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电动力学习题答案第一章电磁现象的普遍规律

第一章电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与矢量性，推导下列公式：

()()()()()A B B A B A A B A B ??=???+??+???+??

()()2A A A A A

???=?-??

解：矢量性为

()()()a b c b c a c a b ??=??=?? ①

()()()c a b b c a c a b ??=?-? ②

()()()a b c c a b c b a ??=?-??

③微商性

()d d a db

a b b a dt

dt dt ?=?+?

④ 【

()d d a db a b b a dt dt dt ?=?+?

⑤

由②得

()()()c c c B A B A B A ???=??-?? ⑥

()()()c c c A B A B A B ???=??-??

⑦

⑥+⑦得

()()()()()()c c c c c c B A A B B A A B B A A B ???????+???=??+??-??+??????

()()()c c A B A B A B ??=??+??因为

∴上式得

()()()()()c c c c A B B A A B B A A B ??=???+???+??+??

令B A =得

）

22()2()A A A A A ?=???+??

()()

2A A A A A ∴???=?-??

2.设μ是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：

()()()df f u u dxu

d A

A u u du d A

A u u du ?=

???=??

??=??

解：①

()()()()()()()()()()x y z x y z

x y z f u f u e f u e f u e x y z f u u f u u f u u e e e u x u y u z f u u u u e e e x x y z df u u du ????=

++?????????=++??????????=++????=?

②

()x y z y x z A u A A A x y z

dA dA dA u u u du x du y du z d A u du

???

??=

++??????=++

???=??

③

，

()()()()()()()x

y z x

z y

y x x z z x y z

y y x x z z x y z

e e e A u x y z A A A A A A A A A e e e y z z x x y

dA dA dA dA dA dA u u

u u u u e e e du y du z du z du x du x du y d A u du

?? ??

???= ???? ? ???

??????=-+-+-????????????=-+-+-??????=??

3.设()r y y =+-'

x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

从原点指向场点。

⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商

（

''''x

y z e e e x y z ????=++???）与对场变数求微商

（

y z e e e x y z ????=++???）

的关系

'''333311,,0,0,(0)

r r r r r

r r r r r r r r r r ?=-?=?=-?=-??=??=-??=≠

（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）

⑵ 求

,,(),(),[sin()]r r a r a r E k r ???????????。及[sin()]E k r ???。，其中,a k 及E 。

均为常矢量。 —

解：⑴

'2'

'2'2'2

()()(()()()x y z x y

z r r r r e e e x y z

e e x x y y z e x x y y z z r r

????=++???=+-+-++-+-+-=''''

''''2

'2()x y z x y

r r r r e e e x y z e e e x x r r r ????=++???=++-=-

=-?231111()()()1()x y z

x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r ????=++???-???=++???=-

''''2'''3

1111()()()1()1x y z

x y z e e e r x r y r z r r r r e e e r x y z r r r

????=++???-???=++???=

=-?

33334411()13

030r r r r r r r r r r r r r r ??

=??+??-=?+??-=?=

323343431()113131()30r r r r r r

r r r r r r r r r r r r ??

=??=??+??-=??+??-=?+?=

''3

'3'33433'3

1()

()(3)00(0)r r r r r r

r r r r r r r r r r r r ??=?=??+??--=?+?-=∴??

=-?=≠ ⑵'''()()()3r x x y y z z x y z ?????

=-+-+-???=

'''0x y z e e e r x y z x x y y z z ??

???? ???== ???? ? ?---??

()()x y z x

y z x x y y z z a r

a a a r

x y z r r r a a a x y z

a e a e a e a

?????=++??????=++???=++=

()

()()()()00()()x y z x y z a r a r a r r a r a

a r r r a a r

x y z r r r a a a x y z

??=???+??+???+?????

=?+++++????????=++???=

''''''''''[sin()]

[sin()]sin()[sin(()()())]cos[()()()]cos[()()()]cos[()(x y z ox x x y z oy y x y z oz z x y E k r k r E k r E k x x k y y k z z E E k k x x k y y k z z E k k x x k y y k z z E k k x x k ???=???+???=?-+-+-?=-+-+-+-+-+-+-+。。。

。''''')()]

()cos[()()()]cos()z ox x oy y oz z x y z y y k z z E k E k E k k x x k y y k z z k r E k

-+-=++-+-+-=??。

[sin()]

[sin()]sin()[cos()cos()cos()]cos()()cos()()

x x y y z z x x y y z z E k r k r E k r E k k r e k k r e k k r e E k r k e k e k e E k r k E ???=???+???=?+?+??=?++?=??。。。

。。。

4. 4.⑴ 应用高斯定理证明

dV f dS f ??=

⑵ 应用斯托克斯（Stokes ）定理证明

d S d L φφ

??=??

解：⑴

()()()S

V V

dS f c

f c d S f c dV dV f c ??=

??=???=????

??? S V

dS f dV f

∴?=????

⑵

()L

S S S

d L c

c d L c d S c d S dS c

φφφφφ?=

?=???=???=????

????

L S

d L dS φφ

∴=????

5. 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为

()(,)V

P t x t x dV ρ=?

利用电荷守恒定律

0J t ρ

???+

证明P 的变化率为

(,)V d P

J x t dV dt =?

解：

'''''

''''

[(,)]()()V V

d P

x dV J x t x dV t J x dV J x dV ρ?==-??=-??+??????

'''

()S

J x d S J x dV J x d S JdV =-+???=-+????

取被积区域大于电荷系统的区域，即V 的边界S 上的(,)0J x t =，则

(,)S

V J x d S d P J x t dV dt =∴=?

?。

6. 若m 是常矢量，证明除R=0点以外矢量

3m R A R ?=

的旋度等于标量3m R

R ??=

的梯

度的负值，即(0)A R ???=-?≠,其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

解：

3333333

()()()()()()()0

()R m R R R R R

m m m m

R R R R R R

m m R R R R

m R ??=??

=???+??+???+?=???+????=∴=??上式 7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静

止自由电荷f ρ

，求

⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。

解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： @

E dS Q ?=?

233211444()33I f r E r r πππρε?∴=

- 3321233212

()3()3f

I f

I r r E r r r E r

ρερε?∧

?-∴=-∴=

对空间Ⅱ：做高斯面，由

D d S σε??=

233144

4()33f

r D r r πππρ∴=-Ⅱ

D E ε=

3312

()3f r r E r r ρε∧

-∴=

对空间Ⅲ:

做高斯面，由

240r E π=Ⅲ

0E ∴=Ⅲ

⑵ 由

0D E P ε=+

0P D E ε∴=-

333310122()()33f f

r r r r P r r r ρερε∧??--∴=- ? ??

3013()()

r r P r r εερε

-∴=

301300

()()

3()(30)(1)3P f f

f P r r

r r ρεερεεερερε

ε∴=-??--=??-??--=

-=--

2r r =时,由边值条件:

21n n P P P σ-=-(P 由1指向2)

￥

124320213

2332102

233

021*********

132

1()()

3()()3(1),()3()0()

30()

P n n

f f

f P n n f P P r r r r r r r r r r r r P P r r r r r r σεερεεερεερεσεερε=---=--=-=-==--=--==

8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体

的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。解：⑴由I

l d B L 0μ=??

所以 ()f I J r r rB 212202-=πμπ

所以

()

I J r r r B 21220

2-=

方向为

r J ?? ? ∴

(

)

J r r r

B f I

?-=

2μ()2r r >

对区域Ⅱ

由

l d H L

=??

∴(

)

J r r rH 2122-=∏ππ

∴

()

J r r r H 212

21-=

∏

方向为

r J

?? ? ()r

J r r r H B f ?-==∏∏2

122212μμ

对区域Ⅲ有: 02＝ⅢrB π ∴0＝ⅢB

(2)

(3)

(2)由

B H -=0

∴

H H B

???? ??-=-=

000μμμμ ∴()r

J r r r M Z ?-???? ??-=21220021μμμ

由

M J M ??= ()()

()()()()[]

()()(

)

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z M J J r r J J r r J r r r J r r J J r r r J r r r r J J r r r r J r r r r r J r r r J r r r J r r r r J r r J J

???? ??-=?????

?-+???? ??-=??

??????????

??-+-???? ??-=??

?????-????? ??-+?????? ?????? ??-=??

?????????-??????? ??-+?????? ??-=??

????????????

??-+?????? ??-????? ??-=??

?????????? ??-????? ??-=???? ???-??????? ??-=1122210132211221122122112211220

2212210221242

10221421022

132102212210221022100μμμμμμμμμμμμμμ

μμμ

由

()

12H H n t D J H f Z

-?=???+=??α

同理

()12M M n M J M M

-?=???=α

由

H M

μ=

- H B

μ=

得

M ???? ??-=μμ110 ()()()()

022

2120222

02120222

21202

222122

02111111221212Mr f f f f f

n B B n r r J r r r r n J r r r r J n r r J n r r r r J r αμμμμμμμμμμμμμμμμ??

????=?---?? ?

???????????=?---???

?????

??--=-?? ?????-??=--?-? ???

????-=-- ???=-ⅠⅡⅡ22212021()

2f r r J r r r ??--= ???

()110022

2120111111120()

Mr f n B B n r r J r r r r αμμμμμμμ??

????=?---??

? ???

????????=?---???

?????==ⅡⅢ

9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度p

ρ总是等于体自由电荷密度

ρ的

(1)εε--

倍。

即：

(

1)p f ερρε=-

解：由均匀介质有 0P E P ε=+

① 、

P E ε=

②

P P ρ=-??

③

P ρ??=

④

由①②得

D D P εε=

两边求散度

P P P εε??=

??+??

由③④得

f f P ερρρε=

0(1)f

P ε

ρρε∴=-- ?

10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流

元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）解：令两个线圈中的电流分别为1I 和2I 。电流圈1L 对另一个电流圈2L 中的电流元22I dl 的

作用力为： 122212()dF I dl B r =?

⑴

其中

101112

12312

()4L I dl r B r r μπ

⑵ 是电流圈

1L 在电流元22I dl 处激发的磁感应强度，12r 是从1L 中的电流元11I dl 到电流元

22I dl 的矢径。将⑵式代入⑴式，并对2L 积分，利用斯托克斯定理,同时注意到

312

0r r ??

即得到电流圈

1L 对2L 的作用力：

1112

1222312

4L I dl r d F I dl r μπ

?=?

101112

1222312

0122112

312

012

1212122131244()()4L L L L L L I dl r

F I dl r I I dl dl r r I I dl dl r r dl dl r μπμπμπ

?∴=???=

??=?-???

?????

111

120012

12122122113312

12012

1122312123

12()44()40()0L L L L L S I I I I r dl dl r dl dl r r r I dl I dS r r r μμππ

μπ

????=????

??=??????

??=??= ???

?????因为

（

112

0121221312

()4L L I I r d F dl dl r μπ

-∴=

⑶

同样，电流圈2L 对1L 中的电流元11I dl 的作用力为:

212111()dF I dl B r =? ⑷ 其中

2221321

()4L I dl r B r r μπ

⑸

21()B r 是电流圈2L 在电流元11I dl 处激发的磁感应强度,21r 是从电流元22I dl 到电流元

11I dl 的矢径。2L 对1L 的作用力为

221

0122112321

4L L I I r d F dl dl r μπ

-∴=

⑹ 注意到

2112r r =-

于是有

2112F F =-

11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，令在两板接上电动势为的电势，求：⑴电容器两板上的自由电荷面密度⑵介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何

解：

由

1εf

w E =

22εf

w E =

ε=+2211l E l E

22112

211εεεεεεl l w l w l w f f f +

?=+∴

()2

12f w D D n =-?

得

()0

2211=-=E E w f εε

当介质漏电时由 E J σ=

得

σJ

E =

有

σσε

εσσl l J l J

l J

?=+

211212111111l l J w J

w E f f σσεεσσεσε+=

=?==∴

同理

、

112212

2l l J w f σσεεσσε+-=

()

()2

112122

12112212112121221122

l l l l l l E E E E n w f σσεεσεσσσε

σεσσεσεεε+-=???

? ??+-+=-=-?=

12. 证明：⑴ 当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：

12εεθθ=tg tg 其中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电场线与法线的夹角。 ⑵当两种导电介质内流有恒电流时，分界面上电场线曲折满足12

12σσθθ=

tg tg ，其中σ1和σ

分别为两种介质的电导率。解：⑴

()012=-?E E n

∴切向分量连续有

21E E ⊥⊥= ?

111θtg E E n =⊥

222θtg E E n =⊥

n n

E E tg tg 2112=

∴

θθ ()

12==-?f D D n σ

n n n n E E D D 112212εε=?=∴

代入上式得：

1112εεεεθθ==∴

n n E E tg tg ⑵ ()012=-?E E n

，

切向分量连续，

E J σ=

(

E =

有

21E E ⊥⊥= 111θtg E E n =⊥

222n E E tg θ⊥=

n n

E E tg tg 2112=

∴

θθ

()

()0

112212=??=-?=-?t

E E n J J n f σσσ

n n E E 1122σσ=∴

代入上式得

122

111

n n

E tg tg E θσσθσσ==

13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。

解：⑴由边值关系：

()f

E E n σεε=-?1122

02→ε

n E σε-=∴11

11εσf

n E -

=∴

又由边值关系 ()012=-?E E n

即

⊥⊥=12E E

，

因为假设为静电情况

00==?==∴⊥⊥E J E J σσ

012==∴⊥⊥E E

111==∴⊥E E

tg θ

01=∴θ

即导体外的电场线总是垂直于导体表面。

⑵在恒定电流情况下：由

()?=-?012J J n ()01122=-?E E n

σσ

n n E E 1122σσ＝∴

因为

￥ 01＝σ

所以

02=n E

即导体内电场线总是平行于导体表面。

14. 内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质

（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求f λ随时间的衰减规律

（3）求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度

（4)求长度为L 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率 ~

解：（1）

???

????

??==????-=??)

3()2()1(00t E J v E t J ερρ

由（3）得

()

00D J E t

t t

ερεερ?

??=??????= ?

???

? ∴D J ??+D J J (??=??+0)=J

又

)(=??-=??=??t B

E J

σσ

0()0

D J

E t ε?

??=-??=? ∴0)(=+??D J J

0=+D J J

即J

与0J 严格抵消。

（2）由

J =E σ

∴2r πLE=L

f λε1

?E=r f

πελ2

J= -r π21r E t f f

πεσλσλ2==??

f f t ελσλ=

??-?

解得

σλt f ce

= 当t=0时

f c λλ== ∴t f f e

σλλ-=0

(3)t 场对自由电荷所做的功率密度为E

)

2(r E E J f πελσσ==?

(4)

b a l rdr

r l r

r dr r dl d d E J f b a f f l b

a v ln 212)2()

2(22222020πεσλππελσπελσ?τπ=??==??????

而长为L 的一段介质总的静电能为

=?dv E J v 2

21εb a l f ln 42πελ t

f e f ε

λλ-=0

∴f

f λεσ

λ)('-=

b a l t w f ln 42πελ=??

b a l f f ln

2'2

2πε

σλλ-=

所以能量耗散功率等于静电能减少率。

电动力学习题答案第一章 电磁现象的普遍规律

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