点F .已知OA =3,AE =2,

(1)求CD 的长; (2)求BF 的长.

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【答案】解:(1)连结OC ,在Rt △OCE 中,

C E =

=

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∵CD ⊥AB ,

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∴3CD CE == (2) ∵BF 是⊙O 的切线, ∴FB ⊥AB , ∴CE ∥FB ,

∴△ACE ∽△AFB , ∴

C E AE BF

AB

=

26

B F

=

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∴BF =8. (2011浙江省嘉兴,22,12分)如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC .

(1)求证:CA 是圆的切线;

(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =

3

2,tan ∠AEC =

3

5,求圆的直径.

【答案】(1)∵BC 是直径,∴∠BDC =90°,∴∠ABC +∠DCB=90°,∵∠ACD =∠ABC , ∴∠ACD +∠DCB=90°,∴BC ⊥CA ,∴CA 是圆的切线. (2)在Rt △AEC 中,tan ∠AEC=53

,∴

53

A C E C =,35

E C A C =

;

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

在Rt △ABC 中,tan ∠ABC=

23,∴

23

A C

B C

=

,32

B C A C =;

∵BC -EC=BE ,BE =6,∴33625

AC AC -=,解得AC =

203

,

∴BC=

3201023

?=.即圆的直径为10.

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9. (2011广东株洲,22,8分)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 为⊙O 的切线,AC 交⊙O 于点E ,D 为AC 上一点,∠AOD=∠C .

(1)求证:OD ⊥AC ;

(2)若AE=8,3tan 4

A =

,求OD 的长.

【答案】(1)证明:∵BC 是⊙O 的切线,AB 为⊙O 的直径 ∴∠ABC=90°,∠A+∠C=90°,

(第22题)

B

C

又∵∠AOD=∠C , ∴∠AOD+∠A=90°, ∴∠ADO=90°, ∴OD ⊥AC. (2)解:∵OD ⊥AE ,O 为圆心, ∴D 为AE 中点 , ∴1AD =

AE=42

, 又3tan 4

A = ,∴ OD=3.

10.(2011山东济宁,20,7分)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点E ,交AM 于点D ,交BN 于点C ,F 是CD 的中点,连接OF ,

(1)求证:OD ∥BE ;

(2)猜想:OF 与CD 有何数量关系?并说明理由.

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【答案】(1)证明:连接OE ,

∵AM 、DE 是⊙O 的切线,OA 、OE 是⊙O 的半径, ∴∠ADO=∠EDO ,∠DAO=∠DEO =90°, ∴∠AOD=∠EOD=12

∠AOE ,

∵∠ABE=

12∠AOE ,∴∠AOD=∠ABE ,

∴OD ∥BE (2)OF =

12

CD ,

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理由:连接OC , ∵BC 、CE 是⊙O 的切线, ∴∠OCB=∠OCE ∵AM ∥BN ,

∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得∠ADO=∠EDO , ∴2∠EDO+2∠OCE=180°,即∠EDO+∠OCE=90° 在Rt △DOC 中,∵F 是DC 的中点, ∴OF=

12

CD .

11. (2011山东聊城,23,8分)如图,AB 是半圆的直径,点O 是圆心,点C 是OA 的中点,CD ⊥OA 交半圆于点

D ,点

E 是 BD 的中点,连接OD 、AE ,过点D 作D P ∥AE 交BA 的延长线于点P ,

(1)求∠AOD 的度数;

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(2)求证:P D 是半圆O 的切线; 【答案】(1)∵点C 是OA 的中点,∴OC =2

1OA =

2

1OD ,∵CD ⊥OA ,∴∠OCD =90°,在Rt △OCD 中,cos ∠COD =2

1=

OD

OC ,∴∠COD =60°,

即∠AOD =60°,

(2)证明:连接OC ,点E 是BD 弧的中点,DE 弧=BE 弧,∴∠BOE =∠DOE =

2

1∠DOB =

2

1 (180°-∠COD )

=60°,∵OA =OE ,∴∠EAO =∠AEO ,又∠EAO +∠AEO =∠EOB =60°,∴∠EAO =30°,∵P D ∥AE ,∴∠P =∠EAO =30°,由(1)知∠AOD =60°,∴∠P DO =180°-(∠P +∠P OD )=180°-(30°+60°)=90°,∴P D 是圆O 的切线 12. (2011山东潍坊,23,11分)如图,AB 是半圆O 的直径,AB =2.射线AM 、BN 为半圆的切线.在AM 上取一点D ,连接BD 交半圆于点C ,连接AC .过O 点作BC 的垂线OE ,垂足为点E ,与BN 相交于点F .过D 点做半圆的切

第20题

第20题

线DP ,切点为P ,与BN 相交于点Q .

(1)求证:△ABC ∽ΔOFB ;

(2)当ΔABD 与△BFO 的面积相等时,求BQ 的长; (3)求证:当D 在AM

上移动时(A 点除外)

,点Q 始终是线段BF 的中点. 【解】(1)证明:∵AB 为直径, ∴∠ACB =90°,即AC ⊥BC . 又∵OE ⊥BC ,∴OE //AC ,∴∠BAC =∠FOB .

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∵BN 是半圆的切线,故∠BCA =∠OBF =90°. ∴△ACB ∽△OBF . (2)由△ACB ∽△OBF ,得∠OFB =∠DBA ,∠DAB =∠OBF =90°, ∴△ABD ∽△BFO ,

当△ABD 与△BFO 的面积相等时,△ABD ≌△BFO . ∴AD =BO=

12

AB =1.

∵DA ⊥AB ,∴DA 为⊙O 的切线. 连接OP ,∵DP 是半圆O 的切线, ∴DA=DP=1,∴DA=AO=OP=DP=1, ∴四边形ADPO 为正方形. ∴DP//AB ,∴四边形DABQ 为矩形. ∴BQ =AD =1. (3)由(2)知,△ABD ∽△BFO , ∴

B F A B O B

A D

=,∴2B F A D

=

.

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∵DPQ 是半圆O 的切线,∴AD =DP ,QB =QP .

过点Q 作AM 的垂线QK ,垂足为K ,在Rt △DQK 中,222D Q Q K D K =+, ∴()()2

2

2

2AD BQ AD BQ +=-+,

∴1B Q A D

=

,∴BF =2BQ ,∴Q 为BF 的中点.

13. (2011四川广安,29,10分)如图8所示.P 是⊙O 外一点.P A 是⊙O 的切线.A 是切点.B 是⊙O 上一点.且PA =PB ,连接AO 、BO 、AB ,并延长BO 与切线P A 相交于点Q . (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)求证: AQ ?PQ = OQ ?BQ ;

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

(3)设∠AOQ =α.若cos α=

45

.OQ = 15.求AB 的长

【答案】(1)证明:如图,连结OP ∵P A=PB ,AO=BO ,PO=PO

∴△APO ≌△BPO ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB 是⊙O 的切线 (2)证明:∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB ∽?QOA

PQ BQ O Q

AQ

= 即AQ ?PQ = OQ ?BQ

(3)解:cos α=

AO OQ

=

45

∴AO =12

∵△QPB ∽?QOA ∠BPQ=∠AOQ=α

_ Q

_ P

_ B

图8

∴tan ∠BPQ=

B Q P B

=

34

∴PB =36

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∵1

2

AB ?PO = OB ?BP ∴AB

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14. (2011江苏淮安,25,10分)如图,AD 是⊙O 的弦,AB 经过圆心O ,交⊙O 于点C ,∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD 是否与⊙O 相切?为什么?(2)连接CD ,若CD=5,求AB 的长.

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【答案】(1)答:直线BD 与⊙O 相切.理由如下: 如图,连接OD , ∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°,

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∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°, 即OD ⊥BD , ∴直线BD 与⊙O 相切. (2)解:由(1)知,∠ODA=∠DAB=30°, ∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°, 又∵OC=OD ,

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∴△DOB 是等边三角形, ∴OA=OD=CD=5. 又∵∠B=30°,∠ODB=30°, ∴OB=2OD=10.

∴AB=OA+OB=5+10=15.

15. (2011江苏南通,22,8分)(本小题满分8分)

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

如图,AM 为⊙O 的切线,A 为切点,BD ⊥AM 于点D ,BD 交⊙O 于C ,OC 平分∠AOB .求∠B 的度数. 【答案】60°. 16. (2011四川绵阳22,12)如图,在梯形ABCD 中,AB //CD ,∠BAD =90°,以AD 为直径的半圆O 与BC 相切.

(1)求证:OB 丄OC ;

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

(2)若AD = 12,∠ BCD =60°,⊙O 1与半⊙O 外切,并与BC 、CD 相切,求⊙O 1的面积. 【答案】(1)证明:连接OF,在梯形ABCD ,在直角△AO B 和直角△AOB F 中

∵???AO=FO

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

OB=OB

∴△AOB ≌△AOB (HL )

同理△COD ≌△COF,∴∠BOC=90°,即OB ⊥OC (2) 过点做O 1G ,O 1H 垂直DC,DA,∵∠DOB=60°,∴∠DCO=∠BCO=30°,设

O 1G=x,又∵AD=12,∴OD=6,

DC=63,OC=12,CG=3x, O 1C =6-x,根据勾股定理可知O 1G2+GC2=O 1C2 x2+3x2=(6-x )2∴(x-2)(x+6)=0,x=2

17. (2011四川乐山24,10分)如图,D 为 O 上一点,点C 在直径BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD.

A

H

(1)求证:CD 是⊙O 的切线;

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(2)过点B 作 O 的切线交CD 的延长线于点E,若BC=6,tan ∠CDA=23

,求BE 的长

【答案】 ⑴证明:连接OD ∵OA=OD

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∴∠ADO=∠OAD ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADO+∠BDO=90° ∴在RtΔABD 中,∠ABD+∠BAD=90° ∵∠CDA=∠CBD ∴∠CDA+∠ADO=90° ∴OD ⊥CE 即CE 为⊙O 的切线

18. (2011四川凉山州,27,8分)如图,已知A B C △,以B C 为直径,O 为圆心的半圆交A C 于点F ,点E 为

C F 的中点,连接B E 交A C 于点M ,A

D 为△A B C 的角平分线,且AD B

E ⊥,垂足为点H 。

(1) 求证:A B 是半圆O 的切线; (2) 若3A B =,4B C =,求B E 的长。 【答案】

⑴证明:连接E C ,

∵B C 是直径 ∴90E ∠=

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

有∵AD BE ⊥于H ∴90AHM ∠= ∵12∠=∠ ∴34∠=∠ ∵A D 是A B C △的角平分线 ∴453∠=∠=∠

又 ∵E 为 C

F 的中点 ∴375∠=∠=∠ ∵AD BE ⊥于H

∵5690∠+∠=

即6790∠+∠=

又∵B C 是直径 ∴A B 是半圆O 的切线 ···4分 (2)∵3A B =,4B C =。

由(1)知,90ABC ∠=

,∴5A C =。

在A B M △中,AD BM ⊥于H ,A D 平分B A C ∠, ∴3AM AB ==,∴2C M =。 由C M E △∽B C E △,得12

E C M C E B

C B

==。

∴2E B E C =,

∴B E =

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19. (2011江苏无锡,27,10分)(本题满分10分)如图,已知O (0,0)、A (4,0)、B (4,3)。动点P 从O 点出发,以每秒3个单位的速度,沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动;动直线l 从AB 位置出发,以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动。若它们同时出发,运动的时间为t 秒,当点P 运动到O 时,它们都停止运动。

(1)当P 在线段OA 上运动时,求直线l 与以点P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围;

A

A

A

27题图

(2)当P 在线段AB 上运动时,设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ,试问:四边形CPBD 是否可能为菱形?若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由,并说明如何改变直线l 的出发时间,使得四边形CPBD 会是菱形。 【答案】

解:(1)当点P 在线段OA 上时,P (3t ,0),……………(1分)

⊙P 与x 轴的两交点坐标分别为(3t ? 1,0)、(3t + 1,0),直线l 为x = 4 ? t , 若直线l 与⊙P 相交,则??

?3t ? 1 < 4 ? t ,4 ? t < 3t + 1.

……………(3分)

解得:34 < t < 5

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4.………………………(5分)

(2)点P 与直线l 运动t 秒时,AP = 3t ? 4,AC = t . 若要四边形CPBD 为菱形,则CP // OB , ∴∠PCA = ∠BOA ,∴Rt △APC ∽ Rt △ABO , ∴AP AB = AC AO ,∴3t ? 43 = t 4,解得t = 16

9

,……(6分) 此时AP = 43,AC = 169,∴PC = 209,而PB = 7 ? 3t = 53 ≠ PC ,

故四边形CPBD 不可能时菱形.………………(7分)

(上述方法不唯一,只要推出矛盾即可)

现改变直线l 的出发时间,设直线l 比点P 晚出发a 秒,

若四边形CPBD 为菱形,则CP // OB ,∴△APC ∽ △ABO ,AP AB = PC BO = AC AO ,∴3t ? 43 = 7 ? 3t 5 = t ? a

4,

即:???3t ? 43 = 7 ? 3t 5,3t ? 43 = t ? a 4.,解得???t = 41

24

a = 524

∴只要直线l 比点P 晚出发524秒,则当点P 运动4124秒时,四边形CPBD 就是菱形.………………(10分)

20.(2011湖北武汉市,22,8分)(本题满分8分)如图,P A 为⊙O 的切线,A 为切点.过A 作OP 的垂线AB ,垂

足为点C ,交⊙O 于点B .延长BO 与⊙O 交于点D ,与P A 的延长线交于点E .

(1)求证:PB 为⊙O 的切线; (2)若tan ∠ABE =

2

1,求sinE 的值.

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【答案】(本题8分)(1)证明:连接OA

∵PA 为⊙O 的切线, ∴∠PAO=90° ∵OA =OB ,OP ⊥AB 于C ∴BC =CA ,PB =PA ∴△PBO ≌△PAO ∴∠PBO =∠PAO =90° ∴PB 为⊙O 的切线

(2)解法1:连接AD ,∵BD 是直径,∠BAD =90° 由(1)知∠BCO =90° ∴AD ∥OP ∴△ADE ∽△POE ∴EA/EP =AD/OP 由AD ∥OC 得AD =2OC

∵tan ∠ABE=1/2 ∴OC/BC=1/2,设OC =t,则BC =2t,AD=2t 由△PBC ∽△BOC ,得PC =2BC =4t ,OP =5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5,可设EA =2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB ∴PB=3m

∴sinE=PB/EP=3/5

(2)解法2:连接AD ,则∠BAD =90°由(1)知∠BCO =90°∵由AD ∥OC ,∴AD =2OC ∵tan ∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC =t ,BC =2t ,AB=4t 由△PBC ∽△BOC ,得PC =2BC =4t , ∴PA =PB =25t 过A 作AF ⊥PB 于F ,则AF·PB=AB·PC ∴AF=

5

58t 进而由勾股定理得PF =

5

56t

∴sinE=sin ∠FAP =PF/PA =3/5

21. (2011湖南衡阳,24,8分)如图,△ABC 内接于⊙O ,CA =CB ,CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D .

(1)判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由;

(2)若∠ACB =120°,OA =2,求CD 的长.

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【解】 (1) CD 与⊙O 的位置关系是相切,理由如下: 作直径CE ,连结AE .

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∵CE 是直径, ∴∠EAC =90°,∴∠E +∠ACE=90°, ∵CA =CB ,∴∠B =∠CAB ,∵AB ∥CD , ∴∠ACD =∠CAB ,∵∠B =∠E ,∠ACD =∠E , ∴∠ACE +∠ACD=90°,即∠DCO=90°, ∴OC ⊥D C ,∴CD 与⊙O 相切. (2)∵CD ∥AB ,OC ⊥D C ,∴OC ⊥A B , 又∠ACB =120°,∴∠OCA =∠OCB=60°, ∵OA=OC ,∴△OAC 是等边三角形, ∴∠DOA =60°, ∴在Rt △DCO 中,

tan D C D O A O C

=∠

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∴DC

=OA

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

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2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

22. (2011湖南永州,23,10分)如图,AB 是半圆O 的直径,点C 是⊙O 上一点(不与A ,B 重合),连接AC ,BC ,过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ,在OD 的延长线上取一点E ,连接EB ,使∠OEB=∠ABC .

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⑴求证:BE 是⊙O 的切线; ⑵若OA=10,BC=16,求BE 的长. 【答案】证明:⑴∵AB 是半圆O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵OD ∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB 是半圆O 的直径 ∴BE 是⊙O 的切线

⑵在ABC Rt ?中,AB=2OA=20,BC=16,

∴12

16

20

2

2

2

2

=-=-=BC

AB

AC

∴3

412

16tan =

=

=

AC

BC A ∴3

4tan ==∠OB

BE BOE

E

B

(第25题图)

∴3

113

103

43

4=?=

=

OB BE .

23. (2011江苏盐城,25,10分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,以AB 上一点O 为圆心,OA 长为半径的圆与BC

相切于点D ,分别交AC 、AB 于点E 、F . (1)若AC =6,AB = 10,求⊙O 的半径;

(2)连接OE 、ED 、DF 、EF .若四边形BDEF 是平行四边形,试判断四边形OFDE 的形状,并说明理由. 【答案】(1)连接OD . 设⊙O 的半径为r .

∵BC 切⊙O 于点D ,∴OD ⊥BC .

∵∠C =90°,∴OD ∥AC ,∴△OBD ∽△ABC .

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∴OD AC = OB AB ,即 r 6 = 10-r 10. 解得r = 154, ∴⊙O 的半径为154

.

(2)四边形OFDE 是菱形.

∵四边形BDEF 是平行四边形,∴∠DEF =∠B . ∵∠DEF =12∠DOB ,∴∠B =12

∠DOB .

2011年中考数学试题分类33 直线与圆的位置关系

∵∠ODB =90°,∴∠DOB +∠B =90°,∴∠DOB =60°.

∵DE ∥AB ,∴∠ODE =60°.∵OD =OE ,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD =DE .∵OD =OF ,∴DE =OF . ∴四边形OFDE 是平行四边形. ∵OE =OF ,∴平行四边形OFDE 是菱形.

24. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy 中,一次函数334

y x =

+的图象是直线12,l l 与x 轴、y 轴分别相

交于A 、B 两点.直线2l 过点C(a,0)且与1l 垂直,其中a>0,点P 、Q 同时从A 点出发,其中点P 沿射线AB 运动,速度为每秒4个单位;点Q 沿射线AO 运动,速度为每秒5个单位. (1)写出A 点的坐标和AB 的长;

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(2)当点P 、Q 运动了t 秒时,以点Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线2l 、y 轴都相切,求此时a 的值. 答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由题意得:AP=4t,AQ=5t,

A P A Q t O A

O B

==,

又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ ∽△AOB. ∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P 在1l 上,∴⊙Q 在运动过程中保持与1l 相切。

①当⊙Q 在y 轴右侧与y 轴相切时,设1l 与⊙Q 相切于F ,由△APQ ∽△AOB 得

43

5

P Q P Q += ,∴PQ=6,

连接QF ,则QF=PQ, △QFC ∽△APQ ∽△AOB 得Q F Q C O A

A B

=.

P Q Q C O A

A B =,64

5

Q C =

,∴QC=

152

,a=OQ+QC=

272

.

②当⊙Q 在y 轴左侧与y 轴相切时,设1l 与⊙Q 相切于E, 由△APQ ∽△AOB 得

A

A

43

5

P Q P Q -=

,∴PQ=

32

.

连接QE ,则QE=PQ,由△QEC ∽△APQ ∽△AOB 得Q F Q C O A

A B

=

,∴

Q F Q C

O A

A B =

,3

245

Q C

=, ∴QC=

158

,a=QC-OQ=

38

.∴a 的值为

272

38

25. (2011广东湛江27,12分)如图,在R t A B C ?中,90C ?∠=,点D 是AC 的中点,且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ,使圆心O 在A B 上,O 与A B 交于点E .

(1)求证:直线B D 与O 相切;

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(2)若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径. 【答案】(1)证明:连接OD ,在A O D ?中,OA=OD , 所以A O D A ∠=∠, 又因为90A CDB ?∠+∠=,

所以90ODA CDB ?∠+∠=,所以1809090BDO ???∠=-=,即O D B D ⊥, 所以BD 与O 相切;

(2)由于AE 为直径,所以90ADE ?∠=,由题意可知//D E B C ,又点D 是AC 的中点,且

:4:5,6AD AE BC ==,所以可得5A E =,即O 的直径为5.

26. (2011贵州安顺,26,12分)已知:如图,在△ABC 中,BC =AC ,以BC 为直径的⊙O 与

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边AB 相交于点D ,DE ⊥AC ,垂足为点E .

⑴求证:点D 是AB 的中点;

⑵判断DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; ⑶若⊙O 的直径为18,cosB =31

,求DE 的长.

【答案】(1)证明:连接CD ,则CD AB ⊥, 又∵AC = BC , CD = CD , ∴ACD Rt ?≌BCD Rt ? ∴AD = BD , 即点D 是AB 的中点. (2)DE 是⊙O 的切线 .

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理由是:连接OD , 则DO 是△ABC 的中位线,∴DO ∥AC , 又∵DE AC ⊥; ∴DE DO ⊥ 即DE 是⊙O 的切线; (3)∵AC = BC , ∴∠B =∠A , ∴cos ∠B = cos ∠A =3

1, ∵ cos ∠B =

3

1=

BC

BD ,

BC = 18,

∴BD = 6 , ∴AD = 6 , ∵ cos ∠A =

3

1=

AD

AE , ∴AE = 2,

在AED Rt ?中,DE =242

2

=-AE

AD .

27. (2011河北,25,10分)如图14-1至14-4中,两平行线AB,CD 间的距离为6,点

M 为AB 上一定点. 思考

如图14-1,圆心为O 的半圆纸片在AB,CD 之间(包括AB,CD ),其直径MN 在AB 上,MN=8,点P 为半圆上一点,设∠MOP=α.

第26题图

第26题图

当α= 度时,点P 到CD 的距离最小,最小值为 。 探究一

在图14-1的基础上,以点M 为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆纸片,直到不能再转动为止,如图14-2,得到最大旋转角∠BMO= 度,此时点N 到CD 的距离是 探究二

将图14-1中的扇形纸片NOP 按下面对α要求剪掉,使扇形纸片MOP 绕点M 在AB,CD 之间顺时针旋转。 (1)如图14-3,当α=60°时,球在旋转过程中,点p 到CD 的最小距离,并请指出旋转角∠BMO 的最大值; (2)如图14-4,在扇形纸片MOP 旋转过程中,要保证点P 能落在直线CD 上,请确定α的取值范围. (参考数据:sin49°=

4

3,cos41°=4

3,tan37°=4

3 )

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图14-4

图14-3

图14-2

图14-1

D C

P

【答案】思考 90,2; 探究一 30,2; 探究二

(1)由已知得M 与P 的距离为4,∴当MP ⊥AB 时,点P 到AB 的最大距离为4,从而点P 到CD 的最小距离为6-4=2.当扇形MOP 在AB,CD 之间旋转到不能再转时,弧MP 与AB 相切,此时旋转角最大,∠BMO 的最大值为90°。

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(2)如图,由探究一可知,点P 是弧MP 与CD 的切点时,α达到最大,即OP ⊥CD 。此时延长PO 交AB 于点H ,α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。 如图,当点

P 在CD 上且与AB 距离最小时,MP ⊥CD,α达到最小,连接MP ,作OH ⊥MP 于点H ,由垂径定理,得MH=3,在Rt △MOH 中,MO=4,

∴sin ∠MOH=4

3 OH

MH ,∴∠MOH=49°,∵α=2∠MOH ,

∴α最小值为98°。∴α的取值范围是98°≤α≤120°。

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